книги из ГПНТБ / Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды

СЛУЧАЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МАССЫ НА ОКРУЖНОСТИ

181

7. Еще о случае

2 " * / в 1

До сих пор мы определяли ряд (20)

как формальную

свертку

ряда (2) и

функции

ср. На

самом

деле

мы

докажем,

что для всех функций класса С0 0

он почти

наверное

является

сверткой функции

<р и некоторого

формально коэффициенты

Фурье ряда (2):

C l l - S e / m / e - " , e / ( « = . . . . - 1 , 0, I , . . . ) .

(24)

Все эти ряды сходятся почти наверное; далее,

Сп—сим­

метрическая комплексная

случайная величина и, в силу

оо

предположения ^rrf^l,

имеем

# ( | С „ р ) = 1 .

Поэтому Р ( | С„ | > | п |) <Г 1//г2, т. е., согласно

лемме

Бореля — Кантелли, С„ =

О (| п |) п. н. Отсюда следует,

что ряд

некоторой

локально ограниченной

функции

(см. упр. 6)).

оо

Если Ф (/) =

2 Упеш—функция

класса С°° на окруж-

1

—оо

ности, то

при условии, что Сп — медленно

возрастаю­

порядок

0(\п\).

Поэтому

со

со

оо

Г * ф ( 0 =

2

IiBlmlynetn('-el)=

2 е / т / ф ( / - 0 Л .

П = - о о

/ = |

/=1

В

частности,

случайные

функции,

которые мы

изучали

в пп. 5

и 6,

совпадают

с Т * Рг

и

Т * Qr.

Вместо свертки Г*ф мы можем также рассмотреть

скалярное произведение

со

( г ,

Ф) = 2

спуп.

— со

Это симметрическая

комплексная

случайная величина,

причем

&(\(т,

Ф)Р) = 2 У „ = 1 1 Ф 1 | .

— со

Поэтому

отображение

ф->(7\

ф)

из L2 (0, 2л)

в

L2 (Q)

(с

нормированной

мерой dt/2n)

сохраняет норму.

Это

класса

С°°,

может быть

теперь

распространено

на

все

пространство L2 (0, 2л). Если две функции ортогональны

в Ь2(0,

2л), то их образы ортогональны в L2 (Q). В част­

ности,

если

X(t)

обозначает образ

характеристической

функции сегмента [0, t] ( 0 ^ / < 2 л ) ,

то приращения

слу­

чайной

функции X на двух непересекающихся сегментах

являются ортогональными случайными

величинами.

Возьмем

в

качестве

примера

mj =

\fYN,

если

/

=

= 1, 2,

N,

и nij = 0

в противном

случае.

Если

N

велико

и 0 ^ а < й ^ 2 л ,

то Х{Ь)

— Х(а)

имеет бино­

миальное распределение с дисперсией

Yb — а\|/2,

что

напоминает

гауссовское

распределение.

Тогда

ряд

назвал «однородным

хаосом»,

a X(t)lY%n

является

приближением к

броуновскому

движению. Мы иссле­

дуем эти понятия

в

следующих

главах.

СЛУЧАЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МАССЫ НА ОКРУЖНОСТИ

183

lim \ anS„{t;

d p ) | = o o

почти всюду.

Л

> оо

Докажите,

что

существует

такая суммируемая функ­

ция f,

что

lim | Sn

(t;

f * d[i) | =

со

почти всюду.

П->оа

(Используйте

то

же самое

предложение, что и при

доказательстве

теоремы 3.)

2.

Из более

легкой

части

теоремы 2 (п. а) при Л =

=

{1,

2,

3, . . . } выведите

существование ряда Фурье —

Лебега,

расходящегося

почти

всюду.

(Упр.

1.)

3. Пусть

6,,

02,

0V — обычные точки на

окруж­

ности,

независимые

над

полем

рациональных

чисел

по тос!2я. Пусть pi, рг,

pv

— положительные

числа,

а

числа

е ь

е2 ,

ev

имеют

значения ± 1 . Положим

V

V

S(n) =

2e/P/sinn0/

и

R(n) = П

(1 + e/sin/гб/).

Далее,

пусть Эй (

) обозначает

среднее значение по множеству

целых чисел. Докажите, что

Ti(R) =

\

и

M(SR) =

V

V

= 2 ~ ' 2 р / -

Докажите,

что sup 5 (/г) ^ 2 -

1 2

P/-

Исполь-

1

п

I

жите

более легкую

часть теоремы

2.

со

со

4.

Предпбложим,

что Ущг2,<оо,

^ т , = оо, и рас-

184

ГЛАВА X

ничен

при п-+ оо.

(Доказательство

то

же,

что

и

для предложения 2

с

небольшими

уточнениями.)

5.

Обозначения

те

же,

что

и в

п.

7.

Пусть задана

положительная

последовательность

X/,

такая, что

оо

2

1 А/ < °°- Докажите, что

2

\СЯ?

= 0(2%)

п.

н.

2/<1п|<2/+1

Докажите, что

Т п. н. является

производной некоторой

сам V

( 1 ^ р < о о )

в

смысле

распределений.

(f(t)

= at +

b + 2ir

fneini,

где

2

i f *

I ' <

°°

Для

всех

<7>1.)

V

6. Положим

7\,= 2 е / / я / б в

и fv (0=-(7\,,

1[0.<J), где

1[о. t\ — характеристическая

функция

сегмента

[0, t]

(0 < t <

2л).

Дайте

оценку

для

Р (

sup

| fv

(t) \ < X),

зависящую от X, но не

0</<2я

зависящую

от v.

Докажите,

что / v

(/) п. н.

сходится

равномерно

на

[0, 2л]

при

k

условии, что vk

возрастает

достаточно быстро. Наконец,

докажите, что fw(t)

п. н. сходится

равномерно

на [0, 2л].

(Используйте лемму Л. Леви на стр. 28.)

7. Пусть задана вероятностная мера р. на

s-мерном

действительном

пространстве

Rs.

Рассмотрим

ряд

СЛУЧАЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МАССЫ НА ОКРУЖНОСТИ

185

где со (и) =

со («[, . . . ,

us)

— данная

суммируемая

функ­

ция,

a

du =

dul ...

dus.)

8.

Обозначения

те

же,

что и выше.

Предположим,

что

задана

действительная

функция

ср,

определенная

на

такая, что

ц-мера

множества

{ф(л:)>А}

превос­

ходит

К~а

(Я, > 2,

а >

0).

Докажите,

что

для

любой

последовательности

{срп} функций из

класса

С°° с ком­

пактным

носителем, сходящейся поточечно к функции ср,

последовательность

(Г, ср„)

п. н. расходится при усло-

оо

вии,

что

21

т ? = 0 0

•

9.

Обозначения

те -же,

что и выше.

Предположим,

что мера ц сосредоточена на гиперплоскости

xs = 0

(обозначим

ее через

L)

и

имеет

плотность,

которая

отделена

от нуля

на

некотором

открытом

подмноже­

стве

G

гиперплоскости L . Рассмотрим

частные

произ-

водные рк{х)

(k = 1, 2, . . . . s)

(х2+...-J-*2.)

s— I

функции

Г"

и положим

uk(x)

=

T*Pk(x)

(xe=Rs).

2.

Сформулируйте аналоги

предложений

1 и

(Чтобы

избежать искусственных трудностей,

удобно

Фурье,

коэффициенты

которых — независимые случай­

ные

величины, однако,

кроме того, мы предположим,

что это

гауссовские

случайные величины. Одна из при­

чин

этого состоит

в

том, что некоторые выкладки

Спицера

[1].

2.

Формулы

для

преобразования

Фурье

Обычное одномерное

преобразование

Фурье

функции

f e L ' ( R ) ,

где

R — действительная прямая,

задается

формулой

•

.^щ

=

^ e"-nluxf{x)dx.

(I)

R

Если

f e L ' ( R n ) ,

то

преобразование. Фурье снова'имеет,

вид

,

. . . .

f(u)=

[w-*f{x)dx,

. . .

(2)

д".

но

здесь

под

f(x)

следует

понимать

f(xl,

. . . , хп),

f

(и)

означает

f (щ,

«„),

и • х

означает сумму и1х1-\-

•

. ..

+ ипхп,

a

dx — произведение

dxx

. . . dxn.

-

Если

п =

2, то

иногда

удобно

записать

равенство

f (и,

v) =

|

J

е ш <»*+°ff>

dxdy

') Здесь как Бретаньолль и Дакунья-Кастелле, так и автор ис­

пользуют

термины transience

и recurrence. Однако дословный пере­

вод

этих

терминов

не выражает

существа

понимаемых под ними

свойств

гауссовских

рядов. Как следует из определения (см. п. 6

настоящей

главы), термин

transience означает неограниченную

рас­

выражает

свойство некоторой плотности значений частичных сумм,

напоминающее свойство

поведения аналитической функции в ок­

рестности

изолированной

существенно

особой

точки. Поэтому

мы

назвали свойство

recurrence свойством

сильной

существенной

рас­

ходимости. — Прим.

ред.

188

ГЛАВА XI

f(*) = f ( * . ) , f W = f ( « , » ) H J" . . .

d * d y - J . . . rfa(*)

f (да) = J е2я« Re {wi)f (г ) d a (z)_

(3)

с

ным

преобразованием Фурье.

Если

п = 2р,

то

мы

можем

записать

формулу (2)

в виде

f

(да) =

J* е2 я < R e <••»/ (2) da (z).

(4)

с"

Здесь г, =

+

«с2

г р

=

х2 р _, +

«г2 р , да, =

ы,+ iu^, ...

. . . , дар =

ы2 р _, - f ш 2 р , / ( Z ) =

/ ( 2 „ . . . .

2p ) =

f(jc„

*„),

f (да) = f (да,, . . . ,

дар)

== f (u„

. . . , u„), да

• 2 =

да,2,

+ . . .

. . . +

дар2р

и

J

. . . da (г)

=

J" . . .

j " . . .

dx, . . .

dxn.

Фор-

мула

(4)

cp

R"

преобразование

задает

р-мерное комплексное

Фурье.

функция f

Если

суммируема,

то

формулы

(1), (2),

(3) и

(4)

могут быть обращены. Например, из фор­

мулы

(2)

следует

f(x)=

| e-2ntu-xf

( a ) ди п

о

ч т и

всюду,

(б)

R"

а из

(4)

следует

f(z)

=

j " e-MiRtto-i)f

(w)da(w)

почти

всюду. (6)

с"

190

ГЛАВА XI

Тогда

имеем

J,

У^Ы

=

Vdet(bt])

в-я*мю. (13)

Мы

только наметим доказательство

равенства (13).

В

случае

когда

(а,/).— диагональная

матрица, оно

является простым

следствием

равенства

(9). В общем

случае

существует

ортогональная

матрица С,

такая,

что матрица

СЛС~' = £>

диагональна. При очевидных

обозначениях

имеем трл

(х) =

ipD (Сх), ip*, (и) =

грд (Си),

и • х = Си • Сх, dx = d(Cx).

Отсюда

следует (13).

Пусть теперь (аг / ) (f =

1, 2, ... ,/?;•/ = 1, 2

р) —

тельного типа, a [bij) — обратная

матрица; рассмотрим

эрмитовы

формы

Р

р

i p ( 2 ) = ' i f ( z 1

zp )=2

Ъацгё/,

[=1

/=i

р

р

гр'(ш) = г|)*(ву„

а>р)=2

2 buWiW,.

Тогда

имеем

J.e-я* (г)е2п< Re (t».S) ^ а ( г ) =

'в

е - я * ' ( ш ) =

= det(6,/)e-«»:w.

(14)

Равенство

(14) легко

следует

из (11),

если (я*/) — диа­

гональная

матрица, а в общем

случае оно доказывается

с помощью-унитарной

матрицы . '"

3. Гауссовские

случайные

величины

Всюду

в этой книге мы рассматриваем только сим­

метрические гауссовские

случайные

величины и назы-.

ваем их просто гауссовскими

величинами.

Здесь удобно изменить наше стандартное вероятно­

стное

пространство.

Вместо

сегмента

[0, 1] с

мерой

Лебега

рассмотрим всю числовую ось R с мерой

e~nx'dx.