книги из ГПНТБ / Методы оптимизации в статистических задачах управления

где л (t) — центрированный вектор-столбец; х* (t) — транспони­ рованный вектор или вектор-строка.

Усредняя уравнение (5), получим дифференциальное уравнение относительно математического ожидания вектора х (t):

дифференциальное уравнение относительно центрированной со­

Дифференцируя левую и правую части равенства (6) по / и используя уравнение (8), получим дифференциальное уравнение относительно дисперсионной матрицы вектора фазовых кординат исследуемой системы:

^ = Л (0 Д Д 0 + А ^ М * (0 +

Для вычисления математических ожиданий двух последних слагаемых выражения (9) проинтегрируем уравнение (8):

7

Тогда, принимая во внимание некоррелированность вектора начальных условий с возмущающим воздействием и используя выражение (10), получим

t

М [X(/) I (/)] = j А (т)Mix (г) g (/)] dx +

Выполняя интегрирование выражения (11) с использованием свойств «белого» шума и умножая обе части этого равенства справа на В* (t), имеем

Среднее значение (14) можно вычислить, если известен одно­ мерный закон распределения xv (t). Для вычисления средних значений (15) необходимо располагать совместным законам рас­ пределения каждой выходной координаты xt (t) с хѵ (t).

Если предположить нормальными совместные распределения

ния уравнений (7) и (9) определяются все необходимые параметры, от которых зависят плотности распределения.

Вычислим средние значения (15), предполагая нормальными совместные распределения хѵ (t) со всеми xt (t) и используя выра­ жение совместной плотности распределения через ортогональные полиномы Чебышева-Эрмита [50, 74]:

i = 1, 2 ,..., n

С учетом формул (18) и (20) выражение (17) принимает вид

где diy — корреляционный момент связи хі (t) и xv (t)\ k(2) — эк­ вивалентный коэффициент усиления нелинейного элемента по

9

случайной составляющей процесса на входе, вычисленный вторым способом по формуле (4).

Принимая во внимание выражения (12) и (13) и используя формулу (21) при совместном нормальном распределении х{ (t) и

ского ожидания и дисперсии процесса на входе нелинейного эле­ мента

которые для различных типов нелинейных функций можно опре­ делить заранее [39].

Уравнения (7) и (22) необходимо решать совместно, так как для определения выражений (23) в каждый момент времени необ­ ходимо иметь соответствующие значения тх и dvv. Таким обра­

зом, задача сводится к решению уравнений (7) и (22), связанных зависимостями (23), которые можно проинтегрировать только с помощью вычислительных машин. При этом однократным реше­ нием этих уравнений определяются математическое ожидание и дисперсионная матрица вектора фазовых координат.

В общем случае решение уравнений (7) и (22) может быть вы­ полнено только на цифровых вычислительных машинах (ЦВМ), что обусловлено трудностями реализации на аналоговых вычисли-

10

Тельных машинах нелинейных зависимостей (23), (так как при этом требуются нелинейные блоки двух переменных) и высоким по­ рядком решаемой системы уравнений. В частном случае, когда порядок исходной системы невысок и математическое ожидание процесса на входе нелинейного элемента равно нулю, эти уравне­ ния можно решить на аналоговых вычислительных машинах, так как реализация зависимостей (23) в этом случае осуществляется на обычных нелинейных блоках.

При численном интегрировании уравнений (7), (22) на ЦВМ

значения фо и k\ вычисляются по определяемым на каждом шаге интегрирования значениям тХѵ и dvv.

Заметим, что векторная форма не только позволяет сделать запись уравнений более компактной, но и упрощает алгоритм решения задачи на ЦВМ, так как правая часть уравнения (22) в про­ цессе его решения определяется на каждом шаге интегрирования с использованием стандартных программ сложения и умножения матриц.

Изложенный выше метод можно применять для анализа точ­ ности систем с постоянными параметрами. При исследовании точ­ ности установившихся режимов стационарных систем дифферен­ циальные уравнения (7) и (22) сводятся к алгебраическим. Если в системе (5) матрицы А, В, В х и неслучайное воздействие по­ стоянны, а система устойчива, то в установившемся режиме тх и Dx — постоянны и дифференциальные уравнения (7) и (22) пре­ вращаются в алгебраические:

Система уравнений (24) может быть решена методом последо­ вательных приближений на ЦВМ.

Рассмотрим примеры составления уравнений, определяющих математические ожидания и элементы дисперсионной матрицы вы­ ходных координат систем управления.

Пример 1. Нелинейная система, изображенная на рис. 1, а, в момент вре­ мени t = 0 возмущается распределенным нормально [стационарным случайным процессом z (t) и неслучайным воздействием г (t). Предполагается, что среднее значение г (t) равно нулю, а спектральная плотность мощности имеет вид

где dz — дисперсия процесса z (t).

Построим систему дифференциальных уравнений для приближенного опре­ деления математического ожидания и дисперсии процесса на выходе системы в переходном режиме.

Используя метод формирующих фильтров, сведем исследуемую систему к эк­ вивалентной, которая в момент времени t = 0 возмущается стационарным белым

11

шумом £ (t) с интенсивностью Q = dz. Передаточная функция формирующего фильтра W2 (р) при этих условиях на основании формулы (25) имеет вид

где

С учетом принятых на рис. 1 б, обозначений и передаточной функции (26) эквивалентную систему можно описать следующими уравнениями:

= j r - [ - * 1 (0 - ф (*і) + *2 (0 + /■(01;

1 и = т ; 1~ х2 {t) + k&(01; *2 (0) = *0*.

где ф (хх) — характеристика безынерционного нелинейного элемента; х02 — центрированная случайная величина с дисперсией, равной dz.

Рис. 1. Структурные схемы нелинейной системы:

а — исходная; б — эквивалентная

Предполагая совместный закон распределения хг (t) и х2 (t) близким к нор­ мальному и используя формулу (27), получим уравнения для определения мате­ матического ожидания и дисперсии процесса на выходе исследуемой системы в переходном режиме:

12

Последнее уравнение системы (28) решается независимо от других и при за­ данных начальных условиях имеет постоянное решение d22 = dz, что позволяет упростить систему уравнений (28), которая в окончательной форме имеет вид:

Пример 2. Нелинейная стационарная система, приведенная на рис. 2, воз­ мущается стационарным белым шумом £ (t) с интенсивностью Q. Предполагается, что нелинейный элемент имеет нечетную характеристику.

Определим приближенно дисперсию про­ цесса на выходе системы в установившемся состоянии.

Исследуемая нелинейная система описы­ вается дифференциальным уравнением

Так как среднее значение процесса на входе равно’ нулю, а нелинейный элемент имеет нечетную характеристику, то среднее значение процесса на выходе также равно

нулю. Предполагая закон распределения х (t) близким к нормальному и исполь­ зуя формулу (24), получим уравнение для приближенного определения диспер­ сии процесса на выходе системы в установившемся состоянии:

Пусть характеристика нелинейного элемента

Ф (X) — ах3 (0

при нормальном распределении х (і) и среднем его значении, равном нулю, имеет коэффициент k[2\ выражаемый через дисперсию

Подставляя выражение (31) в формулу (30), получим квадратное уравнение относительно dx:

решая которое, определим значение дисперсии процесса на выходе в установив­ шемся состоянии:

13

2. Метод определения характеристик многомерных нелинейных систем

Рассмотрим многомерную нелинейную систему, которая в век­ торной форме описывается уравнением

Ф (х, t) — векторная нелинейная функция размерности л; %, (t) — распределенный нормально векторный белый шум размерности лг; У (t) — векторное неслучайное воздействие размерности /; х^ — распределенный нормально вектор начальных условий, некорре­ лированный с возмущающим воздействием; В г (t) — прямоуголь­ ная матрица переменных коэффициентов размерности [л, /]; В (t) — прямоугольная матрица переменных коэффициентов раз­ мерности [л, т].

Используя метод статистической линеаризации, определим

Рассмотрим статистическую линеаризацию векторных нели­ нейных функций, которую будем использовать при определении характеристик нелинейной системы (32). Нелинейное преобразо­ вание между векторными случайными функциями z (t) и х (t) задано в форме

где z (t) — векторная случайная функция размерности л; х (і) — вектор случайных аргументов размерности л; ф (х, t) — вектор нелинейных функций.

Аппроксимируем векторное нелинейное преобразование (35) приближенной линейной зависимостью между случайными векто­

К 1 — прямоугольная матрица эквивалентных коэффициентов уси­ ления нелинейного элемента по случайной составляющей вектора X (t) размерности [л, л].

При аппроксимации нелинейной функции (35) линейной функ­ цией (36) будем исходить из минимума среднего квадрата откло­ нения векторов z (t) и z„ (t), т. е. потребуем минимума выражения

14

Значение (37) будет минимальным, если выполняются условия:

Из равенства (39) получаем выражение для матрицы экви­ валентных коэффициентов усиления нелинейной функции (35) по

Выражения (38) и (40) для определенного вида нелинейной функции можно вычислить, если известен закон распределения вектора х (/). Особый практический интерес представляет стати­ стическая линеаризация нелинейной функции (35) при нормаль­ ном распределении вектора х (/), плотность распределения кото­ рого выражется формулой [59]

15

Используя выражение (41), математическое ожидание вектор­ ной нелинейной функции можно определить по формуле

где интегрирование осуществляется по всем составляющим век­ тора X.

Матрицы эквивалентных коэффициентов усиления (40) можно вычислить, используя плотность распределения (41), но если математическое ожидание (38) уже определено, то его можно ис­ пользовать для вычисления матрицы эквивалентных коэффициен­ тов усиления. Дифференцируя равенство (42) по тх и используя формальное тождество

Выражение (46) целесообразно использовать для вычисления элементов матрицы Кі в случае, когда нелинейная функция (35) является полиномом.

16