Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 318 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

где Хпе

Г л а в а V

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

1.Введение

Вэтой главе мы рассматриваем случайные триго нометрические ряды

оо
S „cos(n + <ig,	(1)

п — независимые симметрические комплексные случайные величины (Хп и Ф„ действительны). Частными случаями являются

			оо
			2	e„*n cos(tt/ + cpn)		(ряды		Радемахера),			(2)
где	хп		и	ф„ — фиксированные			действительные			числа,
а {е„} последовательность Радемахера, и
		0 0
		2	rn	cos (pi +	2яш„)	(ряды		Штейнгауза),			(3)
		п=0
где	г„		фиксированы		( г п > 0 ) ,		а {со„} — последователь
ность		Штейнгауза.			Другой	интересный			случай,	когда
Хпе	п	— гауссовские			величины,			будет	рассмотрен
в гл.		X I I I .
	Основные теоремы этой главы утверждают,										что
некоторые				свойства	ряда	(1)	имеют одинаковые				веро
ятности. В				теореме Пэли—Зигмунда (1932 г.) речь							идет
о следующих свойствах (п. 3—5):
	.«ряд		(1)	является	рядом	Фурье — Стильтьеса»;
	«ряд		(1)	представляет функцию				из Lp»	( 1 ^ р <		оо);
	«ряд		(1)	сходится	почти	всюду».

п				ГЛАВА V
				ГЛАВА V
В теореме Билларда (1964 г.) речь идет									о	следую
щих	свойствах (п.		7,8):
«ряд (1) представляет ограниченную функцию»;
«ряд (1) представляет непрерывную функцию»;
«ряд (1)		сходится		всюду».
Эти теоремы доказываются различными методами.
Чтобы получить теорему					Пэли — Зигмунда,				мы	иссле
дуем	ряд Радемахера			(2)	и убеждаемся,			что	все свой-
									оо
ства	выполняются		с	вероятностью			1, если		^EiX2<.cx>,
					оо				о
и с	вероятностью		0,		оо	=	°°.	Интересен сле-
и с	вероятностью		0,	если ^Хп		=	°°.	Интересен сле-
					о	оо
						оо
дующий побочный результат: если						2	хп =	оо,	то сущест-
						о	оо
							оо
вует	такой	набор знаков			± , что ряд		^±xncos		(я£ +		ф„)
							о
не является		рядом	Фурье — Стильтьеса. Удивительным
является тот факт,			что неизвестно,				как	выбирать			эти

знаки явным образом. Однако случайный выбор приво дит к цели.

В теореме Билларда первый шаг заключается в изу чении рядов Штейнгауза. Случай рядов Радемахера следует из принципа сжатия (см. стр. 37), а общий случай — из принципа редукции (см. стр. 20). Здесь мы не имеем простого способа вычислять вероятность по коэффициентам. В последующих главах мы получим достаточные и необходимые условия того, чтобы эта вероятность была равна 1. Однако получить необходи мые и достаточные условия не удается.

Несколько обобщений, приложений и примеров даны

вкачестве упражнений (п. 9).

2.Некоторые сведения о тригонометрических рядах

Всюду в этой главе под окружностью понимается группа действительных чисел с операцией сложения по гпос12я, через t обозначается точка на окружности, все меры и функции задаются на окружности и все инте гралы берутся по окружности.

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ	7 ?

Если

задан

обычный

тригонометрический

ряд

оо

хп cos (nt +

ф„)

(хп,

ф„ действительны),

(4)

то

мы

пишем

«(4) с= М»,

если

ряд

(4)

является

рядом

Фурье — Стильтьеса,

т. е. существует мера

(t),

такая,

что

* 0 C O S C p o =

2 J

е±"»' d|i (t)

(п =

2, . . .)•

Мы

пишем

«(4) е

Lp »,

если

ряд

(4)

является

рядом

Фурье

функции

/ c = L p

( 1 < р < ° ° ) ,

« ( 4 ) e C » , если

ряд (4) является рядом Фурье

непрерывной

функции

т. е.

x0coscpo =

-^-

f{t)dt,

xne±l^ =

f { t

) e ± i n t

{ n

2 ,

...)•

Мы говорим также, что ряд (4) представляет меру

d\i

или

функцию

Суммами

Фейера

ряда

(4)

являются

тригонометри

ческие

полиномы

M 0

( l —jf)xncos{nt

<pJ

(N=l,

2, . . . ) .

Суммами

Пуассона

ряда (4)

являются

функции

со

(0 =

2 * У cos (nt + Ф „)

(0 <

г <

1);

они определены, если хп

о(егп)

при я - * о о

для

любого

е >

aN(t)

Sr(t)

Если

ряд

(4)

сходится,

то

сходятся

к той же сумме (при N->oo

и г—>1

соответственно).

Однако обратное не имеет места.

Рассмотрим

М,

как

банаховы

пространства

на

окружности;

L 1

является

замкнутым

подпростран-

74	ГЛАВА V
ством	М, а С —замкнутым подпространством L°°. Че
рез \|\|	\|\|р будем обозначать норму в LP ( l ^ p ^ o o ) .

Имеют место следующие важные предложения (см. Зигмунд [2], стр. 233-237).

П р е д л о ж е н и е 1.
( 4 ) е М	sup \|\| ajv \|\|, < оо;
(4) е= V	N	в V (1 < р < оо);
(4) е= V	<фф {в„} сходится	в V (1 < р < оо);
( 4 ) 6 l p	4^sup\|\|a w \|\| p < оо	( 1 < р < о о ) ;
( 4 ) е С	<ФФ {a/ V } сходится	в С.

Следовательно, «(l)e=M», «(l)e=L p » и «(l)e=C» суть события. Поскольку применим закон нуля и еди ницы, то каждое из этих событий имеет вероятность, равную нулю или единице. Кроме того, мы можем

применить

теорему

1 гл. I I (см. стр. 26). В результате

получим

в М;

(1)е=М

п. н. О

(1) п. н. ограничен

(1) е= V

п. н. О

(1) п. н. сходится

в L p ( 1 < | 0 < оо);

(1) €= V

п. н.

(1) п. н. ограничен

в L p (1 < р ^ о о ) ;

(1)е=С

п. н.

(I) п. н. сходится

в С.

Мы будем пользоваться и некоторыми другими клас

сическими

результатами.

П р е д л о ж е н и е

2. Если

(4) <= М, то lim Sr

(/)

суще-

г->1

ствует для почти всех t

(а

именно

lim Sr (t) = \i'{t)

при

условии,

что правая

часть имеет смысл)

(см. Зигмунд [2],

стр.

167).

П р е д л о ж е н и е

Если

ряд

(4)

является

рядом

Фурье функции

f (f €= L1 ), то lim 5 r (0 =

/ (t) почти

всюду.

Это очевидное следствие предложения 2.

П р е д л о ж е н и е

Лели

{*,,} и {ср„} — dee

действи-

оо

тельные

последовательности

и 2-*г„=:00> то

JE2 cos2 (nt +

фп) =

°о для почг«

всея

Д о к а з а т е л ь с т в о

основано

на

упр. 2

гл. I I I

(см. стр. 56). Приведем подробное доказательство. Если

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

заключение не справедливо, то найдется множество Е

положительной		меры	\| Е \|, на котором ряд ограничен,
скажем	оо
	оо
	2*„С082(^ +			Ф П ) < 6 >		F	^ E -
Интегрируя и используя теорему Беппо								Леви, полу
чаем	со
	со
	24			\tos\nt+<vn)dt<b\E\.
	I	в
По теореме Римана — Лебега
j cos2(nt		+ yn)dt	= ±\E\		+ o(l)		(n-*oo)5
в
следовательно,
	J cos2	[tit + ф„) dt > у			I Е I		при	л > п0
	Е
оо
и 2 х п < 36, что противоречит					нашему		предположению,
							N
П р е д л о ж е н и е			5.	Если	р (t) = 2 6Л cos (л/ + фл)
							о
(ЛГ ^ 2),	то существует		сегмент длины				1/N2,	на котором
\|р (01X1/2)1 1 P L -
							4
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Так как \| bn		\| ^ — 1 \| р \\^ и р ' (t)=^
N	sin [nt + ф„), то имеем
= — 2	sin [nt + ф„), то имеем

l l p ' I L < 4 ^ ( ^ + l ) | | p | | M < ^ 2 | | p | U .

(Это неравенство очень грубое, однако оно достаточно для наших целей; на самом деле, согласно теореме С. Н. Бернштейна, Hp'IL^AfHpIL,.) Найдется /0 , такое, что | | p j | = ±p(t0). Так как

I P W - P ( ' O ) K I * - ' O H I P ' I L ,

76			ГЛАВА V
то \p(t)	\| > y l l p I L	на	сегменте
		о	2N2 ' 0 ^	2N2
	3. Ряды Радемахера. Случай				2	=	°°
			оо		о
			оо	х\ = оо, то (2) ф. М п. н.
П р е д л о ж е н и е 6. Если ^				х\ = оо, то (2) ф. М п. н.
			о
Мы	приведем	два	доказательства		этого		важного

утверждения. Первое из них короче, а второе более элементарно.

	П е р в о е д о к а з а т е л ь с т в о .				Согласно	предло
жению 4 имеем
	0 0
	2	4cos2 (rt/ +		<pn) =	oo	(5)
для	почти всех t.	По	теореме 4 гл. I I I (см. стр. 50)
			оо
из	(5) следует, что ряд		2 гп*п	cos (nt + ср„) п. н. не сум-

мируем методом Пуассона. Поэтому ряд (2) почти на

верное не суммируем			методом	Пуассона почти		всюду.
Согласно	предложению 2, (2) ф. М п. н. Попутно нами
доказано			оо
			оо
П р е д л о ж е н и е			7. Если 2	х2 =	оо, то ряд (2) п. н.
расходится	почти	всюду.
В т о р о е д о к а з а т е л ь с т в о .					Рассмотрим	суммы
Фейера		N
<*N (0 =		N
<*N (0 =		J ] (1 — "J") еп*л COS (Я/ + Фя).
Положим		О •
Положим	/	Л?			\ 1/2
	/	Л?			\ 1/2

PW(0 = ( S ( I - T ) 2 4 c o s 2 ( « / + ? n ) j

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ

ФУРЬЕ

и выберем

0 < А < 1 ,

г\ =

3 1

( l — А,2)2. Тогда неравен

ство

Пэли — Зигмунда

(2) (см. стр. 49) дает

P(aN

(t)>XpN

Это

верно

для

любых

Из

предложения

сле

дует,

что существует

подмножество

точек

окружно

сти и положительная последовательность р ^ - у о о ,

такие,

что mes V

и pN

(t) ^

для t е= Т'. Пусть (§ =

ШN —

множество

пар

(со, t) е= Q X

Т',

такое,

что [ aN

(t) | ^

Apw .

Если

£ фиксировано,

то

через Et будем обозначать

множество

всех

со, для

которых

(о,/)е=.#";

аналогично,

если

фиксировано

со,

то

через

£ ш

будем

обозначать

множество

всех

таких,

что

(со, /) е= 8.

Поскольку

P(Et)^n]

для

всякого

/ е= Г',

имеем

mes If =

J" Р (£<)

dt^ni\.

Пусть F = FN

обозначает

событие m e s ^ ^ T ) .

Полагая

mes If =

mes £ a

P (dco),

получаем

я л < я Р ( Л +

л ( 1 - Р ( ^ ) ) ,

(6)

т. е.

P(F)

P ( ^ ) > - ^ 1 5 .

Следовательно,

P ( l i r r 7 ^ ) > i ^ L .

Так

как

J l M * ) | d * >

j\oN(t)\dt^XpNmesEa,

имеем

Г | aN

(t) \dt

оо

N->oo

для со е= lim F^. Согласно

закону

нуля

единицы, это

ЛГ->оо

равенство имеет место п. н. Теперь, пользуясь первым

78 ГЛАВА V

утверждением

из

предложения

1, получаем:

(2) ф М

п. н. Попутно

мы

доказали

оо

П р е д л о ж е н и е .

Предполооюим,

что

^х2=оо,

Тогда

для

некоторого

г\ >

0 и некоторой

последователь

ности

pj V

- > оо

п.

н.

найдется

последовательность

подмножеств

точек окружности

с мерами ^

J ,

такая,

что

где сгд, (0

обозначает

N-ю

сумму

Фейера

ряда

(2).

Основное приложение предложения 6 было дано во

введении:

если заданы

последовательности

хп

срл,

со

причем 2

х п

0 0 >

т о

существует такой набор знаков

± ,

со

что ряд 2±

хп cos (nt

~f- ф„) не является

рядом

Фурье—

Стильтьеса. Приложение предложения 8 дается в упр. 13.

4. Ряды Радемахера. Случай 2*2,<°°

П р е д л о ж е н и е

9. Если

х \

< 0 0

> то ряд (2) п. н.

сходится

почти

всюду.

Д о к а з а т е л ь с т в о

является

очень

простым.

По

теореме

2 гл.

I I I (см. стр.

48) ряд (2) п. н.

сходится

при всяком заданном t, следовательно, ряд

(2) п. н.

сходится

почти

всюду.

Пусть

F(t)

обозначает

сумму

ряда

(2),

если

она

оо

существует.

Предполагая

х п

°°i

имеем:

(2) е

Согласно

предложениям

и 9,

F e L 2

и ряд

(2) п. н.

представляет

Мы

докажем,

что F е

п. н. для

всякого

р <

оо;

на

самом

деле

мы

установим

даже

более сильное

утверждение.

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

7 9

Подсчитаем сначала &(eXF(t)), X > 0. Вспоминая, что математическое ожидание произведения независи

мых случайных

величин

равно произведению их

мате

матических

ожиданий

(см. стр. 17),

имеем

cos(n/+<p„)

8 {еКх^cos

( П ' + Ф

л ) ) =

ch (Ххп

cos (nt +

Ф„),

для любого /, при котором ряд

(2)

сходится,

т.

е.

почти всюду.

Так

как

c h « ^ e " J / 2 ,

то

получаем

нера

венство

# ( e ^ < > ) < n / 4 / w 2 r / 2

Поскольку

из

соображений

симметрии

g-(FVn+li{t)) =

при

п =

1, 2, . . . .

то

предыдущее

неравенство

можно записать в виде

л=0

где m2n{t)

S{Ft-2n){t)).

Выбирая

Х2

= 2п/г,

имеем

т2п

(0 <

(2«)!

(^уП

еп

Сп\

(2г)п

(С постоянная). Поэтому

			оо	со
	8	(е ^> (0) =	2 2 £ m 2 „ (t) < С 2 (2Яг)" < оо,
если	Я <	1/(2г). Поскольку это неравенство справедливо
для	почти всех t,		то его	можно интегрировать; в ре
зультате		получим
		/ 2л	\	2я

8 j " eU"M dt = J <Г (е^'«>) Л < оо.

ГЛАВА V

Следовательно,

eW"t«d/< оо

п. н.,

(7)

если

X < 1/(2г).

Покажем,

что

(7)

имеет место

для

произвольного

Я > 0. Действительно,

выберем

v так, что

2Я-2

хп< 1,

и положим

л=1

со

Д--п8„ COS ( Л / + ф„),

n = V

p v (0 = ^ ( 0 - ^ ( 0 -

Так

как е

е= L

п. н. и,

конечно,

И так

как

Р 2 < 2 ^

2Р 2 ,

то e w

' e L '

п. н. Тем самым

(7)

доказано.

F е= V

Очевидно,

из

(7)

следует,

что

п. н. для

всякого

р,

1 ^ р < о о

(однако не обязательно F е= L°°).

Установим следующий

результат:

оо

П р е д л о ж е н и е

10. £слы

*1 < 0

0 .

г<?

(2) е=

е=

|")

п.

н.

Кроме

того,

функция

F(t),

предста-

| < р < о о

вляемая

рядом

(2),

почти

наверное

удовлетворяет

усло

вию

e X P ( i )

G= L 1

для

любого

X > 0.

Вторая часть этого утверждения есть простое след-

ствие того факта, что при любом X >

0 е

(0, 2 Я ) П . н.

Подчеркнем

особое

значение

предложения

10.

Если

оо

2*2 < °°> то ряд (2) п. н. представляет функцию, кото-

рая почти ограничена. В общем случае нельзя утвер ждать, что ряд (2) представляет ограниченную функ цию. Например, если ряд (2) лакунарен, т. е. имеет вид

со

У Р/6, cos {n,t +

lim - ^ ± L > 1,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 318 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ