книги из ГПНТБ / Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды

ГРАНИЦА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ

Ю1

а сумма 2 конечна. Тогда имеем

Р ( I I Р I I . >

С (s 2 I I f„ \l

log W)"2) <

N-2e-s,

где С — некоторая

абсолютная

постоянная.

Т е о р е м а

4.

Если

заданы

комплексные

числа

Cnvn.2

ns,

где

мультииндекс

(пи

п2,

ns)

удовле­

творяет неравенству

К 1 + | л 2 1 + . . . + 1

то существует

такой

набор знаков

+

и —,

что

sup

2

± s

e / ( V i + - + V , ) | <

< C ( s 2 | c „ ,

nsflogN) 1/2

В

частности,

если заданы

N

комплексных

чисел

с,,

с2 ,

что

cNt

то

существует

набор

знаков +

и —,

такой,

41/2

sup

2

±

спе

< c ( S c « l o g ^ J '

Следовательно,

если

заданы

N

положительных

чисел

а,,

а2,

что

а^,

то существуют

фазы

<р,,

ф2 ,

ф„,

такие,

sup

N

JV

\l/2

2

а-п. cos (nt +

ф„)< C ( 2 J a * l o g t f j .

t

a)

если

на

Л

задана

функция

с (Я),

стремящаяся

к

нулю

при

Л,—>оо,

то

существует

такая

функция

f €

L 1

(0,

2я),

что

2л

о

b)

если

на

Л

задана

ограниченная

функция

с(Х),

то

существует

ограниченная

мера

d\a, такая, что

с(Х) =

2л

о

c)

если

L°°(0, 2я)

и

ряд

2

d(X)еш

является

рядом

Фурье

функции

g,

то

2

|d(A.)|<oo;

d) существует к >

0, такое, что для каждого тригоно­

метрического

полинома

р (t) =

2

d(X)eiU

имеем

2

\d(X)\<H\\p\L.

По поводу доказательства эквивалентности свойств а),

Ь), с), d) и других

интересных свойств множеств

Сидона

мы

отсылаем

читателя к книге Рудина [2] (см. стр.

120).

В качестве примера

рассмотрим

последовательность

по­

ложительных

целых

чисел

nh

таких,

что

inf я / +

1 / / г / > 1 -

Тогда

множество

Л =

{ ± я /

} ,

/ = 1 , 2 , . . .

является

множеством

Сидона;

мы

пользовались

этим

фактом

на стр. 80—81 (см.

также

упр.

8

к

гл. .V). Мы

дока­

Т е о р е м а

5.

Если

Л — множество

Сидона,

то

найдется

такое

>

0, что Л содержит не более

[kxs

log v]

элементов

вида

a - f /г,р, -4- п2р2 +

• • • +

nsps,

где

а,

ри

р2>

• • •,

Ps

— заданные

действительные

числа,

а

пи

п2,

ns

— такие

целые

числа,

что | « i l

+ l t t 2 l +

•••

. . .

+ 1

ns

I ^

v.

В частности, Л содержит не

более

[ki log v]

элементов

любой арифметической

прогрессии

из

v членов

( v ^ 2 ) .

ГРАНИЦА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ПОЛИНОМОВ

103

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

последовательно

все

системы

(пи

п2,

I ^

ns)

таких целых

чисел,

что

I п \

I +

• • • +

I ns

v>

и

соответствующие

числа вид

а + rtjpi

+

• • • +

nsPs-

Положим

сП ]

ns

= 1, если

число

а + n iPi +

• • • + ns?s

принадлежит множеству Л и не

было

рассмотрено

ранее,

и

сП ]

ns

=

0

в

противном

случае. Количество элементов из Л, которые могут быть

записаны

в

виде

a -f- "iPi - + - . . . +

nsPs>

равно

г ^=

= 2 | с п ,

п я | = 2 | с л ,

ns\2.

Согласно

теореме

4,

существует набор знаков - f и —, такой, что

sup

| 2

± с„

„ /

( в + » 1 Р 1

+ . . . + п л ,

<

c ( s r

l o g v ) ' / 2 >

а по определению множества Сидона левая часть нера­

венства

превосходит

г/%

(х =

х(Л)).

Следовательно,

г <1 С2к2

s log v.

Аналогичное утверждение справедливо для множеств

Хелсона.

Множеством

Хелсона в [0, 2л) является

зам­

кнутое множество Е, обладающее одним из эквивалент­

ных

свойств:

a) всякая непрерывная на Е функция может быть

продолжена

на

[0, 2я)

так,

что полученная

функция

будет

суммой

абсолютно

сходящегося тригонометриче­

ского

ряда.

b) существует такое к > 0,

что для

всякой

меры

d(i,

сосредоточенной

на

Е,

имеем

множестве Z всех

целых чисел

(>0,

< 0 или

0) линей­

ных комбинаций

экспонент

e i m

(п е= Z),

ас=[0, 2л).

ГРАНИЦА ДЛЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ

[Q5

Т е о р е м а

6.

Если

задана

комплексная

последова­

тельность

un

=

0(\n\a)

(n<=Z),

где а <

1/2,

то

случай­

ная

последовательность

впип

(п е

Z)

является

почти

наверное

Н. п. п.

последовательностью

с пустым

спек­

тром

(е„,

как обычно,

независимые

случайные

величины

Радемахера).

Если

задана

ограниченная

комплексная

последова­

тельность vn

(п e Z ) , то существует

такой набор в* = ± 1,

что е„ип

(п е

Z) является

R. п. п.

последовательностью

с пустым

спектром.

Д о к а з а т е л ь с т в о

п е р в о й

ч а с т и .

Согласно

теореме

2,

Р

sup

>С 2 l « „ | 2

l o g v

1/2'

< l / v

Следовательно,

по

лемме

Бореля — Кантелли

sup

| е А е " "

= 0 ^ 2 l « „ | 2 l o g v y j

( v ^ o o ) n . н.

V

l / ( 2 v +

1) 2 е А е ' " ' =

о(1) для

каждого t,

а

это

и

есть

требуемое

заключение.

Д о к а з а т е л ь с т в о

в т о р о й

ч а с т и .

Для

упро­

щения

обозначений

предположим,

что о„ =

0

при

я — — 1,

—2,

. . . ; если мы

докажем

результат

в

этом

случае,

то

он

немедленно

будет

вытекать

отсюда

и

в

общем

случае

путем

разделения

последователь­

ности

vn

на две

части. Положим

fun(t)

= vneint

(я = 0,

1,

2,

. . . ) ,

а

для

k =

2,

3,

. . . ,

я =

0,

1, 2, . . .

ft*

ft, п '

ft-l, nk'+l-V

где знаки выбраны так, чтобы норма \\fk.n\L

имела

наименьшее из

возможных

значений,

причем

при

/ =

1

ГРАНИЦА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ

107

и,

следовательно,

п,-1

I Ь ( ц ,

v) | <

1

2 | |

„

L =

о((кЩ

Поскольку

п=л .

V ("2 - ".) ( ^ ) 2 < ~

(У + 2 (б!)2) <

,

то

v) =

o(l),

и

поэтому

a(fi, v) =

o(l) при v-*oo

б.

Упражнения

1. Докажите,

что

множество

{46 }

( 6 = 1 ,

2,

. . . )

является

множеством

Сидона.

(Упр. 8, гл. V.)

2. Можно ли в теореме 5 заменить

logv на

co(v),

если ю (х) = о (log х) (* - > - оо)?

(Нет;

упр.

1.)

3. Можно ли в теоремах

1, 2,

3

и 4 заменить

\ogN

на со (АО,

если

ш (х) =

о (log я)?

(Нет;

упр.

2.)

4. Докажите,

что

множество

Сидона

не может со­

держать

сумму

двух

бесконечных

множеств

(Е + F

определяется

как

множество

точек

вида

х-\-у,

л е £ ,

(Воспользуйтесь теоремой

5.)

(Доказательство

то

же, что и для

теоремы

1.)

6. Рассмотрите случайный полином Р(х) =

N

^1апепРп(х),

о

где е„ — последовательность Радемахера, а „ ^ 0 , а Рп

—

полиномы

степени

Докажите, что

^

р

>1р {х) 1> с (2fl-log

<

при некоторой абсолютной постоянной С.

(Положите

* =

cos< и используйте

теорему

2.)

7.

Докажите,

что

теорема

6

не

имеет

места при

а =

1/2.

8.

Если

I

субнормальна,

то

#(£) = 0 и

&(12)^.1.

(Воспользуйтесь

разложением

В(е%1)=

я 0

+ ci{X

+

+ a2A2 + о (А2),

Я,-*•().)

/ —

°°

( * > 0 ) .

и . ( * ) < - | / | J e - " J / 2 d «

д:

10. Будем говорить,

что X

является субгауссовской

случайной величиной, если <S {ехх)

^

e x V / 2 ( — со <

% < оо)

при

некотором

т >

0,

и

что

X

центрирована,

если

l e i 1

(Q) и If(X) =

0.

Докажите

эквивалентность

сле­

дующих

предложений:

a)

X

является

субгауссовской;

b)

X

центрирована

и

<§ (Х2п)

=

О (Кпп\) при

некото­

ром

К > 0;

c)

X

центрирована

и

Р (| X |<

х) — О {е~Ех7)

(х - * со)

при

некотором

е >

0.

2 Xncos(nt + <Dn),

(1)

№=0

где Хпе п — независимые симметрические

комплексные

являются

ряды

Радемахера

со

2

e„*„ cos (nt +

<р„)

(2)

и более

общие

субгауссовские

ряды

0 0

2

InXn cos (nt

+

ф„),

(3)

довательность

Радемахера,

а | п — субнормальная по­

следовательность.

В главе V мы дали необходимое и достаточное

условие

для

того, чтобы ряд (1) п. н. был

рядом

Фурье

функции,

принадлежащей

классу

V,

где

<

со.

Это

условие

состоит

в том,

чтобы

оо

2 & (min (| Хп

I 2 ,

1)) < со (стр. 82, теорема

1).

Кроме

о

ложений:

a)

(l)c=L°° п. н.;

b) (1) с=

С

п. н.; с)

ряд (1)

п. н. равномерно

сходится;

d)

ряд

(1)

п. н.

сходится

в каждой

точке

(теорема

3,

стр.

88).

Было бы

жела­

тельно дать

явное условие

на

коэффициенты,

эквива­

лентное

предложениям а),

Ь),

с)

и

d).

Но

мы

не