Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 314 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

С Л У Ч А Й Н Ы Е Р Я Д Ы В Б А Н А Х О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е

где

Хп'

* * = 0

е с

л и

Р 2 / - 1

Р 2 / ;

0 '

Х'п

Хп>

е С Л И

Р 2 / < Л < Р 2 / + | -

Заметим, что 2Х'п— Хп=

± Хп

то же самое

спра

ведливо для

2Х'п — Хп.

Так как

Хп — симметрические

векторы,

то

обе

последовательности

{2Х'п — Хп}

подобны

последовательности

{Хп},

следо

вательно,

оба

ряда

2№-*„),

Ъ(2хъ-хп)

почти

наверное

обладают

теми

же

свойствами,

что

оо

ряд

Поэтому

ряды (16) п. н. Г-суммируемы. Для

р/г

этих

рядов частные

суммы

порядка

как мы

только

что

доказали,

п. н.

сходятся.

Следовательно,

частные

оо

суммы

порядка

р/ данного

ряда

Хп

п. н.

сходятся.

На последнем этапе мы используем лемму 1. Прежде всего заметим, что частные суммы порядка р/ сходятся по вероятности, т. е. для каждого tj > О существует номер / = } (г\), такой, что

если k > /. Согласно лемме 1, для каждого / и k имеем

	Р/	sup	I 2		Хт\>ц\<2ц.				(17)
Записывая	неравенства			(17)	для	ti =	t]k =	2 - x ,	/ =
— /(л*) — Л,	и	к =	}{цк+х)	=	] к + х	(х =	ц, ц	+ 1,	. . . ) ' н

складывая, получим следующий результат: с вероят ностью, превосходящей 1 — 4 ^ , имеем

32 ГЛАВА II

при Р/ х < '	Г Д Е и =	ц, (х +	1	Пос
				оо
частные суммы порядка р,	сходятся	п. н., то	ряд	2^п

сходится с вероятностью, как угодно близкой к еди

нице, т. е. почти	наверное.	оо
		оо
Итак, мы доказали, что		ряд 2 Хп	п. н.	сходится,
если он п. н. S-суммируем.		Оставшаяся часть			тео
ремы 1 доказывается теми же рассуждениями с					очень
					оо
небольшими изменениями. Предполагая,			что	ряд	2 %п
п. н. 5-ограничен,	определим	сначала			1
п. н. 5-ограничен,	определим	сначала	возрастающую

последовательность натуральных чисел р/ так, чтобы

частные суммы порядка pt

были п. н. ограничены. Для

всякого е > 0

существует

г =

г(е),

такое,

что

P/supl

* J | > r l < e .

Применяя

лемму 2

при Л =

{р/}, получаем

Р ^sup

хп

>Л<

2е.

Следовательно,

ряд

2^т

п. н. ограничен,

доказа-

тельство

завершено.

Предыдущие

рассуждения

приводят,

между

прочим,

к следующему

результату: если Хп

— независимые

слу-

оо

чайные векторы

и ряд

Хп

сходится по

вероятности,

оо

то он сходится

п. н. Другими

словами,

если

ряд

2-^п

п. н. не сходится, то найдется

т) >

0 и

две

последова

тельности

т2

т\,

т'2,

. . . , такие,

что

/п, <

т\<

< т2< т'2< . . . и

Р/|

гХп

> ^ > Л

при

k=l,2,

•СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

	5. Ряды Радемахера 2 ± "л
Начиная с этого			момента			мы ограничимся рядами
оо
вида 2 е А > г Д е ип — векторы						в	банаховом			простран-
I				последовательность						Радемахера.
стве В, а е„ составляют				последовательность						Радемахера.
Если такой ряд сходится в пространстве В, то будем
писать
		i
Далее, положим
		п
	Vn = Hi гтит				(Vn = Vn (со)),
	Af = sup\|\|VB \|\|.
		п						М < оо. Из закона
Ряд называется		ограниченным,				если		М < оо. Из закона
									оо
нуля и единицы		мы знаем, что ряд							2 е «"л		сходится
п. н. или расходится			п. н. и что он п. н. ограничен или
п. н. неограничен. В случае,						когда		он почти			наверное
сходится	(ограничен),			мы будем			исследовать				свойства
случайных	величин		\|\| V \|\|		(или	М). Грубо говоря, мы
докажем,	что если		мало		вероятно,			что			(или М)
велика, то совсем невероятно,						что эта величина очень
велика.									оо
									оо
Т е о р е м а 3. Если				случайный			ряд 2е «и п				сходится
п. н. и его	сумма	V удовлетворяет							i
п. н. и его	сумма	V удовлетворяет						условию
		P(\\V\\>r)<a/2								(18)
для некоторых г > 0 и а> 0, то
	оо	P ( i m i > 2 r ) < a 2 .									(19)
	оо
Еслиряд 2еп"л я- ч- ограничен								и	удовлетворяет
условию			Р (Af > г ) < a								(20)
			Р (Af > г ) < a								(20)

2 Ж.-П. Кахан

34					ГЛАВА II
для	некоторых		г > О	и	а >	О, то
			Р {М > 2г) <				2а2 .
Д о к а з а т е л ь с т в о .						Если	выполнены		предполо
жения		первой	части	теоремы,			то	применима	лемма 1
при	Хп	= гпип,	Yn—Vn,		Y = V,		и	из условия (18) мы

получаем условие (20). Определим следующие события:

Л =

{ М > г } ,

5 =

ряд

е„ы„

сходится

|| V || >

г | ,

С =

ряд

е„к„

сходится

|| V || >

| .

Неравенства

(18)

(20)

могут

быть

записаны в виде

Р (В)

а/2

Р (Л) <

соответственно. Кроме

того,

по

ложим

4 » =

{|| Vi I K г

|| Vm-X

|| <

г,

|| У т

|| >

г),

{

оо

II оо

ряд

а сходится

2 е „ « „

г}

II m

( m = l ,

. . . ) . События

Л т

образуют

разложение

со

бытия

Л. Так как Ат

зависит только от е,, е2 ,

е т ,

а Ст

зависит

только

от

em,

em + |,

е„„

е т + 2 ,

то

со

бытия

Ат

и С т независимы при каждом т и мы имеем

Р(Ат[\Ст)

Р(Ат)Р(Ст).

Ат

Кроме

того,

одновременное

наступление

событий

и С обеспечивает наступление события Ст.

Следова

тельно,

Р ( Л т П С ) < Р ( Л т П С т ) .

Записывая

это неравенство

для

т=1,

2, . . .

и скла

дывая,

получаем

Р(С) =

Р ( Л П С ) < Р ( Л ) 5 и р Р ( С т ) .

(21)

Теперь

если

заданы

е * = ±

1, . . . ,

&"т_х =

1, то

на

ступление события Ст

влечет за собой то, что по крайней

	СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ						35
мере	один	из	векторов
		•••	+ e ; - I M m - 1		± ( e A + 8 m + l " m + . +	••• )
находится		вне шара \|\|л:\|К> . Обозначим через				Л ( е ] , . . .
•	е^_,)	событие		е, = е*	8 m _ i = e m_p	т о г Д а
		•••> е		; - . ) П С ) < 2 Р ( Л ( е ; ( . . . .		г^ПВ).
Складывая, получаем
				P(C m )<2P(S) .		(22)
Из неравенств			(21) и (22) следует, что
			Р ( С ) < 2 Р ( Л ) Р ( 5 ) < а 2 ,

и, следовательно, неравенство (19) доказано. Утверждение второй части теоремы может быть до

казано подобным же образом. Пусть выполнено усло вие (20), т. е. Р (А) < а. Вместо событий С и Ст рас смотрим события

				D =		{M>2r},
	А* =		{sup \|\| Vm+P -				Vm.x	\|\| > r}.
Имеем				p>o
Имеем
		P(D)<P04)supP(D m )
вместо	(21) и						m
вместо	(21) и			Р ( Я т ) < 2 Р ( Л )
				Р ( Я т ) < 2 Р ( Л )
вместо	(22).	Поэтому			Р (/>)< 2 (Р (А))2				< 2а2 ,	и	тео
рема 3	доказана.
В качестве следствия получаем								следующую теорему:
						оо
Т е о р е м а		4.	Если		ряд	2 е п и п		я. к.	сходится		(или
ограничен), то \|\| F			\|\|	(или	М) принадлежит				всем	простран
ствам	L"(Q)	(1 < р		< оо).			СО
							СО
Действительно,				пусть		ряд	2в„и„ п. н.			сходится
и ф(/) —непрерывная при t^O							возрастающая			функция.

36 ГЛАВА II

Тогда

со

J" ф (\|\| К (<D) \|\|) Р (rfGO)		(О,
а	о		, 2 3 )
p(t) =	p(\\V\\>t).
Выберем г > 0 так, что (18) имеет		место	при а < 1/2;
тогда
р ( г ) < ^ 2 < х , р ( 2 г ) < 1 ( 2 а ) 2		р(2nr)<	1 (2а)2 ".
Поэтому
2 " + 1 г

-{ <v(t)dp(t)<±-(2af\{2n+lr).

Интегралы (23) сходятся, если
	2 (2a) 2 %(2 n + , r)<oo			(24)
	n=i
и, в частности,	если ф(/) = ^р ,	где	1 ^ р < с о	любое.
То же самое	справедливо,	если	предположить, что
со

ряд 2 е„и„ п. н. ограничен и рассмотреть М вместо || V ||.

На самом деле мы доказали несколько больше, чем утверждает теорема 4, а именно, что функция ф(||У||) (или ф (М)) принадлежит пространству L1 (Q), если усло вие (24) выполняется для сколь угодно больших зна чений г. Например, функция ехр(ЯЦКЦ) (или ехр(ЯМ)) принадлежит пространству L 1 (Q), если Я > 0 достаточно мало.

6. Принцип сжатия

Вообще говоря, трудно сформулировать явное усло вие на «„, эквивалентное сходимости почти наверное

оо

или ограниченности почти наверное ряда 2 8 А - На-

пример, неизвестно никакого явного условия относи тельно действительных чисел ап, эквивалентного сходи-

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

мости п. н. или ограниченности п. н. ряда 2 ± ап cos nt

в пространстве L°°(0, 2я). Теперь мы докажем, что

со

путем сжатия ип можно уточнить поведение ряда 2

± ип-

Точнее, имеет место

0 0

Т е о р е м а

5. Если

случайный

ряд 2ел"п п. н. схо-

дится

(или

ограничен),

а Хп — ограниченная

скалярная

последовательность

(Я„ — действительные

или

комплекс

ные

числа

зависимости

от того, действительно

или

комплексно

банахово

пространство,

которым

мы

имеем

дело),

то случайный

ряд 2 8

Д А п-

«•

сходится

(или

ограничен).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Случай

комплексных Я„ выво

дится

из случая действительных

Хп, а случай действи

тельных А„ сводится к случаю,

когда

0 ^

Хп

1 (если

рассмотреть

последовательность

а|А,„|

вместо Я„, где

а > 0 достаточно

мало). Если

Хп

принимают

лишь

зна

чения 0 или 1, то

результат

очевиден,

так как

еД„и„ =

Т (S е

+ 2

е " Vх"

Х)

и»)

( 2

5 )

и так как ряды в правой

части

подобны. Кроме

того,

если

положить

М' (со) =

sup

2 е п (со) К ип

то

из (25)

следует

8(М')^8(М),

(26)

мы знаем,

что

правая

часть

конечна

(согласно

тео

реме

4). В общем случае,

когда

0 ^ Я , „ ^ 1 ,

положим

оо

К=

2 2 _ % ь

Я„& =

0 или 1.

Тогда

формально

имеем

оо

2 &nKun = 2 2~ 2

znKkun-

38 ГЛАВА II

Полагая

MHa>) = sup 2 е„ (со) Xnkun

т1

изаписывая неравенство (26) для каждого М'к вместо М',

получаем

Ш [ 2 2~KM'K) = 2 2~*# (А**) < «" (Af) < оо.

(27)

Следовательно,

со

2 2~kMk < оо п. н. fc=i

со

Отсюда следует, что ряд 2 е,Дп ип п. н. ограничен.

оо
Предполагая, что ряд 2 е		« "я п. н. сходится, положим
!	1
		т
		2	(со) ы„	,
	I	т		II
	I	т		II
		2	е„(со)Я„ы„ .
	\| n = v			I)
В качестве следствия из (26) имеем
#(M' ( v ) )<<r(;W ( v ) ) .				(28)

Кроме того, M ( v ) (со) ^ 2М (со) для каждого со и lim M ( v ) = О

п. н.; согласно теореме	Лебега,		V->oo
п. н.; согласно теореме	Лебега,		правая часть неравен
ства (28) стремится к нулю при v->-oo. Поэтому
lim	8{MM)	=	Q,
V-»oo

и следовательно, существует такая последовательность Л натуральных чисел, что

lim M ' ( v ) = 0 п. н.

V-»oo, veA

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Но это условие эквивалентно сходимости п. н. ряда

0 0

S е Л " л (теорема 1).

В качестве приложения теоремы 5 докажем следую щий результат.

Т е о р е м а 6.	В комплексном	банаховом	простран
стве рассмотрим	случайные ряды

оооо

1 1


где	E u	гп, ...—последовательность					Радемахера,
a a>i, со2> •••» ш п> ••• —последовательность							Штейнгауза.
Тогда	если	один	из этих рядов		п. н. сходится (или			огра
ничен), то другой			также п. н. сходится			(или	ограничен).
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Пусть	— вероятностное про
странство,		на котором		определены		случайные		вели

чины е„, a Q2 — вероятностное пространство величин wn. Будем рассматривать ряд

2 е / ' в » « л	(29)
i

как случайный ряд на произведении пространств Q,

и Q2, т. е. на пространстве Q{ X Q2 . Так как е„е2 я г а > л — независимые случайные величины, равномерно распре деленные на окружности, то ряд (29) подобен ряду

ЪепШ*ип.

оо

Предположим, что ряд 2 е А п - н - сходится. Со-

гласно теореме 5, ряд (29) сходится п. н. (Q,), какова бы ни была последовательность О], со2 , соп, . . . . По этому ряд (29) сходится п. н. (Qx X ^ 2 ) . Следовательно,

оо

ряд 2 e2nle>nun п. н. сходится. То же самое справедливо при замене сходимости ограниченностью.

40 ГЛАВА it

Обратно,	предположим, что ряд ^еШа,1ип					п. н. схо-
дится. Тогда	ряд (29)		сходится п. н. (Qj X й2 ). Выберем
последовательность		wu	со2, •••>	•••	так,	чтобы ряд
(29) сходился	п. н.	(Q,). Теперь,		применяя		теорему 5
				оо
при Я„ = е - 2 л ш	" , получаем, что ряд			2 е А	сходится п. н.
				I

То же самое справедливо при замене сходимости огра ниченностью. Этим заканчивается доказательство тео ремы 6.

Наиболее важное приложение теоремы 6 будет касаться случайного тригонометрического ряда, записан ного в форме

21епапеш	или 2 апе1п	^~2яап).
—оо	—оо

Сходимость (или ограниченность) почти наверное имеет место для обоих рядов, либо она не имеет места ни для одного из них. Этот факт будет использован в гл. V.

		7. Упражнения
1. Пусть	хи	хп, ...—последовательность дей
ствительных	чисел.	Докажите, что существует такая
		оо

матрица суммирования S, что ряд 2*л является 5-сум-

мируемым.

(Рассмотрите два случая: 1) частные суммы стре мятся к бесконечности; 2) существует сходящаяся по следовательность частных сумм.)

2. Пусть	Х\, Х2,	...,	Хп, . . . — независимые				действи-
				оо
тельные случайные		величины. Ряд		2	Хп	называется
существенно	сходящимся,			1
существенно	сходящимся,		если существует такая после
довательность действительных чисел				хи	• • •,	хп,	. . . , что
оо							оо

РЯД	—хп) сходится п. н. Докажите, что ряд 2 %п

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 314 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ