Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 317 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

мы можем предположить, что средней точкой дуги / является точка г, т. е.

/ = {«<«, | а | < р )

при некотором р < л. Дуга / регулярна тогда и только тогда, когда функцию F можно продолжить аналити чески в некоторый круг

| z — х К | ге''Р — х | - f е

(О < х < г, в > 0). Кроме того, мы можем рассматри вать лишь рациональные х. Иными словами, дуга /

регулярна,	если
I	lim ml1 F{m)(x, со)	1>\ге*-х\	(6)

для некоторого рационального х. При всяком данном х неравенство (6) является событием, и мы рассматриваем

счетное	объединение таких					событий.		Следовательно,
со-множество вида «дуга / регулярна для функции										F(z)»
является	событием.			Кроме		того,	согласно закону			нуля
и единицы, это событие имеет							вероятность,		равную
нулю или		единице.
Замкнутые			дуги	вида
				{rela,	р: <	а <	р2 },
где числа		$Jn	и	р 2 / л	рациональны,			будем	называть

рациональными дугами. Рассмотрим все рациональные дуги, которые п. н. регулярны, й пусть 01 обозначает их объединение. Почти наверное имеет место событие: все рациональные дуги, содержащиеся в 01, регулярны и никакая другая рациональная дуга не является регу лярной. Следовательно, 01 п. н. является множеством всех регулярных точек на окружности | z\ = r. Это мно жество является открытым строгим подмножеством окружности сходимости. Мы назовем 01 регулярным множеством функции F.

3. Симметрический случай

Предположим теперь, что Хп — симметрические слу чайные величины, т. е. Хп и — Хп имеют одно и то же распределение. Если задана произвольная последова-

6 2

ГЛАВА IV

тельность e'Q, ej, е*, . . . констант, равных ± 1 , то после довательности {Zn } и {е*Хге} подобны (см. стр. 20). По этому, если ряд (2) почти наверное обладает некоторым свойством, то этим же свойством почти наверное обла дает и ряд

f E w = i ; i / .

(7)

л=0

Вчастности, 31 почти наверное является регулярным множеством для функции Fb. Этот очень простой факт

позволит нам доказать следующее утверждение.


Т е о р е м а		1. Предположим,			что 0 < г <		оо.	Тогда
если	коэффициенты		Хп являются		симметрическими			слу
чайными величинами,			то окружность \z\			= r	почти на
верное является		естественной		границей		для	F(z).	Дру
гими	словами,	множество 31		пусто.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что 31 не пусто. Выберем натуральное v столь большим, чтобы 91 содер жало дугу длины (2л/v) г. Для заданного k = 0, 1 , - v — 1 положим

8* =	1,	если	& (mod v),
е* =	— 1 ,	если	n = £ (modv),

Как мы уже отмечали для ряда (7), 31 п. н. является множеством регулярных точек для функции Fk(z), а также для функции F (z) — Fk (z).

Далее,

F (z) - Fk (z) = 2 2Xk+lvz^	= z*Hk (z),
/=п

где

Hk{z) = Hk{ze™i%

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

Отсюда следует, что Hk(z) п. н. регулярна на окруж ности | z | = г. Следовательно, функция

%zkHk(z) = 2F(z) fe=0

п. н. регулярна на окружности \z\ = r. Это противо речие доказывает теорему.

4. Общий случай

Теперь мы можем доказать теорему Рыль-Нарджев- ского. Воспользуемся методом симметризации. Для упро щения формулировки будем говорить, что | z | = o o является естественной границей для целой функции.

Далее,

обозначим

через

радиус

сходимости

ряда

(2).

В то же время через

г0

мы

будем

обо

значать и радиус сходимости случайного

ряда

Тейлора

с суммой

Т е о р е м а

Предположим,

что

гр

Тогда

имеются

лишь

две

возможности.

Либо

окружность

\z\

rF п. н. является

естественной

границей

для

функ-

оо

ции

F (z) =

^jXnzn,

либо

существует фиксированная

функ-

ция

/ ( г ) =

оо

такая,

что

rF_f

> rF

окружность

Ц в л 2 " 1

| z | =

/>_f

п. н. является

естественной

границей

для

функ

ции F{z) — f (z).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что первый случай не имеет места, т. е. множество 91 не пусто. Воспользуемся произведением Q X Q в качестве нового вероятностного пространства и рассмотрим ряд

G (z, со, со') = S (Хп (со) - Хп (0>О) zn,

(8)

где	(со, соО e ( Q X		й). Почти	наверное	на	Q X	й обе
функции F(z,		со)	и F(z, со')	регулярны	на	91; поэтому
то	лее самое	справедливо и		для функции		G{z,	со, со').

64 ГЛАВА IV

Далее, коэффициенты ряда (8)—независимые симметри

ческие величины. Применяя

теорему

1, получаем

г0 >

rF,

а окружность \z\

rQ п. н. является

естественной гра

ницей для

функции

Для

почти

всех

со'

из Q выполняется

следующее

условие:

га

(со, со') =

г 0

для

почти

всех со

\z\

является естественной границей для

функции G (z, со, со').

Выберем

со'

так,

чтобы

имело

место (9),

и положим

Полагая

ап

Хп(<*')

(л =

. . . ) .

оо

G {г,

со') =

{Хп

(со) -

ап) zn

F(z)-f

(z),

мы сведем

результат к

утверждению

(9).

§ 5. Случайные ряды Тейлора двух комплексных переменных

Если дан обычный степенной ряд двух переменных

оо	оо
2	2	ап mznz%	[а	комплексные),	(10)
/1=0 т=0		'

то мы определяем его область сходимости как наи


большее	открытое		множество в			С2 ,	где		ряд (10)	абсо
лютно сходится;			здесь	С 2	обозначает			множество		пар
комплексных		чисел (zu		z2)	с обычной топологией.					Если
область сходимости D не является пустой, то ряд										(10)
определяет функцию f(zu				z2), голоморфную в D.						С 2 и
Если заданы связное открытое множество А в
функция	f(zu	z2),	голоморфная			в	А, то		Л называется
областью голоморфности функции f(zu								z2),	если не суще

ствует строго большей области (связного открытого мно жества), в которую функцию f(zu z2) можно продолжить аналитически.

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

В отличие от случая одного комплексного перемен ного, не всякая область А является областью голоморф ности (см. упр. 3). Поэтому интересно узнать, что всякая область сходимости является областью голоморфности. Это обнаружили Картан и Туллен в 1932 г. Тео рема Картана—Туллена является следствием следующей теоремы.

Т е о р е м а		3.	Предположим,	что область		сходи
мости D	ряда	(10) не является		пустой, и	рассмотрим
случайную	функцию		F(zu z2), голоморфную		в D,	зада
ваемую	рядом

оооо

F ( Z „ Z 2

) = 2

2 О я .mRn.

mZlZ2>

m=0

где

e„, m обозначает

независимые

случайные

величины

Радемахера

( е „ > Т = ± 1 ) .

Тогда

почти

наверное

является

областью

голоморфности

функции

F(zu

z2).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть (£], £2 )—граничная

точка

области D. Докажем

сначала, что

она п. н. особая,

т. е. если мы обозначим

через & множество таких сое=Д

что существует

область

D' (со) ID D,

ДЛЯ

которой

точка

(£i> £2) является внутренней,

а функция F(zu

z2, со) ана

литически

продолжима

£>'(©),

то

<S имеет

вероят

ность

нуль.

Действительно,

рассмотрим

случайную

функцию

= 2

ап

m e„ J№wn+m

(w комплексно),

(11)

л=0 т = 0

которая определена и голоморфна в круге | w | < 1 для всех со. Если со с= то 1 является регулярной точкой для функции Ф(ш, со). Таким образом, достаточно дока зать, что 1 п. н. является особой точкой для Ф(КУ).

Положим

ФИ = 21>",

Р = О

Yp=	2 a ^ j X Z	(р = 0, 1, . . . ) .
	n+m=p

8 Ж.-П, Kaxau

6 6

ГЛАВА IV

Так как множества величин е„, ,„, фигурирующих в двух разных суммах Ур > не имеют общих элементов, то Yp являются независимыми симметрическими случайными величинами, и мы можем применить теорему 1. Следо вательно, точка и) = г ф почти наверное особая. Теперь достаточно доказать, что г ф = 1 .

Мы

уже

знаем,

что г ф ^ 1 .

С другой стороны, ряд

в (И)

не сходится

абсолютно,

если

\ w\>l.

Поэтому

для любого б >

0 найдется бесконечно

много пар (п, /и),

таких,

что

| a n . m l U i M £ 2 r > e - ( ' t + m ) 6 .

(12)

Теперь

воспользуемся неравенством

Пэли — Зигмунда:

для

любого

событие

\YP\>1(

\an,m№\Y

(0<*<!)

имеет вероятность,

превосходящую е =

е (А,) >

В част

ности, найдется бесконечно много значений р (а

именно

р =

п-\-т,

если

выполняется

неравенство

(12)),

таких,

что

событие

\Yp\>le-P6

(13)

имеет

вероятность

> е.

Поскольку

события

(13)

неза

висимы, то можно применить лемму

Бореля—Кантелли,

из которой следует, что найдется бесконечно

много

таких р, что имеет место (13). Другими словами,

г ф < ! е 9 .

Так как б произвольно мало и

г ф ^ 1 ,

то

г ф = 1 .

Следовательно,

(£l f £2) п. н. является

особой

точкой.

Выбирая счетное множество S всюду плотное

на

гра

нице области

мы получим,

что

всякая

точка

мно

жества S п. н. особая. Отсюда

следует, что

область D

п. н. .действительно

является

областью

голоморфности

функции F.

Дальнейшие

сведения

относительно

областей

голо

морфности

можно

найти

в упр. 9—11,

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

6. Случайные ряды Дирихле

Теоремы 1 и 2 можно обобщить, рассматривая вместо рядов Тейлора ряды Дирихле

2 V

V .

(14)

Разъясним

коротко

ситуацию.

Здесь Я0, А,

— воз

растающая

последовательность

положительных

чисел,

Хп — снова

независимые

комплексные случайные

вели

чины, a

s =

а +

it — комплексные

числа.

Пусть

ас(со) — точная

нижняя

грань

таких

действи-

оо

тельных

чисел а, что

ряд

Хп

(со) е~Хп<3

сходится.

Хо-

л =0

рошо

известно,

что ряд (14) сходится при

ст>ас(со)

расходится

при сх<а<.(со). Согласно закону

нуля

и еди

ницы, сг^со)

п. н. постоянно,

т. е.

ас{в>) — ас

п.

н.

при

некотором

ас ( — с х з ^ д с

^ о о ) . Мы

предполагаем,

что — оо <

ас <

оо.

Имеются только две возможности. Либо прямая схо

димости

а = ас

п. н.

является

естественной

границей

для функции F{s), определяемой рядом (14), либо суще

ствует открытый

круг D с центром с на прямой

а =

ас,

который

п. н.

продолжима.

Пусть

s0 =

а0-{-

it0

—

точка круга

причем ст0

ос.

Если

е >

достаточно

мало, то тейлоровское разложение функции F около

точки с +

п. н.

сходится

в точке s„. Следовательно,

ряд (14)

точке

s = s0

п. н.

S-суммируем. некоторой

матрицей.суммирования (см. стр. 43—44, упр. 13 гл. II) .

Если

Хп

симметричны,

то второй

случай

приводит

к противоречию

после

применения теоремы

1 главы

I I

(см. стр.

26). В

общем

случае

можно

рассуждать

как

при доказательстве теоремы 2. В результате получаем теорему: •

Т е о р е м а		4. Если	величины. Хп	симметричны, то
прямая	а = ас	является	естественной	границей. В общем
случае,	либо	прямая	<з=*ае является		естественной
8*

ГЛАВА IV

границей, либо существует такой обычный ряд Дирихле

оо

2	o.n&~%nS		с	той же		прямой	сходимости и число а'
л=0		о' <			строго меньшее ас, что случайный				ряд
(—	оо			cr,.),
со
2	(Хп	— ап) e~^nS			п. н. сходится		при о>	о' и его	нельзя
га=0			ни в какую			более	широкую	область.
продолжить

7.Дополнения и упражнения

1.Выпуклое открытое множество Л на плоскости R2

назовем

^-множеством,

если

(|{, Щ с= Д при

%\ >

^ > Е2 и

(£i> У е

А- Определим

Ф-множество

в С 2 как

прообраз "^-множества при отображении

(z„

Z a ) - * ( — log

I z,

I , — l o g | 2 2 | ) .

Докажите, что область

сходимости

ряда

(10)

является

^-множеством, а любое '(Р-множество является

областью

сходимости некоторого ряда вида (10).

(Положите

Рщ. п. к - {(Si. У'- «Si +

™.\2 -

log \ап,т\>(п

+ т) X}

A b . v =

^ m . » . X .

Д =

4 l r

(п, m):n+m>v

v, Я.>0

Докажите, что А является

'й'-множеством

и что

любое

•^-множество получается

таким

путем.

Сравните

с наибольшим

открытым множеством в R2, где

со

оо

2 \ап,т\е-^+^

< о о . )

2. Если D является ^-множеством

и функция f (zu

z2)

голоморфна в

D, то f(zl,z2)

имеет

разложение (10),

которое

сходится в D.

докажите, что f(zu

z2)

(Используя

формулу

Коши,

имеет разложение (10) в поликруге

{(zu

z?): | гх

| < | ^ |,

I z a K l b D при

(£„£2 )6=Д.)

3. Если D0 и D, суть "^-множества, то в общем

случае

существует "сР-множество D,

которое

строго

		СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА				69
шире	A J \| J £ > I	И таково, что		любая	функция	f(zhz2),
которая голоморфна в D0\jDlt				голоморфна и в D. Что
представляет		собой исключительный			случай?
(Используйте упр. 1 и 2.)
4.	Дан ряд
		2	2			(15)
		л=0	т = 0

где Хт>п — независимые случайные величины. Докажите, что существует такое "^-множество D, что область схо димости ряда (15) п. н. совпадает с D.

(Зафиксируйте z2 на рациональном значении и рас смотрите ряд (15) как случайный ряд относительно г{.)

5.Пусть величины ХПъП1 в (15) симметричны; дока жите аналог теоремы 1.

6.Сформулируйте и докажите аналог теоремы 2 для ряда (15).

	7.	Сформулируйте и докажите аналоги теорем							1 и 2
				со
для ряда			Лорана	2	Xnz"'.
	8.			П=—	оо
	8.	Сформулируйте			и докажите аналог теоремы 4
для		аналитических			почти	периодических		функций
оо
2	* « e - V (K+i >			К).
— оо	9. Пусть заданы последовательность целых								функ
	9. Пусть заданы последовательность целых								функ
ций т переменных fu					f2, ...,	fn, . . . и непустое откры
тое		множество		G в	С ш .	Предположим,		что	ряд
со
2 fn(zi>			•••> zm)	сходится равномерно			на всяком ком-
п =	I					оо
						оо
пактном			подмножестве из G,			а ряд 2	lfn(z i>	•••> zm) F

расходится вне G. Докажите, что G почти наверное является областью голоморфности случайной функции

со

2 вп{п(г{	zm), где е„ — последовательность Раде-
п=1

махера.

ГЛАВА IV

(Доказательство то же самое, что и для теоремы 4.)

10.Пусть дана произвольная последовательность

целых функций т	переменных g{, g2		gn,	и
пусть Я —ядро подмножества из		С \	заданного	нера
венством s u p \| g „ ( z	, z m ) \| ^ l .	Предположим,		что

каждая функция gn встречается в последовательности бесконечное множество раз. Докажите, что существует такая последовательность целых чисел р,, р2 , . . . , р п , ..., что Я п. н. является областью голоморфности случай-

		со
ной функции		2 engPnn{zi>			zm)> г		д е	е п — последова-
тельность	Радемахера.
(Используйте			упр. 9.)
11. Открытое			подмножество			Я	из	С ш	называется
полиномиально		выпуклым,			если для любой точки (а( , . . .
ат),	заданной			вне Я,	найдется		полином			P{zu . . .
. . . , zm ),	такой,		что	\| Р \| <	1 на Я	и \| Р (а„			. . . .	ат) \ > 1.

Докажите, что полиномиально выпуклое открытое мно

жество является	областью голоморфности (Картан —
Туллен).
(Используйте	упр. 10 и рассмотрите полиномы
с рациональными	коэффициентами.)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 317 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ