книги из ГПНТБ / Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды

СЛУЧАЙНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ НА ОКРУЖНОСТИ

151

суждать

так

же, как в

п.

3.

Предположим,

что

I = 1

и ^ da{t)

=

l.

Поскольку

а-мера

пересечения

FV(]A

с

равна

V

а (Л, П А) =

J

Л

(1 -

%п (t -

со„)) da(t),

имеем

С

п=1

o2(F,r\A)

=

V

= J

J

П [

( I

- Х п

{ t

- Ю п

) )

( 1

- ^<f

- а » м d a

w d

a

С

С

n=\

Повторяя

те

же

вычисления,

что и

в п. 3,

получим

сле­

дующее

предложение: если

2

а„/„ехр(

2

/т) <

°°,

(5)

п=1

\ш=1

/

то

inf Р (Fv П А ф

0 )

>

0.

В

заключение

отметим,

что

v

A д± Е

из

(5)

следует

п. н.

Следующий

результат

является

обобщением

тео­

ремы

2.

на

Т е о р е м а

3.

Пусть

А — борелевское

множество

С,

a

da (t) — непрерывная

положительная

мера,

со­

средоточенная

на

А и отличная

от тождественного

нуля.

Положим

ап=

J

J

da (и) da (v)

(6)

{интеграл

рассматривается

на

множестве

С X С).

Тогда

если

выполнено

(5),

то

А

п. н.

не

покрывается

мно-

о/сеством

Игл 1п-

П - > 0 0

С л е д с т в и е

1.

Пусть

А

имеет

положительную

меру

Лебега.

Тогда

из

предположений

теоремы

2

сле­

дует,

что А

п. н.

не

покрывается

множеством

lim /„.

П - » оо

С л е д с т в и е

2.

Если

А

только

несчетно,

то суще­

ствует

такая

последовательность

Ц

/„,

что

0 0

2

ln =

°°

и

А

п. н.

покрывается

множеством

lim /„.

I

П->оо

Как

мы

уже

отмечали,

в

следствии

2

предположе­

ние о

несчетности

множества

А

существенно.

5.

Случай

tn

=

t/n

Мы уже отмечали, что ни

теорема

1, ни

теорема 2

не применимы,

если

1п =

1/п.

С помощью теоремы 3 мы

докажем, что в этом случае п. н. F не более чем счетно.

Нам удобно ввести несколько понятий. Вместо

по­

следовательности

случайных

интервалов

мы

будем

го-

СЛУЧАЙНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ НА ОКРУЖНОСТИ

153

&~ = {1п} является

покрывающим

семейством.

Вообще

если

множество

lim /„

п. н.

содержит

данное мно-

П->оо

покры­

жество А, мы будем говорить,

что &" является

вающим семейством

для

А.

Если

имеются

два

случай­

ных

семейства

интервалов

ЗГХ

и

&~2, заданных

на ве­

пространств Q[ и Q2,

т. е.

на

Q,{ X £V> ST состоит

из

интервалов,

входящих

в

и

в &~2, которые рассма­

триваются независимо друг от друга.

Если

множество

F

п. н.

имеет

меру

нуль,

т.

е.

со

2 1 I n | =

оо, то мы будем говорить, что &~ =

{/„} является

почти

покрывающим

семейством.

Наконец,

будем

гово­

рить,

что

8Г является

приблизительно

покрывающим

семейством,

если оно

покрывающее

для каждого

мно­

Докажем две

теоремы.

Т е о р е м а

4.

Если

| / „ | =

/„ =

//«

( я = 1 , 2,

. . . ) , то

семейство {/„} — приблизительно

покрывающее.

Т е о р е м а

5.

Если

@~ — приблизительно

покрываю­

щее

семейство,

то множество F п. н. не более чем счетно

(как

и

ранее,

F — это множество

всех

точек £ е

С,

каж­

дая

из

которых покрывается

лишь

конечное

число

раз).

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

4.

Предположим

снова,

что / = ( 1,

и воспользуемся

тем

же

методом, что

и

в п. 2. Пусть / — замкнутый интервал

на

окружности.

Если

[фЕ^,

то

либо

ни один из

интервалов

/„

(п

=

=

(1 +

1, . . . , v) не содержит

левого

конца

интервала

/,

либо

найдется

интервал /„,

который

пересекается

с

/,

154

ГЛАВА IX

<

п

( ! - ^ +

i

- r ^ f 1

п

<*>

Это

т=ц+1

л=ц.+ 1

т=ц+1

верно

для любой

последовательности /„. Полагая

1т = 1/т и устремляя v к бесконечности,

получаем

Р ( / £ £ Ц с о ) < ц . | / | .

Если

/

есть объединение непересекающихся интерва­

лов,

то,

применяя это

неравенство к каждому из ин­

тервалов

и

складывая

полученные

неравенства,

полу­

чаем Р (/ ф

< и. | / |. Отсюда следует, что если

задано

множество

А лебеговой

меры нуль,

то Р (А ф ЛЦ о о ) = О

и, следовательно, Л с £

п. н.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

5.

Предположим,

жества

G положительной

вероятности. Для

каждого

ш е б

существует

непрерывная мера daa((),

сосредото­

ченная на .F(co). Определим

равенством

(6). Тогда

lim ал(со) = 0, если в е С

Следовательно, G

содержит

подмножество

Я

положительной

вероятности,

такое,

что а п (со)^р„

на Н, причем

lim р„ =

0.

Пусть

—случайное

П->оо

/„, за­

семейство интервалов

данных на вероятностном

пространстве

таких, что

оо

21 In = оо

(/„ =

I / п

|),

I

21 рп /п ехр(

21 1т) < оо. .

1

\m=l

I

СЛУЧАЙНЫЕ

ИНТЕРВАЛЫ НА ОКРУЖНОСТИ

155

6.

Хаусдорфова размерность 3F

Приведем сначала несколько определений и резуль­

татов

относительно

хаусдорфовых

мер и

размерностей

(доказательства можно найти, например, в

книге Ка-

хана

и Салема

[1], гл. II) .

Пусть

Л — подмножество

окружности

и 0 < а ^ 1 .

Мера

Хаусдорфа

На(А)

размерности а

множества

А

определяется

следующим

образом. Для каждого

б > О

рассмотрим точную нижнюю грань сумм 2

I / Г по

всем

семействам

интервалов I , таким, что sup | / | ^ б и U /гэ А.

Она будет

невозрастающей функцией относительно б со

значениями

в [0, оо]. Ее предел при 8-*0

и есть

На(А).

Функция

Я а (Л )

невозрастающая

относительно

а

со значениями в [0, оо] .

Кроме того, существует не более

одного

значения

а, для которого 0 <

Я а ( Л ) < оо. Хаус­

дорфова размерность множества А это

есть

точная

нижняя

грань таких а, что Я а ( Л ) =

0, и точная

верхняя

грань

таких

а,

что # а

( Л ) = оо.

Мы обозначим

ее

через

dim А.

Сформулируем

одну

полезную

теорему Фростмана.

Если

А — борелевское

множество

и

Я о ( Л ) > 0 ,

то Л

является

носителем

положительной меры

do(t),

такой,

что а

(

/

)

I

| а

для

любого интервала I , где

С не

зависит

от /

(Фростман [1], стр. 89,

Кахан

и Салем [1],

стр. 27).

Чтобы продемонстрировать ее приложение,

вернемся

к теореме 3 и предположим,

что Я а

( Л ) > 0 .

Согласно

теореме Фростмана, Л является носителем меры

da(t),

такой,

что а л

= 0(/°); следовательно, из условия

S / n + a e x p ( i

J < o o

(8)

n=l

\m=I

/

вытекает, что случайное семейство {/„}

не

является

покрывающим для Л. Рассмотрим один частный случай.

Пусть

— случайное

семейство

интервалов

{/„}, где

|/„1 =

Р/я

( л = 1 « 2, . . . ) .

П р е д л о ж е н и е

1. Если

А — борелевское

подмно~

жество

окружности

и dim Л > 0, то

не

является

покрывающим

для

А.

156

ГЛАВА IX

С помощью

неравенства

(7)

докажем

результат

противоположного

характера,

а именно

П р е д л о ж е н и е

2. Если dim А < р, то

семейство#~в

покрывающее для

А.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Запишем

(7) в виде

Р С / # З Д < П

( ' - £ ) ( ' +

2

т=ц+1

^

п=ц+1

Отсюда следует,

что

целое

число,

для

которого

(v — р,)| / | ^

1.

Тогда

Р (/

ci S ^ )

<

СцР I / р log

j ^ j - .

где С зависит только от р.

Используя

определение

хаусдорфовой

размерности, имеем Р (A qt EVLCO)

=

0. Сле­

довательно, A cz Е п. н.

Для заданной убывающей последовательности /„

положим

к({1п)) =

М--1—(11

+

12+ ...

+/„).

П -> со 1 1и Б "

Если

семейство

SF состоит из

интервалов

длины

/„,

то вместо к({/„}) будем писать

Пользуясь

этим

определением, докажем

следующую теорему.

Т е о р е м а

6.

Если

к(&~) > 1, то F п. н. пусто.

Если

x ( f ) < l ,

го

d i m F = 1 — х(#~)

п. н.

Перед доказательством этой теоремы сделаем не­

сколько замечаний. Как и ранее, предположим, что / =

1.

Если

к =

х(&~)>1,

то

мы

можем

применить

тео­

рему 1, в силу которой F=0

п. н., а это есть

первая

часть

теоремы 6.

Если

х < оо, то /„ =

О ( ^ - )

и е х р ^ 2

f m ) =

О (пк +Е )

СЛУЧАЙНЫЕ

ИНТЕРВАЛЫ НА ОКРУЖНОСТИ

157

Приведем другую

формулу для к. Пусть

Хт=1/1,

Число d называется верхней

логарифмической

ПЛОТ­

НОСТЬЮ последовательности {Хт}.

Имеем

следовательно,

log^„ >

log/г +

o(logn);

поэтому

d^.%.

С другой

стороны,

если

задано

е >

0,

то

п

для бесконечного множества п; следовательно, d^n

— е.

Наконец, в силу произвольности е > 0,

d = %.

Мы воспользуемся этой формулой для подсчета х(^),

где ^ — объединение семейств

ЗГ и

Используя

очевидные

обозначения,

имеем

% (0 =

njr (t) +

(t) =

n,r(t)

+ p-t

+ o (t),

d(9) =

d(Sr) +

fr

следовательно,

к (9) = к (#") +

р.

Теперь мы в состоянии доказать вторую часть

теоремы

6.

1 — я,

Если

р >

то х ( ^ ) >

1;

следовательно, ^ — по­

крывающее семейство. Иными словами, семейство

почти наверное покрывает F. Используя предложение 1,

находим,

что

d i m F < p

п. н.

Если

р <

1—и,

то и (^) < 1, а потому % не является

покрывающим семейством. Другими словами, 9"р

почти

наверное не покрывает F. Используя предложение 2,

получаем, что

d i m F ^ p

п. н.

Следовательно,

dim F = 1 - х ,

что

и

требовалось

доказать.

158

ГЛАВА IX

функций

ф„

0,

заданных

на

окружности

С,

и,

как

и во введении,

случайный

ряд

с»

ф* {* — /со„).

2

Пусть

£ф — множество,

где

этот

ряд

расходится,

а .Рф — множество, где

он

сходится.

a) Сформулируйте необходимое и достаточное усло­

вие для

того,

чтобы

ЕФ

п. н. было

пустым. (Исполь­

зуйте

предложение 12

из гл. V, стр.

83.)

b) Сформулируйте необходимое и достаточное усло­

вие для

того,

чтобы

£Ф п. н.

имело

меру 0.

Тот

же

вопрос с Рф вместо Е®.

(Рассмотрите- Р (/ с= Е®) для

заданного t с= С.)

c) Сформулируйте необходимые и достаточные усло­

вия для того, чтобы F п. н. было пустым.

(Используйте теорему 1 и доказательство теоремы

2.)

2.

Если lim ( 2

In — / log п > — оо, то {/„} — прибли­

зительно

покрывающее

семейство.

(Доказательство то

же,

что

и для

теоремы

4.)

3.

Докажите,

что либо

F

п. н.

плотно

на

окруж­

ности,

либо

оно

п. н.

пусто.

Тот

же

вопрос

для

Е®

и Рф

вместо

F

(ЕФ и ^ Ф определены

в

упр.

1).

(Рассмотрите рациональные интервалы и примените

закон

нуля и

единицы.)

ть

т2,

nij,

которые

мы

будем рассматривать

как

массы.

Через 8|,

Э2,

8/,

. . . будем обозначать

оо

Предположим сначала,

что 2 Щ< 0 0 •• Рассмотрим

случайную

меру

оо

dii

=

2i

"i/6e ,,1

(1)

где

бд^ — единичная масса .в точке

6/.

Грубо

говоря,

мера

d\i

получается

при

случайном

распределении

масс trij на окружности. Оказывается,

что ряд

Фурье —

оо

^

т./ log—— < оо, то

этот

ряд п. н. ограничен почти

1

1

оо

т/ log - ^ - = 0 0 . то он п. н.

в

каждой точке; если

же ^

I

1