книги из ГПНТБ / Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды

Если

Х\, Х2,

ХУ/

фиксированы

таким

образом,

что

| SV/1

^

р / + 1 — | Ь | — е,

то, как мы выяснили на

преды­

дущем шаге,

по крайней

мере одна из разностей Sn

— Sv

( v / < / i ^ v / + 1 )

с вероятностью, превосходящей 1/10, рас­

положена на

интервале

(b — е — 5V / , b -|- в + 5V y ).

При­

меним

предложение

4

при р / = 1 / 1 0 и

qt=l

—

l/j.

Тогда

P(lim

At)=l.

Тем самым

предложение

с)

до-

казано.

Д о к а з а т е л ь с т в о

п р е д л о ж е н и я

d) почти

ана­

воспользоваться

предложением 2 и взять в качестве %

характеристическую функцию круга. .

Отметим,

что

при доказательстве предложений с)

и d) предположение ап+1^ап

использовалось лишь в сла­

бой форме tm

—

tn&?tm-n.

2.

Пусть

Z\

Z„, . . . — нормальная

последова­

тельность;

а,

р, у,

. . . — комплексные

числа.

F, =

aZ„

—pZ, + Y2a ,

/7 3 =

6Z1 + eZ2

+ tZ 3 ,

F4 = ^ , + ez2

+ /z 3 + ^z4 .

Вычислите

^

(F2/Fi)

и

8{F3FJFXF2).

(Для

вычисления

второй

величины

воспользуйтесь

упр.

1.)

1

3.

Пусть

Fu F2,

F[, F'2 — совместно гауссовские

ком­

плексные

веллчины;

Ш'{F'jF\) =

гjk;

<8(F'jF'k) =

SВы­

числите

»(F'i/Fi),

ff{fs/Fs),

Ж

{F'iF'2l(F\F2)).

(Воспользуйтесь

упр. 2; ответ:

*Ч I '

r 2! '

r L 1Г22 • +

r l lr2

2 (r2

2rl

1 — Ir2 1 P)

- )

со

Ъапгпгп,

(1)

о

гдеа„ — заданные положительные числа,

Z„, ... —

равен

(lira aj/")- 1 ,

так

как,

согласно

предложению

3

гл. X I

(см. стр.

196), имеем

flm | Z„ | |

/ л = 1 п. н.

Пред-

л->оо

положим,

что \\тап1п=\.

Тогда единичная

окружность

| z | = l

п. н. является

естественной

границей ряда

(1)

(теорема

1 гл. IV, стр.

62). Действительную и мнимую

части

ряда

(1) можно записать в виде

оо

со

2 anrn

(Хп

cos nt — Yn

sin«/),

2 anrn(Xn

sin nt + Yn

cos

nt)

о

о

(2)

или в

виде

со

оо

2 a , 1 r " | Z „ | c o s ( n /

+

On ),

2 o / | Z B | s i n ( / r f - r O „ ) ,

(3)

о

0

где z = reli,

Zn =

Xn

+ iYn =

| Z„ |е' Ф " .

Заметим,

что

X0,

Y0, X\,

Yu

. . . —действительная нормальная

последова­

тельность, a Oi/2n, Ф2 /2я,...—последовательность

Штейн­

гауза,

не

зависящая от

| Z„ |; кроме

того, имеет место

?(\Zn\>r)

= e-»r>

(4)

ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

203

(формула

(32) гл. XI). Ряды (2) и (3) являются

пуассо-

новскими суммами случайных тригонометрических

рядов

оо

оо

2о ап

(Хп

cos nt — Yn sin nt),

о 2 an

{Xn sin nt +

Yn

cos nt),

оо

CO

(5)

2

a „ |

Zn |cos(n/+ Ф„),

]£ап

\ Zn\sm(nt

+ (Dn).

(6)

о

0

Обозначим через F(z) сумму ряда (1) в круге | z | < I .

В следующем пункте мы приведем результаты,

которые

весьма просто. После этого займемся

более

подробным

изучением

поведения

функции F(z)

в

случае,

когда

2 а

„ =

оо.

случаем ап

= па

^

Например,

если

ограничиться

( а ^

— 1/2),

то ситуация

следующая:

функции F

если

а = — 1/2,

то

множество

значений

на

заданном

радиусе п. н. всюду

плотно на плоскости;

более того, для каждой положительной

последователь­

ности

гп,

такой,

что

последовательность

(1 — гп)~1

со

выпукла и 2 ( 1 — гп) =

оо, случайная

последователь-

ность F(rn)

1

п. н. всюду

плотна

на плоскости (теоремы 2

со

и

3).

С

другой

стороны,

если

2 ( 1 — гп)<оо,

то

lim | F(rn)

| = оо п. н (теорема

4);

1

л-> со

а > — 1/2,

то F(z) стремится

к

бесконечности,

если

циклическом

множестве1 ) (например, на

объединении

окружностей

\z\ = rn, г „ < 1 , l i m r „ = l )

п. н. всюду

П-> оо

п. 5). — Прим.

перев.

204

ГЛАВА XII

точку

с окружностью | z | = l и такое, что если задано

Ef\Ka

содержит дискретное множество, образ которого

при отображении F п. н. плотен на плоскости (теорема 6);

если а > 1/2,

то

существует

такая

последователь­

ность

г„,

стремящаяся

к

1, что

\F(z)\

п. н.

стремится

к бесконечности, когда \z\ = rn,

а п->оо.

Отсюда

сле­

дует,

что

множество

значений

функции

F(z)

в

круге

| z 1 <

1 п. н. заполняет

всю плоскость (теоремы

7

и 8).

2. Обзор

предыдущих

результатов

0 0

Предположим,

что

2 Й 2 1 < ° ° ;

тогда

a)

для

любого

z

с

о

1,

ряд(1)

схо­

модулем, равным

дится

п. н.;

b)

ряд

(1) сходится

п. н. почти всюду

на

окружности

| 2 | = 1 ,

c)

f e

П

Нр

п.н.

(т.е.

F(e")<=

f|

L p \ \

d)

| < р < с о

\

I < р < оо

/

для произвольно заданного действительного /

предел lim/•'(re'')

существует

п. н.;

e)

предел lim F (re ) существует п. н. для

почти

лю-

бого

t.

оо

Предположим,

что

2оя п =

°°;

тогда

1, ряд

(1)

п. н.

а')

для любого z с модулем, равным

расходится;

Ь')

ряд

(1)

п. н. расходится почти

всюду

на

окруж­

ности

| z | = 1;

2л

оо

для

всех

опреде­

ляющих функций

ф (lim -ф(л:) =

оо);

Х-»оо

d') для

произвольного действительного t предел

lim F(reli)

п. н. не существует;

г-*1

206

ГЛАВА XII

3. Поведение функции вдоль радиуса;

условие

сильной

существенной

расходимости

Займемся

изучением

поведения

функции

F{z),

когда

точка

z

стремится

к

границе

по

множеству Е,

содер­

жащемуся

в круге | г | <

1. Будем

говорить,

что F обла­

дает свойством сильной

существенной

расходимости

на Е,

если

п. н.

lim

\F(z)

— а | =

0

для

каждого

ком-

|z|->T7ze£

\ F(z)\=oo

плексного

числа

а; если

же

lim

п. н.,

|г|->|, г<=£

то будем

говорить,

что F обладает

свойством

неогра­

ниченной расходимости1).

Небольшое

изменение

в до­

казательстве

теоремы

1 позволяет

получить

следующий

результат:

оо

=

0 0 ,

то

F

обладает

свойством

если 2 # n

сильной

о

расходимости

на

всем

круге

существенной

| Z | <

1.

ОО

Т е о р е м а

2.

Если

2 а „ =

оо

и

an

=

0{\IVn)

о

(п->оо),

то F обладает

свойством

сильной

существенной

расходимости

на

любом

радиусе.

Нам

понадобится

следующая

функция

Р 00 =

21 anr2n

=

&(\F

(rela)

|2 ), 0 <

г <

1.

(7)

п=0

Если с

= 0 ( 1 / / / Г ) ,

то р'(г) =

0(1/(1 — г)(г->1),

и по­

этому теорема 2 является частным

случаем

следующего

более

общего

утверждения:

оо

Т е о р е м а

3.

Предположим,

что 2

=

0 0 > Р' (г) =

==0(1/(1—г))

о

и

что

ги

гп,

к

...—положительная

последовательность,

стремящаяся

1 и такая,

что по-

оо

следовательность

р(гп)

выпукла

и

2

1/р (гп) = 0 0

•

Тогда

функция

F

обладает

свойством

сильной

существенной

J ) См. примечание на стр. 187. — Прим.

ред.

208

ГЛАВА XII

Поэтому,

если

г' > г,

то

Р (г) Р (г') -

Р 2 ( / " '

)

>

Р (г) р (г') -

р2 ( у 7 ) >

> Р ( Г ) Р ( О - ( Р ( 0 + ^ ) 2

=

=

Р(г) (Р ( г ' ) - р ( г ) ) - / С ( 2 р

(г) + / 0 .

Предположив, что р (г') > р (г) +

4К > 5/С, легко

находим

Р (г) Р (г') -

Р 2 {V7F) > (1/4р) (г) (р (г') -

р » ) .

Поэтому,

если

то

Р

>

Р (/"„) + 4/С> 5/С

( л = 1 , 2 ,

. . . ) .

(8)

8(x(F(rn))%(F(rJ))<p{rnnp^_p{rn))

(1 < „ < т).

Предполагая,

что

неравенство

(8) справедливо,

имеем

N

v ^

'

Л

р (г„) (р (rm ) - р (/•„))

1

р (Г„)

l<n<m<W

Так

как

последовательность

р (гп) выпукла,

то р (/-,„) —

— P (rn) >

р (/-„_„),

и поэтому

If (р.2) <

32^2 (ц) +

2# (ц) <

34#2 (ц).

Следовательно, на основании неравенства I I (см. стр. 19)

Р (р, > 0) >

1/34. В конечном счете при условии А/ ^

N (/, е)

вероятность того,

что круг D{a, е) содержит

по крайней

мере

одну

из точек F(r,),

F(rn),

больше

1/34.

Для

N^N(l,e,v)

F(z)

имеет

место

то же

самое при

замене функции

функцией

со

Fv

(«) = 2

anZnzn.

V+I

Причина

заключается в том, что разности

р (rm ) — р(г„)

не могут

сильно измениться, если р(г)

заменить на

210

ГЛАВА XII

+ Л>у(Гп), то круг

D{a, Зе) п. н. содержит

бесконечно

много точек F(rn).

Если удовлетворяющая

предположе­

ниям теоремы 3 последовательность ги г2,

...,

гп, . . . не

лить

подпоследовательность этой

последовательности

г,,

г„,

удовлетворяющую

как условию (8), так

Т е о р е м а 4.

Пусть

ги

гп,

—

положительная

последовательность,

стремящаяся

к 1 и такая,

что

оо

2

1/р(г п) <

°°- Тогда

F обладает свойством

неограничен-

1

ной расходимости

на {гп }„= , 2_

, а также на {/"„е"1}^,

2

при

любом

а.

Д о к а з а т е л ь с т в о

опирается

на лемму Бореля —

Т е о р е м а

5. Если

последовательность п-^ап

убывает

при некотором

% > 0

и

2

1 / ( л „ ) < о о ,

(П)

то F обладает свойством неограниченной

расходимости

на любом радиусе.