книги из ГПНТБ / Методы оптимизации в статистических задачах управления

Согласно известным свойствам плотности распределения веро­ ятностей искомая апостериорная плотность вероятностей (388) может быть представлена в следующем виде:

(z, s), а также формулы (390) и (392), последнее выражение может быть преобразовано следующим образом

s*-i) P (4-1- z*-iI S£, 0 < t < /г — 1) = = J dZk^p (4, z*| 4-lf z^j) p X

X (s* I 4- z^) <7^4-1- z^_i).

После подстановки полученного результата в формулу (393) будем иметь следующее выражение для q (4, zft):

J dzk I dzk-iP (tk, zk j tk-1, Zk-!) p (Sk I tk, zk) q (tk-г, Zk-1)

Соотношение (394) дает рекуррентную процедуру вычисления q{tk, z k). Здесь р (4, zk \ 4_i, zk_x) легко рассчитывается на

167

основании формул (383), (384), а р (skLtk, zk) — на основании выражений (386), (387):

Проведем в подынтегральном выражении (397) некоторые пре­ образования. Апостериорную плотность вероятностей <7 (4_і, za-i) представим рядом Тейлора в окрестности точки zé:

где o(||zA i— zÄ|j2) означает величину более высокого порядка малости, чем квадрат нормы вектора (zA_ i— zk). Аналогичным разложением можно представить вектор / (4-і, Ч-1> uk-i):

f (4-1, Z£-l> ^A-l) = / (4-1, z/e, И/г-і) -f-

168 -

В отличие от формулы (398) здесь достаточно ограничиться линейными членами в разложении в связи с тем, что в выраже­ ние (397) вектор f (tk_lt zk_x, uk_j) входит с множителем; А. Раз­ ложение (399) позволяет провести преобразование в выражении

zk zk-\ / (4 -1» zk-li ^к-1) ^ — zk zk-l / (4 - 1 , zki ^k-l) А

Экспонента с показателем (403), рассматриваемая как функция переменной zk_lt представляет собой гауссовую плотность рас­ пределения вероятностей при математическом ожидании

169

Нормирующий множитель при экспоненте с точностью до членов порядка о (А) должен быть равен

Y {2л)П АI (Е - AQ (Е - д4 ) * I ’

Учитывая, что определитель произведения матриц равен про­

получим следующее выражение для нормирующего множителя:

____________________1______________________

[(см. формулу (397)]. Если для плотности распределения вероят­

X j d z ^ N ^ l i Z k — /(4_J, zk, u ^ ) А), (Ga_1Qa_1GI_iA + o(A))] x

X <7(4-b z*_x).

Учитывая разложение (398), можно записать

170

г

Теперь на основании соотношений (396), (407) и разложения экспоненты можно записать выражение для числителя в фор­ муле (394)

A tr I Gk—\Qk-\G,k-i d2q{tk-1. zk) dzkdzk

A<? (4-i, Z*) tr fz (4_x, zk, uk_x) + 0 (A)

Знаменатель в формуле (394) представляет собой проинтегри­ рованный по переменной zk числитель. Проводя указанную опе­ рацию над выражением (408) и учитывая правила интегрирова­ ния по частям, получим

условии проведенных измерений до момента 4-і- Теперь в результате деления выражения (408) на (409) и не­

171

—(tk-1 , Zft) tr f4 (tk_lt zk, u ^ ) —

а векторы г и s стремятся к своим предельным значениям л: и у соответственно, получим уравнение в частных производных для апостериорной плотности распределения вероятностей:

В соответствии с известным априорным законом распределе­ ния вероятностей (378) уравнение (411) должно решаться при условии

координат объекта, то в выражении (411) следует положить R -1 (t) = 0. Тогда соотношение (411) вырождается в уравнение Колмогорова (108) для диффузионного процесса.

4. Оптимальная линейная фильтрация. Фильтр Калмана

Рассмотрим частный случай уравнения (411), когда объект управления является линейным и описывается уравнением (361), т. е. когда

172

[г, п\. Допустим, что начальное распределение вероятностей

При сформулированных условиях уравнение (411) прини­ мает вид

A S BTL = ~ ( i ) * m ( t ) x + B(t)u)q(i, х)] +

+ 4 - t r ( G ( / ) Q ( / ) G * ( n ^ # ) +

+ -у <7(*» х) [Mt (у — С (О X)* R ' 1(/) {у— С (t) х) —

Нетрудно убедиться, что уравнению (416) при выполнении условия (415) удовлетворяет решение

]Л(2я)« | D ( 0

(417)

где функции m (t), D (t) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений

Этот результат можно получить с помощью перехода в выра­ жении (416) от q ( t , х) к характеристической функции g ( t , X), как это было сделано в п. 4 гл. I.

Апостериорная характеристическая функция g (t, 7,) удовле­ творяет следующему уравнению в частных производных:

д8іа ~ ~ = X* А (0 -д8^ і ~ + ß*B (t) ug (t, X) —

— ±-X*G(t)Q(t)G*(t)Kg(t, X) +

173

При отсутствии измерений фазовых координат объекта, что равносильно условию R (і) оо или R " 1 (t) —* 0, уравнение (420) совпадает с полученным ранее уравнением (111).

Таким образом, в рассматриваемом частном случае апосте­ риорный закон распределения фазовых координат объекта х (t) явдяется нормальным. Согласно формуле (419) апостериорная дисперсионная матрица D (t) не зависит от измерений у (t) и может быть рассчитана априорно. Тогда вектор апостериорного математического ожидания т (t) является решением линейного нестационарного дифференциального уравнения (418). Этот ре­ зультат, впервые порученный Калманом [133], был развит дру­ гими авторами [5, 15, 58, 91, 134, 155].

Решение уравнения (411) для апостериорных вероятностей

вобщем случае нелинейного объекта и нелинейного измерителя возможно лишь приближенными численными методами. Один из таких методов [28] дает возможность составить систему обык­ новенных дифференциальных уравнений для семиинвариантов закона распределения q (t, х). Эта система не замкнута. Однако учитывая быструю сходимость к нулю семиинвариантов при воз­ растании их порядка, можно положить равными нулю семиинва­ рианты порядка выше k (выбор k связан с условиями задачи). Это дает замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, приближенно определяющих семиинварианты до k-ro порядка. Если положить k = 2, то описываемый подход будет равносилен проведению статистической линеаризации.

5.Достаточные координаты

Вп. 3 настоящей главы указывалось, что при наличии шумов

вканале измерения фазовых координат объекта управление является функционалом относительно апостериорной плотности вероятностей q (t, х) фазовых координат объекта (381). То же можно сказать и о функции Веллмана W 0, которая является теку­ щей оценкой минимальных потерь на интервале времени [t, Т]:

т

W0= min М I ф [т, X (т), и (т)] dr + к [Т, X (Т)\ I q (/, х)

и (т)££/ т£[*, Г]

174

Апостериорная плотность распределения вероятностей q (t, х) является случайной, так как в соответствии с формулой (411) зависит от случайных наблюдений у (t). Однако значения q (t, х) измеряются точно. Таким образом, путем перехода от л: (t) к q (/, х) задача сведена к случаю точного наблюдения координат, но при этом размерность наблюдаемого вектора возросла от п до бесконечности. Это обстоятельство и объясняет сложность решения задачи оптимального управления при неточных изме­ рениях. Функция Веллмана (421) должна определяться из функ­ ционального уравнения, которое несложно получить, повторяя рассуждения, приведенные в п. 1 данной главы:

W0 (t, q (t, x) = min ІА f dxq {t, x) ф (t, я, и) -f о (А) +

Математическое ожидание в формуле (422) должно вычисляться в соответствии с выражением (411). Решение уравнения (422)

ным координатам предъявляются следующие требования. Прежде всего они должны быть достаточны для вычисления текущих потерь. Обозначим через у (t) вектор достаточных координат. Сформулированное требование означает, что в формулах (422), (423)

Другое требование к достаточным координатам состоит в том что они должны полностью определять будущую эволюцию фазо­ вых координат объекта. И, наконец, они должны быть достаточны для указания ограничений выбора управления на любом интер­ вале времени.

Если удается определить конечное число достаточных коор­

Соответственно поскольку достаточные координаты точно наблю­ даемы, задача расчета оптимального управления сводится к рас­ смотренной в п. 1 настоящей главы.

В качестве примера применения идеи достаточных координат рассмотрим управление линейным объектом, описываемым урав­ нением (361), при критерии оптимальности (362), когда измеряется вектор

у = С (t) X + г] (t).

175

Предполагается, что на управление и (t) не наложено жесткого ограничения, а начальное распределение х нормально.

Выше было показано, что при сформулированных условиях апостериорный закон распределения х (t) является нормальным. Следовательно, апостериорные математическое ожидание т (t) и дисперсионная матрица D (t) являются достаточными статисти­ ками закона распределения и полностью определяют будущую эволюцию поведения фазовых координат объекта. Нетрудно ви­ деть, что т (t) и D (t) удовлетворяют всем требованиям, предъяв­ ляемым к достаточным координатам. Координаты D (t) могут быть рассчитаны априорно согласно формуле (419), так как не связаны с управлением и (t) и измерениями (/ (t). Поэтому D (t), как извест­ ная априорно функция времени, может быть исключена из числа достаточных координат. Таким образом, управление и функция Веллмана являются функциями времени і и т (t).

Вывод уравнения в частных производных для функции Велл­ мана

( Т

IV0 (t, m) = min М I [ [х* (т) V (т) х (т) +

u ( x ) f - U /

т€ [С п

+и* (т) J (т) и (т)] dr 4 - X* (Т) Ах (Т) \m(t) — m

проводится с использованием уравнения (418) методом, изложен­ ным в п. I данной главы. При этом необходимо учесть, что нали­ чие в формуле (418) члена DC*R~X (у — Cm) означает воздействие «белого» шума интенсивности DC* R ~ 1CD. В результате получим уравнение

W0 (T , m) = m*Am + tr[D (T) Л].

Как и при решении задачи управления линейным объектом при точном измерении фазовых координат (см. п. 2 гл. IV), функция Веллмана ищется в виде квадратичной формы:

в формуле (368). Повторяя тот же ход решения уравнения Велл­

176