книги из ГПНТБ / Методы оптимизации в статистических задачах управления

включающему уравнения объекта (498) и систему уравнений (501),, при условиях:

При этом

На основании формул (496), (497), получаем уравнения для:

оценки z (і) на основе наблюдения вектора

у = Cj_z + г|,

где

1° С

СіН|о о ’

в виде

2 0 7 '

которое удовлетворяет уравнению (501), не может быть непосред­ ственно использовано для решения задачи, поскольку при этом необходимо в каждый момент времени вычислять конечное значе­ ние фазовой координаты х (Т) при оптимальном законе управления.

Поэтому нас интересует только физически осуществимое реше­ ние системы (504). Будем искать его в виде

Подавляя выражения (506), (502) в формулу (504) и учитывая, что для решения (506)

Пцл SDXX

я используя уравнение (505), получим:

Для произвольного значения x (t)

~+ SA + A*S = 0.

Конечное значение S (T, T) для этого уравнения определяется из сравнения выражения (506) и уравнения (504):

не меняет знака. Тогда, приравнивая второе слагаемое в уравне­ нии для В (t) нулю и решая дифференциальное уравнение относи­

Подставляя выражение (507) в формулу (506) и далее в фор­ мулу (502), получим:

t+At

0*ф (t) = — B*S (T , t) x{f)-\~. j W (t, х) В U dx sign B*ty(t)

( 508)

signß*op(^)=—sign B*S (T, t) X (t) -\~

t+At

-f } W (t, x) BU dx sign В*ф {t)

208

и удовлетворяет условию

т

X (t) + \ W (t, т) Bu (т) dx = 0

при

ß*S(T, 0 X (0 I < j ß*S (7, t) W {t, X) BU dx

4. Задача оптимизации управления при изопериметрическом ограничении типа неравенства

В п. 1 гл. V были получены условия оптимальности в случае, когда управление и (t) принадлежит замкнутой области.

Рассмотрим некоторое обобщение этой задачи. Предположим, что управление и (t) должно минимизировать функционал

в формуле (511) берется по начальным условиям вектора фазовых координат х°, случайным возмущениям и ошибкам измерений.

Для учета этих ограничений в условиях оптимальности при­ меним метод перехода от замкнутой области изменения коорди­ наты Хд (Т), определяемой неравенствами (514) или (515), к откры­

той области [96]. Для этого введем координату Хд и функцию

X [х0 (71)] такую, что при изменении хд в неограниченной области функция X обеспечивает выполнение условий (514) или (515)

при любых допустимых значениях хд (Т).

В частности, для ограничения (514) функция % определяется

210

Предполагая, что для учета ограничений рассматриваемого типа применим метод множителей Лагранжа, приведем задачу минимизации функционала (510) для ограничения (511) к задаче минимизации:

/ і = М [F [х {Т)]\ + ф0М [х0 (Т) ],

где фо — неопределенный постоянный коэффициент. Вариация функционала І г может быть представлена в виде

Если же условие (514) нарушается, то в соответствии с форму-

дх0 (Т)

извольной величиной. В этом случае в функцию Я (х, ф, ы, і)

добавляется слагаемое ф0/ 0 (*. и. 0- Таким образом, решение задачи минимизации функционала

(510) с ограничением типа неравенства (511) сводится к решению задачи без ограничения и проверки условия (511). Если оно не нарушается, по полученное управление и является решением задачи. Если условие (511) нарушается, задача решается снова

с введенным в функцию Н (х , и, ф, і) слагаемым ф0 / 0 (х, и, t)

иг[э 0 определяется из условия

М1х0 (Т) ] = см.

Применим изложенную методику к определению оптимального управления линейным объектом

Н Y

. = Ах + Ви + I, X (0) = х°,

обеспечивающего минимум функционала

I = М [х* (Т) Ах (Г) ]

при ограничениях на управление и (t) 6 U и

где Л — положительная, a J (t) — положительно определенная матрица.

Заметим, что без учета ограничения (519) оптимальное управ­ ление, определенное в предыдущем параграфе, является релей­ ным и в одномерном непрерывном случае равно

и (t) = — U (t) sign B*S (Т, t) X (t)

в соответствии с формулой (509).

условие (519) может не учитываться, поскольку уравнение (520) определяет максимальный «расход» управления на интер­ вале (0, Т). Более того, рассматриваемая задача с учетом огра­ ничения (519) не имеет физического смысла, так как оно никогда не нарушается.

Поэтому поставленная задача имеет смысл только в том случае, когда

т

J J (t) U2 ( 0 dt > см.

о

212

При этом в соответствии с изложенной методикой ограниче­ ние (519) может быть заменено изопериметрическим ограничением со знаком равенства:

и* (t) J (t) и (t) dt — см.

Функция Я (X, ф, и, f) в рассматриваемой задаче имеет вид

Я (х, ф, и, t) = г))0u*Ju + ф* (Ах + Ви -f \ (t))

или

При условии, что область U представляет собой (/-мерный па­ раллелепипед, такой, что

Isign-ß, при I ßt-1> Ut.

С учетом представления (523) управление и (t), обеспечивающее максимум (522), определяется выражением

« (0 = ~ s g ^ - y - 1W ( 0 ,

где, как и ранее обозначено:

Ф (f) = М [ф ( * ) №

213

Для определения оценки ф (t) запишем систему дифферен­ циальных уравнений, аналогичную уравнениям (504) и (505):

^= — А*ф + D ^C *#"1 (у — сх);

Применим к решению этой системы уравнений приближенный способ, основанный на методе статистической линеаризации.

Для этого при решении системы уравнений (525) и (526) при­ мем, что

u(t)

где К — диагональная матрица размерности [q, q ] коэффициен­ тов статистической линеаризации

ki = kt (mi, D~)

для элементов (524) типа линеной зоны с насыщением, где mit D~ —

математическое ожидание и дисперсия оценки х. При этом система уравнений (525), 526) линеаризуется, и ее решение имеет вид

с конечными условиями

5 (Г, Т) = 2А.

При этом оценка х (t) удовлетворяет уравнению

% = ( А + В 1^ - B * s ) x + DXXC*R-' (у - Сх), (527)

X (0) = М х \

Для определения дисперсии оценки D~ при нулевом математи­ ческом ожидании

М [х ( 0 1 = 0

214

Дифференцируя уравнение (528) no f и используя формулу (527), получим

При получении уравнения (529) было использовано свойство опти­ мальных оценок X, по которому

М[{х — х) X* ] = 0;

М[х (х — х)* ] = 0,

равенство

у = Сх + т|,

где т] (t) — белый шум,, а также

М {[С (х — X) + т) ] X*} = - L CD.

Таким образом, приближенно закон оптимального управления определяется выражением

U(t) = + s g ^ - B * S ( T , t)x(t),

где фо <c 0 определяется из ограничения на интеграл от квадра­ тичной формы управления (519).

5.Условия оптимальности в игровой задаче

снеточными измерениями

Предположим, что объект управления описывается векторным дифференциальным уравнением

= / (*, и, ѵ, £, t), X (t0) = х°,

где X — вектор фазовых координат размерности п\ \ — вектор случайных возмущений размерности п\ и и ѵ —векторы упра­ влений объектом, имеющие различные цели управления.

Пусть управление и (t) стремится-минимизировать функционал

на основе измерений вектора

У и У а (%, П и ) ,

а управление ѵ (t) стремится максимизировать функционал (530) на основе измерений

с неполной информацией. Существенно, что в общем случае игроки используют для управления различную информацию. В связи с этим даже при противоположных интересах игроки различным образом оценивают результат игры, и поэтому в общем случае игра имеет ненулевую сумму.

Будем считать, что управление

“ = и (Уи„ і)

оптимально и равно и0, если для оптимального управления ѵ = = ѵ0, где

V = V (Ущ, t),

другого игрока для всех t интервала управления справедливо неравенство

М [J [т, ко] К ,) [и, ко] I <}■ (531)

Аналогично для управления v (f), максимизирующего функци­ онал (530), можно записать:

Из выражений (531) и (532) следует, что условия оптимально­ сти для каждого управления могут быть выражены аналогично выражению (463) в форме стохастического принципа максимума при имеющейся в его распоряжении информации.

Таким образом, для управления и в соответствии с формулой

(479) имеем:

Уравнения (533) и (534) образуют систему уравнений, совмест­ ное решение которых определяет оптимальные законы управления (стратегии) и0 и ѵ0.

216