Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

РЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ					Ш
Т е о р е м а 1. Если			последовательность	st	убывает
со	ТО ряд	(1)	п. н. представляет	непрерывную
и 2 s / < ° ° >	ТО ряд	(1)	п. н. представляет	непрерывную
о
функцию.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Сначала рассмотрим ряд Ра
демахера (2). Положим			Nk = 22k и
	Ри (0 =	2	е„х„ cos (nt + ф„)
и применим	теорему	2 гл. V I . Получим

Согласно лемме Бореля — Кантелли, имеем

l i n L = 0 ^ ( l o g ^ + I ) , / 2 ^ S					&] J n . H . ,
или, что то же самое,
BP*L =	0 l 2 ^ l		2	* ? )	I	п . н .
оо
Поэтому ряд 2<Pfc(0 п. н. равномерно						сходится, если
I
		/2Й+1-1		\1/2
2	2**	2	d	< ° о .		(4)

Следовательно, условие (4) достаточно для того, чтобы

(2) е С п. н. Поскольку S / — убывающая последова тельность, то

/2*+1_1 у/2

112 ГЛАВА VII

Поэтому (4) эквивалентно условию 2 2ks2k			< оо, которое
		k	оо
в свою	очередь	эквивалентно условию	оо
в свою	очередь	эквивалентно условию	2 s / < ° ° - Тем
самым	теорема	доказана для ряда Радемахера.
В общем случае введем, как обычно,			ряд
		оо
		S e „ X „ c o s H + 0„),	(5)

подобный ряду (1). Первоначальное вероятностное про странство обозначается через 0,ХФ) {гп} — последователь ность Радемахера в другом вероятностном простран стве Qe, а ряд (5) является случайным рядом, заданным на произведении пространств йхФе = О^Ф X &е . Положим

5У = /

Xl)m

(/ = 0, 1, 2, . . . ) ,

/ofc+I \I/2

Из предположения относительно последовательности st

оо
следует, что 2 4 < 0 0	(другая	форма записи условия
(4)). А поскольку tk =	&{T\)tk\	имеем

S ^ S Г ^ ' ) < о о .

Отсюда заключаем, что

оо

2 TW < ОО П. Н.

и, согласно неравенству Шварца,

со

2 Тк < °° п. н.

РЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

113

Далее,	Тк — случайная величина					на Qxo.		Если задано
			со
такое со е= 0,ХФ,		ЧТО 2		<	°°> т о	ряд (5) является слу
чайным	рядом	радемахеровского				типа на Qe . Так как
условие	(4) обеспечивает			включение ( 2 ) е С п. н., то
	ОО
условие	2 Tk <	оо	влечет (5) е С			п. н. (QJ.			Поэтому
( 5 ) s C п. н. (й*Фе).			Так как ряд (5)				подобен		ряду (1),
то ( 1 ) G C П. Н. И теорема				доказана			в общем		случае.
Замечания.		1. Доказательство				теоремы		1 приводит
									оо
к несколько более сильному утверждению: если									2 h < °°,
то ряд (1) п. н. представляет					непрерывную			функцию.
2. С л е д с т в и е .			Если	st	< s*h	s)+\	^ s) (j = 1, 2, ... )
со	° ° i то ряд		(1) п. н. представляет						непрерывную
и 2 s / <
функцию.	Это утверждение может быть получено также

из теоремы 1, если воспользоваться принципом сжатия.

3. Можно поставить	вопрос, не следует ли из более
	со
слабого предположения	2 s / < °°> что ряд (1) предста

вляет п. н. непрерывную функцию. Ответ отрицателен (см. упр. 2).

3. Оценки для модуля непрерывности (субгауссовский случай)

Если задана непрерывная функция f на окружности, то ее модуль непрерывности, рассматриваемый как функция от h > 0, определяется равенством

ш,(А)=	sup \| / ( / ) - / ( 0 1 -
Ниже мы будем	предполагать, что sf = О ( 2 - p / / v ) ,

Р ^ О , причем у < — 1. если р = 0. Согласно приведенно му выше замечанию 2, ряд (1) п. н. представляет непре рывную функцию. Обозначим эту случайную функцию через F,

114

ГЛАВА VII

Т е о р е м а

Рассмотрим

субгауссовский

ряд (3),

такой, что

Л)112=о(2-"

П.

(6)

Если

р =

О, у <

— 1, то

со^(Л) =

о ( 1 о 8 « + ' 1 )

л. к.

£слн

0 <

р <

го

coF(/z) = o ( / z p l o g , / 2 + v i - ) п. н.

£сл«

р =

I , у >

— 1/2, то

coF(/z) =

o ( A l o g ' + v i )

tt.

к.

Если

р =

— 1 <

Y < — 1/2,

го

со, (Л) =

О (/г log"21)

п. к.

Если

р =

у <

— 1 и л и

Р >

то F

непрерывно

дифференцируема.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

задано

целое положи

тельное число г, то положим hr

= 2 _ Г ,

Vj = г, ...

....

= r2k~\

. . . . Nk

= 2v" и

(0 =

e„x„ cos (/г/ +

<р„).

Производная

от Р0 (/)

равна

ро

(0 =

Nx-l

2e"nj;'1c o s Н + Ф"+ т) •

Так

как со, (hr)^a>P.

(hr)

+ &Р,+Р,+ ... (hr),

то

имеем

<uF(nr)<hr\\Po\L + 22l\\Pk

РЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

115

Теперь применим теорему

2 гл. V I :

fN,-\

4l/2v

Р ( l l P o l L > C ( l o g ^ ) , / 2 (

n\l\

- ^ .

fNk + l-l

\ ' / 2 \

p(llP*IL>c(iog^+ 1 )I / 2 r J

За исключением

события,

вероятность которого меньше

•••>

т. е. меньше

2 1 _ 2 г ,

имеем

/N,-1

\ 1/2

| Р о 1 1 с о < С ( 1 о д ^ ) 1 / 2 ( ^ 2 п2х2п]

=а

/ " * + ! - '

V / 2

I I P f t I L < c ( i o g ^ + , ) , / 2 ^

= 6 ,

для

любого

Здесь и далее С обозначает положи

тельное число,

которое

не

зависит

от

г и k,

но может

быть

различным

в разных

местах. Используя

(6), имеем

\1/2

vfe+.

V' 2

6* < С |^(r2*)'+2v

2 _ 2 / р 1 .

Если

0 < р

< 1,

то

fl<0I/2+v2r(,-p).

Если

н =

у >

— 1/2,

то

Если

р =

у <

— 1/2,

то

Если

Р >

то

а <

О'/ 2 .

2 ** < С 2 (r2*), / 2 + Y 2-p r 2 * < C r , / 2 + v 2 - p r .

1 1

116

ГЛАВА vn

Если р = О, у < — 1. то

S & & < C S ( r 2 * ) , + v < C / - 1 + Y .

Если в предыдущих оценках мы заменим г на log(l//jr ), то во всех случаях а), Ь), с) и d) получим

c o F ( A r ) < C ^ l o g v ' J -

(hr

= 2~r)

Yi =

1 +

у, -j +

у,

1 + Y

или

1/2,

зависимости

от

случая,

который

мы

рассматриваем),

за

исключением

события,

вероятность

которого

меньше

2 1 - 2 г .

Согласно

лемме

Бореля — Кантелли,

это

неравенство

почти

на

верное имеет место при достаточно большом г. Так

как

aF (h)

является возрастающей функцией h,

то имеем п. н.

<йР (А) < С/гр logV l (1//г),

когда

достаточно

мало. Тем самым доказаны оценки

а), Ь), с) и d).

Оценка е) очевидна, если

рассмотреть

ряд

со

гппхп

cos (nt +

ф„ +

л/2),

который п. н. представляет непрерывную функцию в слу

чае р =	1, y <		— 1	и л и	в случае		р > 1 . Этим	заканчи
вается	доказательство				теоремы.
Не существует очевидного пути для обобщения тео
ремы 2 на общие ряды (1)						(см. упр. 5).
4. Достаточное				условие		для	включения (1) е= Л„
Класс		Липшица		Л а	(0 <	1) состоит из всех таких
функций		/, что	G>f (h) = О (ha).				Он является	банаховым
пространством			относительно			нормы
		11/11ла =		1 1 / И с о + 5 и р Ц ( Л ) Л _ а ) .

Удобно определить класс Л а + р (/7=1, 2, . . . ) как множество всех р раз дифференцируемых функций /, таких, что / ( р ) е= Л а .

Р Е Г У Л Я Р Н О С Т Ь . У С Л О В И Я Н А К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т Ы

117

	Здесь, как			и в п. 3.,			ряд (1) п. н. представляет не
прерывную			функцию			F. Напомним, что
							Г2/+1		/
Т е о р е м а				3.	Если		5у =	0(2~р / ),		р > 0 ,	то почти
наверное		F е= Л а			при	любом		а < р.
Д о к а з а т е л ь с т в о .							Если		мы продифференцируем
ряд	(1), то		соответствующие
				/ ,	= (	2			&(п2хЩ12
					\2/<п<2/+1				/
будут лежать				между			и 2/+ \| 5/. Поэтому
			S / = o ( 2 - p o # = > s ; = o ( 2 - ( p + i ) o
и достаточно				доказать теорему					3 для	0 < р ^ 1 .
При		этом		предположении					требуемое утверждение
для	рядов		Радемахера				очевидным образом				вытекает
из теоремы 2. В общем случае									мы рассуждаем, как и
в п. 2;		введем		ряд (5)
					0 0

2е„Хп cos (nt + Ф„),

п=0

заданный на вероятностном пространстве 0,ХФ& = йхоХ^е» и положим

s , =	(	2	xl)112.
	Ы<п<2/+ 1		/
ОО
Так как 2 Г 2 2 2 р / 5 / <	°°	и s2 =	g(S2), то имеем

2 /~2 22 р / 5/2 < оо п. н. (0*ф)

Поэтому

5/ = 0(/2 - р / ) п. н. (йХф)

и, согласно теореме 2, ряд (5) представляет п. н. (&ХФе) функцию, которая принадлежит любому классу Л а , а < р. Но так как ряд (5) подобен ряду (1), то на этом доказательство заканчивается.

118	ГЛАВА	VII
Легко несколько	уточнить	заключение теоремы 4

(см. упр. 6). Однако существенно уточнить заключение

этой

теоремы

невозможно

в силу

следующего

класси

ческого утверждения:

П р е д л о ж е н и е .

Если

f е= Л а

оо

/ ~ 2 * n c o s ( / i f +

<P,.),

то

= 0(2~ 2 / а ) .

2/<г»<2/+1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Снова

достаточно

доказать

этот

результат

для

0 <

ct<j 1. Если задано h >

О,

то

оо

f {t +

h) — f {t — h) ~ 2

2*„ sin

cos (/tf +

фп ).

Рассматривая

квадратичные

нормы

оо

2 J]

4 sin2 n« =

J (/ ( Н

/г ) _

h)f

d t

^ ffl2 { 2

h )

и полагая Л=2л/(3 • 2'),

получаем

требуемый

результат

для 0 < а ^

Из этого предложения следует, что если данный ряд

Радемахера (2) при некотором, выборе

е „ = ±

1, пред

ставляет функцию, принадлежащую Л р , то S/ =

0 ( 2 - p / ) .

Следовательно,

верхней

границей

таких

чисел

а,

что

Fe=A„ п. н., является

— log

число lim —г-.—

—

(log

/->«>

5. Приложение

Если заданы две непрерывные на окружности функ ции / и g, то их свертка определяется равенством

k(t) = f*g(t)

±jf(t-s)g(s)ds,

РЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

119

где интеграл	берется по	окружности. Если положить
		оо
		— оо
		оо
		— со
		оо
h =	-^\k{t)e-^dt,	k ~ ^ k n e ^ ,
		— со


TO kn = fnUn-		следующую задачу. Пусть заданы а > О
Рассмотрим
и р > 0.	Можно		ли для	любой	функции ^ Е Л а найти
функцию	/ е= Лр ,		такую,	что f*f	—	k}
Мы можем		сформулировать			эту	задачу по-другому.

Можно ли для любой комплексной последовательности ап

со

(— оо <

п <

оо), такой, что 2

а-пеш е А а ,

выбрать

знаки

— ОО

ОО

так,

что

=Ь йпеш

Л& ?

со

— со

Если

2 ф » | п ' е = Л „ ,

то

| а „ 4 | =

0 ( 2 - 2 / а )

2-/ <|п|<2/ + 1

(см. предложение из п. 4),

откуда,

согласно

неравен

ству Шварца,

2*<| л | <

2l+ i

! = 0 ( 2 - ( а - 1 / 2 ) / ) .

Применяя

теорему

3 к действительной и мнимой

частям

- I

0 0

рядов

апеш

а„е'п ( ,

мы

видим,

что

± апеш

е= Л р

п. н.,

если

р < (а —

1/2)

Если

а„е'"'G= Л„,

то

| а„ |2 =

0 ( 2 _ 2 / р ) .

Поэтому,

если выбрать

у* =

/ 2 _ < 1 + 2 е ) /

при

2'<|

| < 2 / + | ,

120 ГЛАВА VII

то

будем

иметь

± V±

Уп е ш ф- Л 0

при

всех

набо-

— оо

оо

pax

знаков

—.

Рассмотрим

ряд

± Y«e '"'-

— оо

Согласно теореме 3, этот ряд п. н. представляет

функ

цию

класса

Л а

для

а <

1/2 + 2р.

Следовательно, мы

можем

выбрать

ап(ап=±уп)

так,

что

для

c t < l / 2 +

2p,

± апеш

ф. Л р

при

всех

наборах

знаков

и —. Таким образом, мы доказали

следующее

утверждение.

Т е о р е м а

Если р < ( а — 1 / 2 ) / 2 ,

то любую

функ

цию

класса

Л а можно

записать

виде

f * f,

где

fe=Ap .

Если

же р >

(а—1/2)/2, то найдется

функция

класса Л.а,

которая

не

может быть записана

в виде

f * f, где

f е5Лв .

Упражнения

Докажите,

что множество

{4V ' -f- 4^] (v =

1, 2,

u. =

(v — l ) 2

(v — l ) 2 -4- 2,

v2 )

является

множе

ством

Сидона.

(Ср. упр. 8, гл. V, стр. 93; определение

множества

Сидона

дано

в гл. V I , стр.

101 —102.)

Докажите,

что существует

такая

действительная

оо

последовательность

хп>

что

2 /

х1)112

°°> но

/='12

/ <П <2' +|

при любом выборе знаков +

и — имеем

со

^±хпешф1,°°.

(хп=±-,

если n =

4 v

4 ^ ,

v = l , 2 ,

... ;

n = ( v - l ) 2 - f l ,

( v - l ) 2 + 2,

v2 .)

3. Обозначим через («,, ы2, . . . ) точку в бесконечно мерном торе Т и рассмотрим случайный тригонометри

ческий ряд
2 ± Сп	„ еП/».и.+»2Иа-1-...)	(7)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ