книги из ГПНТБ / Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды

РЕГУЛЯРНОСТЬ, УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

121

дексом

является

последовательность

целых чисел, в ко­

торой

лишь

конечное

число членов

отлично от

нуля.

Для всякого конечного подмножества Л из /

обозначим

через

s (Л)

количество

таких

индексов

/,

что п./ Ф О

в

некотором

(л,, л2 ,

. . . ) с = Л ,

через

N{A)

— точную

верхнюю грань

sup

(| л, | + | п21 + . . . )

по

всем

(л,,

п2,

. . . ) с = Л

и, наконец,

положим

У ( Л ) =

2

| с П 1 , „ г , . . . | 2 .

(п,,

л , , . . , ) е Л

подмножества

Лу (у =

1, 2, . . . ) •

Докажите,

что ряд

(7)

п. н. сходится

в С. (Теорема

3

гл. V I , стр.

100.)

4. Рассмотрим

случайный

тригонометрический

ряд

S ± a | 1 . v c o s ( X | 1

+

a,v)f

( v = l ,

2, ... ; ц = 1 ,

. . . . v),

(8)

последовательность

^ 2 l a n . v l 2

J

=о\>

убывает

и

со

что ряд

(8)

п. н.

представляет

2 о \ у < о о . Докажите,

непрерывную функцию.

(Положите Х^ = и^ и используйте упр. 3.)

5. Постройте последовательность

независимых

сим­

метрических случайных величин Хп,

такую, что V(Xn)=l

при каждом

п,

а случайная функция

со

F(t)

=

S

2~паХп cos 2П /

(0 < а < 1)

не удовлетворяет п. н. условию

coF (ft) = О (ha |Aog

1/ft)

(Хл =

± л log ft с вероятностью

l/(rtlogn), Z„ = 0

с

ве­

роятностью 1 — l/(n log л).)

6.

Докажите,

что если

ряд

(1) удовлетворяет

усло­

вию

S/ = О ( 2 - p / / v ) ,

0 < р <

1,

то

он

п. н. представляет

такую непрерывную функцию F, что aF

( я ) = 0 ^/zB log6 -^-j,

если

б > у +

1.

(Доказательство

аналогично

доказательству

тео­

ремы

3.)

7.

Докажите, что если ряд (1) удовлетворяет

условию

со

2 < ^ ( ^ п ) logl + e ft

<

оо при

некотором

е > 0, то

он

п. н.

се

(В первом случае докажите, что ^Tk<oo

п. н., где

124

ГЛАВА VIII

Мы дадим также условия на Хп,

чтобы ряд(1) пред­

ставлял

непрерывную

функцию F, которая

п. н. нере­

гулярна

почти всюду,

т. е.,

грубо говоря, мы покажем,

что

если

F ф Л а п. н. при

а > а0 , то

F (t +

h) — F (t) Ф

ф

О (ha)

п. н. почти всюду

при а <

а0 .

состоит

в том,

чтобы

получить некоторую информацию

о гауссовских

стационарных процессах (см. гл. X I I I и

XIV). В

частности,

он приводит к хорошо известному

ского

движения

нигде не дифференцируемы.

В

конце мы

рассмотрим проблему, поставленную

циенты,

которые обеспечивают

расходимость

ряда (2)

всюду. Последняя

теорема

обобщает

несколько фактов

о сходимости

или

расходимости

ряда

(2).

2. Неограниченность;

подход

Пэли — Зигмунда

0 0

Здесь

предполагается,

что 2 s

/ = 0 ° - Наша

цель со-

i

ряд

(1) ф. L°°

п. н.

стоит в доказательстве того, что

Идея

нашего

метода

заключается

в разбиении

ряда (1)

на блоки

М

0 =

.

2

,

*„cos(rt/ +

<D„)

2'<п

<

2 / + 1

и в рассмотрении

частных

сумм

St(t)=

2

Хлсо5(Ш

+

Фп).

п < 2'

Поскольку

Р/ — независимые

тригонометрические

возрастающая последовательность и Н1+х~^Sl+X(tj)

=

НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

127

2/-1

s*i (t) =

2 Хе

cos (т + Ф„),

п=0

2>-,

ST (0 = S z « e

c o s { n t + Ф п ) '

n=0

W

/

P H 0 =

J ]

^«в(ЕЙт)соз(я/ + Ф П ) .

2/<n<2/+I

V l

Таким образом,

Sj+i(t)

=

ST(t)

+P}(i),

РГ (/) = sup (0,

P'i (/)),

Я/ =

sup 5? (0-

Согласно лемме

3,

существует

такое

t, что S" (^) Н).

Положим

/? =

inf{f

> 0 : SJ* ( * ) > # } } .

я ; + 1 - я ; > я г ( Ф -

(5)

Ш (Xl cos2 ( я Н - Ф я ) Н а г {Х2п) & (cos2 ( я Н - Ф „ ) ) =

^ ( 4 ) .

(6)

Для простоты предположим,

что Х0 = Хх = 0.

Теперь рассмотрим

вероятностное

пространство

Q

в

виде произведения

Ц

Qt,

причем

Хп и

Ф„ заданы

на

Q/ при 2 / < r t < 2 / + 1

.

Другими словами,

случайный

Это верно

для

каждого

t,

в

частности

для t = t*.

Полагая y, =

p ; + ( ^ ) и

со = (со,, со2

со,, . . . ) (со/ей,),

имеем

У/(со) =

Уу (со,,

coy)^= 0 и

Jy/ (co)P/ (dco/ )>|a/ ,

о,

каковы

бы ни были со,,

со/_,. Более того,

2 / < n <2/+'

Следовательно,

& (У,) >(т)/2) а,,

# (У2) = 2сг/ и

* ( У , +

. . . + У / ) > ( т 1

/ 2 ) ( 0 1 +

. . . + а,),

<г1 /2 ((у, +

. . . +

у,)2 ) <

if'2

(к2 ) +

.. . +

#"2

(у2 ) =

= У~2(о1 + .. . -fa,).

Применяя

неравенство

I I (стр. 19), получаем

Р (У, +

. . . + У, > Л (л/2) (а, +

• •. + а/)) >

(1 - Я ) 2 ( л 2 / 8 ) .

НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

129

Принимая во внимание (5), имеем

У| + . . . -f-

Yi^.H]+l,

а согласно

лемме

3, HJ+i

<[sup F(<)=%;|| FH^. Следова­

тельно,

Р ( I I F I L

>

Л (Л/2) (а, +

. . . +

а/)) > ( 1 - Л*) (rf/8).

Поскольку

мы

предположили,

что ряд (I) п. н. пред­

ставляет ограниченную функцию, то сумма ст, +

... + 07

со

ограничена

числом,

не зависящим

от /, т. е. 2а/

< 0 0 •

Но так как

2

а/>(е/2)(з/4)/

&(xl))m,

ТО

\2/<п<3-2/-'

/

i f

2

00.

/=' \2'^/t < 3-2/—1

/

Если вместо ряда (1) мы рассмотрим ряд

/=| \2/<Зп<3-2/-1

/

Наконец, поскольку

2/<п<3-2/-1

2/+2<Зп<3.2/+1

оо

ТО 2 S/ < оо.

п. н.,

то *20 0 s / < 0 0

• Согласно закону нуля и единицы,

со

i

из

2$/

= оо следует, что (l)e£L°° п. н.

б

Ж.-П. Кахан

130

ГЛАВА

VIII

4.

Неограниченность;

общий

случай

Теперь вернемся к общему

ряду

(I), где Хпе1Ф* —

независимые

симметрические

комплексные случайные

Вероятностное

пространство

обозначим

через £1ХФ-

Введем

два

других

вероятностных

пространства

и Qe с последовательностью

Штейнгауза

(1/2я) Х¥П

на

н

с последовательностью

Радемахера

е„

на Qe

и

рас­

смотрим

случайный

ряд

со

2 * „ с о 8 ( д * + Ф я

+

ч д ,

(7)

п=0

заданный

на

Qxw

=

&ХФ X йу,

и

ряд

со

2

*„е„соз(л* +

Ф„),

(8)

п=0

заданный

на

й*фВ

=

Qxa> X

Для любых

фиксированных

и ср„ случайные вели­

чины хпе1

(ф ч+ ч г п)

и

xneiWn

подобны. Поскольку

Хпе1Фп

и

независимы,

величины

Хпе1^п+ЧГп^

и

XneiVn

подобны,

а потому ряд (7)

и

ряд

2 z „ c o s H +

^„)

(9)

также подобны. Более того, поскольку

Хпе{Фп

симмет­

ричны, ряд (8) подобен ряду (1).

Пусть

Хп

удовлетворяют

условию

регулярности

(4)

оо