книги из ГПНТБ / Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды

Н Е К О Т О Р Ы Е Ф А К Т Ы И З Т Е О Р И И В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й

21

в состоянии доказать,

что

вектор

Y обладает некото­

рым

заданным

свойством

п. н. (в

Q X

отсюда

сле­

дует,

что

существует

В ' Е Й

И фиксированный

вектор

х =

Х(а>'), такой, что Х — х обладает тем же свойством

п. н. (в Q). Это есть принцип

симметризации.

8. Случайные функции и аналитические

множества

Общая концепция случайной функции состоит в сле­

дующем.

Нам

заданы

вероятностное

пространство Q

и множества Е и F. Случайная

функция,

определенная

на

Е

и

принимающая

значения

в F,

есть случайный

элемент множества

FE

(которое состоит из всех отобра­

жений

множества Е

в F). Подобным образом мы можем

Случайную

функцию Ф, определенную на £ и при­

нимающую значения в F, можно рассматривать как

отображение у = Ф{х,

со) из £ Х ^ в F. Для каждого

а е Q мы имеем функцию, заданную в £ и принимаю­

щую

значения

в F,

которую мы обозначим через Ф,

а для

каждого х^Е

мы имеем случайный Э1емент в F,

в этом случае E\Q — снова пространство

с полной

мерой [х X Р- Если Р — подмножество из Е X

то экви­

имеем (х,

со) е Р

при

почти

каждом х» и «для почти

каждого х

имеем

(х,

со) е Р

при почти каждом со»; не

дого а,

(х,

со) е Р для каждого х» и «для каждого х,

(х, со) е

Р

при почти каждом со». Следовательно, выра­

22

Г Л А В А I

Отметим

особую

роль

аналитических

множеств

в

смысле

Лузина. Если

Q — стандартное

вероятностное

пространство,

то

аналитическое множество

на Q опре­

деляется

как

проекция

на

Q борелевского

множества

в

Й X [0, 1]. Известно,

что

такое

множество измеримо

по

Лебегу. Пусть

случайная

функция / (со, t)

определена

на

Q X [0. П. а

(со,

/)-множество,

где

она

обладает

некотором

t}. Подобным же образом мы можем говорить

о событии:

{/(со, /) обладает свойством (Р) при всех / } .

имеет следующее приложение. Пусть

0 ^ Хп

^

1 и ряд (2)

оо

п. н. сходится. Тогда ряд

2

e„A,„wn

сходится

п. н. Этот

принцип

сжатия

будет

доказан

и

использован

позже

(в п. 5 и 6).

Некоторые дополнительные результаты и обобщения

даются в упражнениях (п. 7).

2.

Методы

суммирования

Пусть

нам дана бесконечная

скалярная

матрица

S = (anm)

( п = 1 ,

2,

. . . ;

m = l , 2,

. . . ) ,

(3)

удовлетворяющая

условию

lim

ann=l

( m =

1, 2,

. . . ) .

(4)

Тогда мы говорим, что S является матрицей

суммиро­

вания.

Пусть

задан ряд

оо

2«„

( о „ е В ) .

(5)

Рассмотрим ряды

оо

2

anmvm

{п=

1,

2, . . . ) .

(6)

обозначим

соответственно

через

wlt w2,

wn, ... .

Если последовательность

да,,

w2,

wn, . . .

сходится

в пространстве В, то ряд

(5)

называется 5-суммируе-

мым. Предел

lim wn

назовем

S-суммой

ряда

(5). Если

все ряды

(6)

сходятся

и

последовательность

ш,, ву2, . . .

wn, . . . ограничена,

то

будем

говорить,

что ряд (5)

S-ограничен,

а число

sup||tw„||

назовем

его

5-границей.

п

Если 5 — треугольная

матрица

вида

dnm — 1

при

п^-т,

апщ — О П Р И

п < т \

С Л У Ч А Й Н Ы Е Р Я Д Ы В Б А Н А Х О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е

25

то wn являются частными суммами ряда (5). Если

эти

ограничен,

а точную

верхнюю

грань

частных

сумм на­

зываем

границей

ряда (5).

Методы суммирования используются при изучении

рядов Фурье. В

методе Чезаро

задается матрица

sup(0,

а

в методе

Пуассона — матрица

an,n =

r'Z

(°<rn<l>

l i m r B = l ) .

Другие

методы

суммирования

используются

в связи

с

рядами

Тейлора

(упр. 12).

Такие

методы

исполь­

ченность

не имеют

места.

Для случайных рядов независимых симметрических

векторов

ситуация

иная. Именно, со-множество, где

ряд (1) S-суммируем, определяется

соотношениями

lim

р '

=

0

(л = 1 , 2 ,

. . . )

р,

р ' - » 0 О т=р

lim

lim

2 {апт

— ап-, т)

Хт

=

0,

п, п'->оо р - » о о || т = 1

|

а со-множество, где

ряд (1) лишь S-ограничен, опреде­

ляется соотношениями

lim

S аптХт

=

0

( л = 1 ,

2,

. . . ) ,

р,

р' -» со

т=р

lim

lim

2 Qnm.Xn <

О О .

rt->oo

р - >оо

/ . = 1

Т е о р е м а

1.

Пусть

Хи Х2,

Хп,

в

...—незави­

симые

симметрические

случайные

векторы

банаховом

пространстве

В,

a

S — матрица

суммирования.

Тогда

оо

если

ряд 2i

Хп

п. н.

S-суммируем,

то

он

п. н.

схо-

дится. Если

же

он

п. н.

S-ограничен, то он

п. н.

огра­

ничен.

Т е о р е м а

2.

Пусть

Хи

Х2, ....

Хп,

. . . —

независи­

мые

случайные

векторы

в

В,

a S — матрица

суммиро-

00

вания.

Тогда,

если

ряд

2

Хп

п. н. S-суммируем,

то су-

i

ществует

такая последовательность

векторов

хп

в

В, что

оо

оо

ряд

2

(Хп

— хп)

п. н.

сходится').

Если

же

ряд

2

Хп

1

то

существует

такая

1

п. н. S-ограничен,

последователь-

ность хп,

что ряд

оо

{Хп

— Хп) п. н.

ограничен.

2

1

Теорема 2 легко выводится из теоремы 1

с

по­

мощью

симметризации.

В

самом

деле,

предположим,

оо

что

ряд

21 Хп

п. н.

S-суммируем

и рассмотрим

слу-

чайный

ряд

2i

(*«(п)

- * „ ( * ' ) ) ,

(7)

заданный

на поле Q X й. Он

п. н. S-суммируем,

а

его

тором. Поэтому,

согласно теореме

1, ряд (7) п. н. схо­

дится

в

Иными

словами,

для

почти

каждого

значения

со' ряд

(7) сходится

для

почти

всех

а. Выби­

рая такое

а/ и полагая

хп =

Х(®'),

получаем

требуемое

')

Иначе говоря, это означает, что ряд

2 Хп

существенно схо-

днтся

п. ш, —Прим. ред.

С Л У Ч А Й Н Ы Е Р Я Д Ы В Б А Н А Х О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е

2 7

Для

доказательства теоремы

1 нам

понадобятся

две

леммы,

которые

имеют

и

самостоятельный

интерес.

Пусть

Хи

Х2,

Хп,

... — независимые

симметриче­

ские

случайные

векторы

в

пространстве В.

Положим

т

K»(<0)=S^n(«>)

1

0 0

и обозначим через

У (со) сумму ряда

^Е>Хп(<х>), если

он

4

I

сходится. Наконец,

положим

M(co) =

sup||

Гт (со)||.

т

оо

Л е м м а

1. Пусть ряд

2

Хп

сходится п. н. Тогда

для

всякого

г >

О имеем

1

Р ( М ( с о ) > г ) < 2 Р ( | | 7 ( с о ) | | > г ) .

(8)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Q0 — множество

всех

тех со, для

которых

Y (со) определено. Обозначим через

А

и В

подмножества

из

й0 , где

М (со) > г

и

|| У (со) || >

г

2 8

ГЛАВА II

А{:

|| У, || > г,

А2: || У, || < г, | | У 2 | | > г ,

А3: | | У , | | < г , | | У 2 | | < г , || У3II > г,

:

(9)

А»: ||У.11<г,

| | У т _ , | | < г ,

| | У т | | > г ,

Если со е= Ат,

то по крайней мере

один

из

векторов

Y = Ym(e>) + (Xm+l(e>)

+ . . . ) ,

y = y m (co) - (J m + 1 (co) + . . . )

(

Ш )

лежит вне шара ||д:||^г .

Так

как векторы

Хп

симмет­

рические, то У и У с

одинаковой

вероятностью могут

находиться вне круга.

Иными

словами,

подмножество

из

Ат,

где

|| У || > г,

и

подмножество,

где

\\Y'\\>r,

имеют одинаковую меру. Так как их объединение есть

Ат,

то

их общая

мера не меньше у Р ( Л ш ) .

Другими

сло­

вами,

P(Bf)Am)>±P(Am).

(П)

Записывая

неравенства (11) для всех т и складывая,*

мы получим (8), ибо, согласно предположению, P(Q0 ) = 1.

Это неравенство принадлежит П. Леви.

Для

доказательства

второй

леммы

введем

еще не­

которые

обозначения.

Положим

М л ( ю ) =

sup || Уд а (со) Н,

т е Л

Л е м м а

2. Для всякого г > О и всякого

множества

целых чисел

А имеем

Р ( М > г ) < 2 Р ( М л > г ) .

(12)

30

ГЛАВА II

1,

если

т^р,

Ьрт = аПр, т,

если

р <

т < qp,

0,

если

т >

qp.

\Zp-Znl<2-2-p

(p = v, v + 1 , . . . ) •

1

Положим Pi =

l ,

Pi+[ = qP/

(/=1> 2, . . . ) .

Если

предположить,

что

Хт

=

0

при p,<tn^pi+l,

(14)

то будем иметь

Z'p.^ZXn.

(15)

Теперь разобьем заданный

ряд 2-^п

на две части

1

2U; и

2 - е

(16)

1

1