книги из ГПНТБ / Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды

ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

221

Т е о р е м а 8. Если

lim (а„/|//гlogп) — оо, то F п. н.

принимает каждое

/1->оо

значение.

комплексное

Отметим,

что

ни теорема 6,

ни теорема 7 не при­

менимы, если an=Yn.

За исключением этого случая,

при ап=*па

ситуация

вполне определена, если речь идет

о неограниченной

расходимости

или о сильной суще­

найти в упр. 3 и 4.

Напротив, теорема 8 отнюдь не

является удовлетворительной

и у нас нет никаких идей

о том, заполняет ли

множество

значений функции F

п. н. всю плоскость, если ап

= па,

— 1/2 < а ^ 1/2.

7.

Упражнения

00

1. Пусть 2 а

„ = 0 0 1 и

пусть \in — последовательность

положительных

мер полной

массы

1, сосредоточенных

в круге | г | <

1 и таких, что их носители скапливаются

у границы.

Докажите,

что найдется такая

последова­

тельность

случайных

подмножеств

круга

| z | < l , что

lim ц я ( £ „ ) =

1/3, а

Л-»оо

lim

inf | F(z) | =

оо.

Q J S / = O °

И si — 0{\);

2~lkSj

убывает при некотором

k>o

и 25/"'<°° ;

VW=o(si).)

со

3.

Дайте

оценку

сверху

для 2Y" r " П Р И Yi =

о

4. Пусть

F(z) =

^inaZnzn

( а >

—1/2).

Определите

о

две такие функции <р(г) и

гр (г),

что

п. н. ф (г) =

О (min | F (reil)

|)

и

max | F (re11)

| =

=

0(а|,(г)) (г - *1) .

(Методы

те л<е,

что и

в

п.п.

5

и

6;

оо

5.

Пусть опять F(z)

=

^anZnzn.

Вычислите

8(1)

и

где

,

1

г

F'(relQ)

.

2я" J " T T v T

Дайте

оценку

снизу для

Р ( / ^ 1 ) .

(Воспользуйтесь

упр. 3 на

стр. 201.

Полагая р(г,

9 ) =

=

0 0

оо

2 а ^ е " * 8

и ст (г,

0) =

2

n a ' r V ,

будем

иметь

у

т =

g < r ' °)

и

1

;

р ( г . О )

и

2л

Х(Т*\ = Х*(Г\ Л- _!_

Г 1 Р (г. 0) g (г, 8) — р (г, 6) а (г, 0) |г

2я

J

p«(r,

0)

(р2

(л, 0) -

| р (г, в) |2 )

е > 0 . •• . •

к

( Воспользуйтесь неравенствами

и

2 2 ' s / < 2 w

\

/=1

s\ + s\+ . . .

+^>k8l)

ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

225

ложить,

|3

что

ап

=

п-Чг-а

(п—1,

2,

О <

а < 1),

d i m £ =

и

/ ? > р / а ,

то

имеем

п. п. dim F (Я) =

р/а;

в этом

случае

множество F(E)

п. н. имеет

наибольшую

размерность, которая допускается

липшицевским

харак­

тером функции F и размерностью множества

Е.

Если множество значений функции F п. н. имеет

размерность р, то можно ожидать, что

F принимает

одно и то

же

значение

много

раз

и

можно

поставить

вопрос

о емкости

или

размерности

множества F~]

(0).

Например, если ап = п-ч2-а

(0 <

а <

l/р),

то с положи­

тельной

вероятностью имеем dimF~*(0) =

1/cz — р (п. 5).

Что касается

техники,

то она

заключается в

том,

что

сначала

формально

определяется

величина

6(F),

где

6 — мера

Дирака,

а

затем

доказывается,

что

она

дей­

сосредоточенной

на F~'(0).

Можно доказать, что с по­

ложительной

вероятностью

имеет

место

неравенство

(6' (F),

F) Ф 0.

Это

есть

вероятностный метод

доказа­

тельства

теоремы

Малявэна

о спектральном

синтезе

(п. 6,

7).

В

следующей

главе

мы

увидим, что ряды вида (1)

являются

не чем

иным,

как

рядами

Фурье

стационар­

ных гауссовских

процессов

на окружности.

К

множествам

F(E)

мы

еще вернемся в последней

главе.

s, = (2

2

аЛ['2

(/ = 0, 1, . . . ) •

I

2/< П <2/ + 1

/

ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

227

ную энергию относительно функции k,

если

/ (u.) =

_[

| /е (х — х') и. (dx) и. (dx') < оо.

RP

RP

Будем говорить, что множество Е имеет

положительную

емкость относительно функции k и записывать Capfe

Е>0,

если на нем сосредоточена ненулевая

положительная

мера конечной

энергии (емкость CaykE

обычно

опре­

по всем положительным

мерам р,, сосредоточенным на Е

и таким,

что / ( ц - Х 1).

Если функция k имеет положительное

преобразова­

ние Фурье

ft,

то

/ ( ц ) =

[ k(u)\fdu

(и =

(ии

...,

up)),

RP

где p, («) =

J einlu-x\i

(dx) (u • x =

utxt

+ • • • +

U P X P

) -

В этом

RP

что k

случае будем

говорить,

является

ядром

положи­

тельного типа. Если вместо меры k (x)dx

берется мера

Дирака,

а

вместо

k(u)

берется 1, то получается пре­

дельный

случай.

В этом

случае запись

С а р £ > 0

будет

означать,

что Е

имеет

положительную меру

Лебега.

кости и вместо C&^kE

будем писать

СарцЯ.

Емкостная

размерность

множества Е определяется как точная верх­

няя

грань

таких

а,

что С а р а Я > 0 .

Эта

размерность

введена Пойа и Сегё в 1931 г.

Другое

понятие

размерности

принадлежит

Хаус-

дорфу

(1919 г.), и мы им уже пользовались

для

линей­

ных

множеств (стр.

155). Пусть

h (б), 6 > 0 , — непре­

рывная возрастающая

положительная

функция,

причем

h (0) =

0. Для всякого б > 0 рассмотрим покрытие мно­

жества

Е открытыми

шарами В,,

Вп

с

радиусами

Pi,

р„, меньшими

б, и положим

h(Bu

BB ) = A(p,)+ . . .

+А(р„);

Т е о р е м а

1.

Пусть

0 ^

а ^

т ^

1,

и

пусть Е — ком­

пактное

множество

на

окружности.

Тогда

п. н.

inf [р,

^

dim Е) <

dim F {Е) <

inf (р, ^- dim Е).

(5)

я

Т е о р е м а

2.

Если

_ {

(Р ( 0 ) о / 2

<

оо,

го

множество

значений

функции

F

п. н.

имеет

положительную

меру

Лебега

в Rp.

Кроме того,

если

множество Е имеет по­

ложительную

емкость

относительно

функции

(p(t))~pl2,

то множество F (Е)

п. н.

имеет

положительную

меру

Лебега

в Rp .

Т е о р е м а

3.

Пусть

k — потенциальное

ядро

поло­

жительного

типа

в

Rp,

и

пусть

х (/) =

J х (*) ехр ( - л | х |2 /2р (0) (р (t)rpl2

dx.

Тогда,

если С а р и £ > 0 ,

то C a p x F ( £ ) > 0

п. н. В

част­

ности,

если

Е

имеет

положительную

емкость

относи­

тельно функции

(p(t))~a/2

(0<а<р),

то C a p a J F ( £ ) > 0

п. н.

Теорема

1 содержит

в

качестве

частного

случая ут­

верждение, сформулированное во введении (а„ =

я -

, / 2 _ а ) .

Второе

из

неравенств

(5) сразу следует из утвержде­

ния 3 (см. стр. 226)

и предложения

2 (см. стр.

228). Пер­

стоит

в рассмотрении положительной меры dQ(t), со­

средоточенной на Е,

образ которой p. (dx) сосредоточен

на F.

Согласно определению, для всякой ограниченной

непрерывной на Rp

функции g имеем

$ g(x)ii(dx)=

j g(F(t))dQ

(t).