книги из ГПНТБ / Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды

С Л У Ч А Й Н Ы Е Р Я Д Ы В Б А Н А Х О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е

41

существенно сходится тогда и только тогда, когда

он

(Теорема 2 и упр. 1.)

3.

Верно

ли предыдущее утверждение, если

Х\, ...,

Хп,

. . . — независимые случайные

векторы в ба­

наховом пространстве?

(Нет, если банахово пространство бесконечномерно.)

4.

Пусть

В — комплексное банахово

пространство,

/ — корень

m-й степени

из единицы

(jm=l),

а 5 — ма­

трица

суммирования.

Предположим, что Хи

Х2, • • •, Хп,

. . . — независимые

оо

ры Хп

и jXn подобны. Докажите, что если ряд 2

Хп

п. н.

S-суммируем,

то он п. н.

сходится.

Если же

он п. н.

S-ограничен,

то

он п. н. ограничен.

(Доказательство

аналогично

доказательству

тео­

ремы

1; интересен

случай,

когда

т нечетно.)

=

5. Пусть

дана

действительная матрица

{апт)

{п =

1,2

v; т. =

1, 2, . . . , ц) и положительные

числа

Ьи

. . . . 6V. Пусть

— число решений

системы

2

аптът\

<Ьп

( л = 1 , 2, . . . . v), 1\

8 т =

±

1

(т =

1, 2, . . . , Ц,), J

a

N2 — число

решений системы

2

аптет

< 2Ьп

(я =

1,.2,

. . . , v),

]

ет—

±

1

( m = 1, 2,

(л).

1

Оцените снизу

N2

через

i . Докажите,

что из неравен­

ства

N2 < 2Ц

следует неравенство

<

2Ц —2( м , - 1 ) / 2 . (Тео­

рема

3.)

42

ГЛАВА II

операторов из В в В,

содержащая

оператор

симметрии

(х —>—х).

Пусть

«„,...—последовательность

векторов

в

В,

a

Yi>

• • • >

Уп,

•••—последовательность

независимых случайных унитарных операторов из G,

равно

распределенная

относительно меры Хаара (т. е.

каждый оператор уп

задает некоторую вероятность на G,

которая

есть

не

что иное,

как

мера Хаара).

Докажите

со

теоремы

3,

4

и 5,

заменив

в

них

ряд 2 е л " л

рядом

оо

1

2 УпИп-

(Доказательства

те

же. Наиболее важный момент

состоит

в том,

что

для каждого

т

случайные

унитар­

ные

Операторы

Vl.

Y2.

Ym.

Y m Y m + l . YmYm+2.

•••

являются

независимыми.)

7.

Обозначения

те

же,

что

и

в упр. 6.

Докажите,

со

со

что оба

ряда

2

е л " п и 2

Y

A п - н -

сходятся,

либо

п. н.

(Доказательство

аналогично

доказательству

тео­

ремы

6.)

8.

Пусть В есть /n-мерное

евклидово

пространство,

а

Хи

Х2, • -.,

Хп,

...

—независимые

случайные

векторы

в

В,

равномерно

распределенные

на

единичной

сфере

(т. е. || Хп (со) I I — 1 п. н. и для

каждого

подмножества

Д

единичной

сферы

вероятность

Р{ХпщА)

равна

мере

А

с

точностью

до

постоянного

множителя).

Докажите

оо

оо

теоремы 3,

4,5, заменив в них ряд 2sn"n рядом 2^nll ип

II-

(Упражнение 6; см. также

1

1

гл. I I I . )

9.

Пусть

В — комплексное

банахово

пространство,

щ,

и2,

ы„, ...—последовательность

векторов

в

В,

а

Хи

Х2, ...,

Хп,

. . .

и У,, . . . ,

Yn,

...

— две

последо­

вательности

независимых симметрических комплексных

случайных

величин,

таких,

что

sup | Хп

(со) | <

со

и

0), п

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

43

inf | F„ (со) | >

0.

Докажите,

что

если

ряд

2 ^ А

п. н.

0), п

I

сходится или

ограничен,

то

это

же

справедливо

и для

ряда ооЪХпип.

1

(Обобщение

теоремы

6;

сравните

оба

ряда с

рядом

оо

12.

Пусть

ряд

Тейлора

^jCnzn

сходится

в

круге

| z | <

R,

f(z)

— его

о

и пусть

сумма. Предположим,

что

функцию

f(z)

можно

продолжить

аналитически

в

круг

D :

| z — а | <

р, | а |<

R.

Для

каждого г е й

доказать,

оо

что

ряд 2о cnZn

является

S-суммируемым к функции f (z)

(

оо

т

( 7 ) ( г

- «>'

f (г) =

£ ^ Г 1

- *Г> ««« = z ' m 1

о

/=о

( я < т ) ,

аят=«1

( л > т ) . ) -

44

ГЛАВА II

а

(апт

= Ф * (*) Ц 7Г «ДО (°) (2 - а ) ' ' и л и а ™ = 1> е с л и

/=0

Ф » ( 2 ) =

0.)

Г л а в а

III

СЛУЧАЙНЫЕ

РЯДЫ

В ГИЛЬБЕРТОВОМ

ПРОСТРАНСТВЕ

1.

Введение

Основная

цель этой

главы — дать

необходимое и

и достаточное

условие для того, чтобы

ряд

0 0

оо

2

е„и„ = 2

± «д

1

1

оо

мы

получаем простое

условие

2II

"л II2 < 0 0 •

i

Предварительными этапами для нас будут неравен­

ство Колмогорова,

неравенства

Пэли — Зигмунда

и изу­

чение положительных

рядов.

Все

это

валено и

само

по

себе.

Введем сначала

обозначения.

Через

Я обозначим

ство.

Скалярное

произведение

обозначим через (х,

у),

а

норму — через

Если

X и Y — случайные векторы

в

Я,

то

|| А" И, || Y || и

(X,

Y) — случайные

величины.

Если

существует такой вектор х <= Я, что для любого

у е

Я

(X,y)z=V(Q)

и

Х(Х,у) =

(х,у),

то

будем писать

J<=Zj/(Q)

и

S(X)=

J X{a)d(o

= x

и называть число

$(Х)

математическим

ожиданием

X.

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

47

чем даже

в более общем случае. Именно,

справедлива

Т е о р е м а

1.

Если

Хп е

Ьн (Q) и

Ж (Хп) = 0

для

любого

п, то

Р (

sup

||J, +

Z 2 + . . .

+ ^ „ | | > r ) <

ft=l,2

N

<-^T(V(X1)+V(X2)+

. . .

+V(XN)).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

Yn = Х{~\-

Х2-\- . . .

...-{- Хп

и

рассмотрим

следующие

несовместные

события:

А : I U M I > r ,

А2:

|| 7,|| < г, || Y21| > г,

Л„: | | У , | К г , . . . .

| | У я

- , | | < г , | | У „ | | > г ,

а

также

событие

А — (J Д,. Мы хотим оценить вероят-

JV

ность

р ( А ) = 2 Р (АОСначала

имеем

г 2 Р ( Л „ ) < < Г ( 1 Л я | | Х 1

+

. . .

+

Xn\f).

Полагая

X =

lAN(XT

+ . . . + Хп)

и Y = ХП+1

+

• • •

+Х„,

заметим,

что X зависит

лишь

от ХИ

Х П , a Y — от

ХП+\,

X N

. Поэтому

X

и

Y

независимы

и, таким

образом,

&((Х,

Y)) =

(Z(X),&(Y))

=

0.

Так как X

=

0 вне АП,

то

У) = аг(*.

iAY).

Следовательно,

аг ( | х + 1 л

/ If) = $ (II х

|р) +

s (j I

A Y

f ) >

*

(к x IP),

и,

таким

образом,

r2 P

(Л„) <

«• (J X

+

1 Л /

|f) —

&(}АП

II ^

IP).

48

ГЛАВА III

Записывая

это неравенство для п =

I, 2,

...,

N

и скла­

дывая, имеем

Это и есть

требуемое

неравенство.

Выведем из теоремы 1 следующий важный

результат.

Т е о р е м а

2.

Предположим,

что

Хп е

LH

со

&{Хп)

= 0

для

любого

п

и, кроме

того,

2^(Хп )

<

оо .

оо'

1

Тогда

ряд

Н.

В частности,

если

2 Хп п. н. сходится в

оо

1

оо

2II "л II2 < 0

0

,

то ряд

2 ±

"л п. н.

сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для любого г > 0

имеем

оо

P ( s u p | | X m - f Z m + 1 + . . . + Z m + / | | > r ) < - i - 2

У Щ -

Поэтому

P ( l i m

sup||Zm

+

X m +

I + . . .

+Xm+,\\>r)

=

0.

m->oo

/

P ( l i m

sup\\Xm

+

Xm+l

+ . . .

+ * m + / | | > 0 )

=

0.

m-> со

/

со

Следовательно,

ряд

2

%п п. н. удовлетворяет

условию

Кош и для

сходимости.

3.

Неравенства

Пэли — Зигмунда

Следующие

неравенства

имеют

противоположный

характер

по

отношению

к

неравенству

Колмогорова.

Т е о р е м а

3.

Предположим,

что

\\ Хп

|| е

L 4 (2),

пусть

= 0

и

& (|| Хп

||4) <

С V2(Xn)

для

любого п.

Дал".е,

0 <

А, <

1.

Тогда

Р (|| Хх

+

. . .

+

Xy\\>X(V(Xl)+

. . . +

^ v ) ) ^

>

Л, (О

Т е о р е м а

4. Предполоэюим

снова,

что || Xn

|| е

L 4 (Q),

& { Х П )

= 0

и

&{\\ХП\?ХСУЦХП)

для

любого

п.

Пред-

полооким,

что ряд ^Хп

п. н. S-ограничен,

где S — дан-

1

оо

ная

матрица

суммирования.

Тогда

2 V (Хп)

< оо .

1

оо

В частности,

если ряд 2

± ип

п- «•

S-ограничен,

то

оо

1

3 | | И я 1 Р < « > .

1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы уже знаем,

что

результат

не зависит

от 5 (теорема

1 гл I I , стр. 26).

Тем'не

менее

сящее

от

результатов

гл. I I . Пусть,

как и на

стр. 24,

S = (anm).

Положим

Env

=

{IJ2

anmXm

I >

Я. ( a 2 m n

V

(Xm)J

},

оо oa

En

=

lim Env

=

f |

[JEnv,

£

=

li m

En.

Согласно

Л1->оо

имеем

Р (£,iv) >

"Л-

Следовательно,

теореме 3,

Р (£„) > т] и Р (£) >

т). Так как мы предположили,

что

оо

ряд 2i

п. н.

S-ограничен, то существуют

со е £

и

Ь > 0,

такие,

что ряд

оо

2 an m Xm (co)

сходится ( я = 1 , 2, . . . )

m=l

2 а л

А М < 6

( л = 1 , 2, . . . ) .

I m=i

II