книги из ГПНТБ / Железнов, Ю. Д. Статистические исследования точности тонколистовой прокатки

можно проверить гипотезу об отсутствии корреляционной связи между случайными величинами X и Y. Если условие (59) удов­ летворяется, то гипотезу об отсутствии корреляционной связи отбрасывают.

Пример

Вычислить коэффициент корреляции, коэффициент регрессии и написать уравнение линии регрессии между входной Н 0 и вы­ ходной толщиной h1 холоднокатаной полосы на реверсивном стане

1200.

Значения толщин X = Н 0 я Y — hx даны в табл. 4.

30

Р е ш е н и е . Определим среднее значение X и Y (п = 20):

У* /

х= - = — = 0,84 мм,

Уyt

у= - = — --= 0,5265 мм.

Для удобства все вычисления сведем в табл. 4. Определим следую­ щие средние значения:

:30.85.10-4 мм2.

п

Ж = 10,745-10-4 мм2,

п

_ У им,

uv = :— = 12,62-10-4 мм2.

Определим дисперсию и среднеквадратичные отклонения:

Dх = ох = и2 = 30,85-10“ 4 мм2, ах = 0,0555 мм;

Dy = o 2y = v\ = 10,754-10-4 мм2, = 0,0328 мм.

Корреляционный момент, или ковариация величин X и Y,

31

Теперь проверим гипотезу об отсутствии корреляционной связи и определим доверительные интервалы для коэффициента корреляции г. По формуле (58) определим критическую область с уровнем значимости 5%:

связи можно отбросить. Доверительный интервал на основании формулы (58) 0,45 <С г •< 0,93.

Если требуется определить корреляционную зависимость ме­ жду тремя и более случайными величинами, то корреляцию назы­ вают множественной.

Для трех признаков уравнение регрессии имеет следующий вид [51:

Z = АХ + BY + С,

где А и В — коэффициенты регрессии; С — параметр.

Коэффициенты регрессии Л и б определяются методом наимень­ ших квадратов:

где rxy, rxz, гУ2— коэффициенты парной корреляции соответ­ ственно между величинами X и Y, X и Z, Y и Z;

ах> °у, — среднеквадратичные отклонения.

Тесноту связи величины Z с параметрами X и Y характеризуют выборочным совокупным коэффициентом корреляции этих ве­ личин [51:

у т - ' » ) ( ' - 4.)

32

TftJ

x ( t )

дая кривая множества является лишь отдельной реализацией слу­ чайного процесса. Реализация случайного процесса, снятая на стане холодной прокатки, может быть описана как случайной функцией времени, так и случайной функцией координаты (длина

этому случайные процессы характеризуют динамику случайных явлений.

Аналогично случайным величинам случайные процессы могут быть оценены некоторыми вероятностными характеристиками. К этим характеристикам относятся математическое ожидание, среднее значение квадрата случайного процесса (дисперсия), плот­ ность распределения, автокорреляционная функция и спектраль­ ная плотность. Характеристики случайных процессов являются функциями времени в отличие от числовых характеристик случайных величин, которые представляли собой определенные числа.

Математическим ожиданием случайной функции х (t) назы­

вается неслучайная функция х (t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции [11:

03

(63)

—СО

На рис. 14 показаны реализации случайного процесса и их математическое ожидание. Среднее значение квадрата (дисперсия) дает представление об интенсивности случайного процесса

D (t) = Jсо [х (0 —х (01 w (х, t) dx = л:2 (/) — [л: (Z)]2.

— 00

34

Помимо вышеуказанных характеристик х (/) и D (t), которые являются средними по множеству, рассматривают еще среднее

по времени значение случайной величины х для одной реализации случайного процесса х (t). Оно определяется по формуле

т

(64)

Предельный переход необходим для того, чтобы характери­ зовать всю возможную кривую х (t) в целом.

Плотность распределения случайного процесса определяет вероятность того, что значения процесса в произвольный момент времени будут заключены в определенном интервале. Автокорре­ ляционная функция случайного процесса характеризует общую зависимость значений процесса в момент времени П от значений

Спектральная плотность случайного процесса определяет ча­ стотную структуру процесса. Эти характеристики более детально будут рассмотрены после классификации случайных процессов.

8. Стационарность и эргодичность

Случайные процессы по характеру изменения во времени бы­ вают стационарными и нестационарными. Стационарные случай­ ные процессы изучены более детально, и теория стационарных слу­ чайных процессов находит широкое применение в прикладных за­ дачах автоматического управления, радиотехники и т. д.

Величины математического ожидания стационарных случайных

процессов не зависят от времени, т. е. х (t) = const. Нестационарные случайные процессы — относительно мало

изученная область теории случайных функций.

Стационарные случайные процессы бывают эргодическими и неэргодическими.

На рис. 13 показаны графики стационарных неэргодических случайных процессов в отношении математического ожидания,

Стационарные случайные процессы обладают свойством, ко­

Рис. 15. Кривые стационарных эргодических случайных процессов

Для стационарного и эргодического процесса среднее значение и дисперсия, определенная по одной реализации, равны соответ­ ствующим средним по множеству.

9. Корреляционная функция случайного процесса

кривая х (t) после точки [tx, х (П) 1- Однако такие характеристики, как автокорреляционная функция и спектральная плотность, дают некоторую вероятностную информацию о процессе во вре­ менной и частотной областях.

Автокорреляционная функция R (т) стационарного эргодиче­ ского случайного процесса х (t) вычисляется как среднее по вре­ мени от произведения х (t) и x (t + т), отличающихся друг от друга

x{t)

t

Рис. 16. Реализация стационарного случайного процесса

36

Для вычисления автокорреляционной функции часто случай­ ный процесс центрируют, т. е.

о

где х (t) — центрированный случайный процесс;

х (/) — математическое ожидание случайного процесса.

Тогда в формулу (67) вместо х (t) необходимо подставить зна­

чение х (О- Автокорреляционная функция обладает некоторыми замеча­

тельными свойствами, которые необходимо отметить:

1.Корреляционная функция является четной функцией, т. е. R (— т) — R (т). Это свойство позволяет вычислять автокор­ реляционную функцию только для положительных значений т; значение R (т) для отрицательных т является зеркальным изобра­ жением относительно оси ординат.

2.При т = 0 корреляционная функция дает средний квадрат,

=a2; R (оо) = (х)2.

Помимо этого, имеется прямая связь между характером слу­

чайного процесса и его автокорреляционной функцией (рис. 17). Как видно из рис. 17, чем медленнее изменяется случайный про­ цесс, т. е. чем больше преобладают низкочастотные составляющие, тем медленнее убывает автокорреляционная функция R (т) с уве­ личением т, и чем быстрее изменяется случайный процесс, тем быстрее она убывает.

Следовательно, зная автокорреляционную функцию, можно судить о характере случайного процесса.

Кроме того, по известной автокорреляционной функции можно определить важные вероятностные характеристики случайного процесса.

Рис. 17. Зависимость автокорреляционной функции от вида случайного процесса

37

Иногда удобно рассчитывать нормированную автокорреляцион­ ную функцию

Тогда при т = 0 р (0) = 1. Это значит, вероятность того, что случайная величина х (^) при сдвиге т = 0 примет значение х (^), равна единице, а с увеличением т эта вероятность уменьшается.

Автокорреляционную функцию можно вычислить и для детер­ минированных функций, в частности:

а) если х (t) = А то

следовательно, корреляционная функция также постоянна и не зависит от сдвига т;

Если в случайном процессе имеются скрытые периодичности, то в автокорреляционной функции имеется составляющая вида cos сот. На практике иногда приходится определять взаимную зависимость двух стационарных случайных процессов. Эту связь характеризует взаимная корреляционная функция. Взаимная кор­ реляционная функция (кросскорреляционная) вычисляется по­ добно автокорреляционной функции по формуле

Взаимная корреляционная функция характеризует связь двух случайных процессов между собой в различные моменты времени. Взаимная корреляционная в отличие от автокорреляционной функции в общем не симметрична относительно оси ординат. На рис. 18 показана типовая кривая взаимной корреляционной функ­ ции. Сдвиг максимума взаимной корреляционной функции ука­ зывает на наличие запаздывания в системе. Используя свойства корреляционной функции, можно экспериментально определить динамические характеристики любого объекта. Для этого необ­ ходимо иметь реализации входного и выходного сигнала объекта.

При отсутствии связи взаимная автокорреляционная функция равна нулю при всех т.

Ниже, на примере покажем методику расчета автокорреляци­ онной функции на основании экспериментально снятой кривой случайного процесса (см. рис. 16).

Обработка имеющейся реализации производится так:

38

В составе случайного процесса могут присутствовать низко­ частотная и высокочастотные гармоники. Для получения более точной информации о спектральном составе процесса выбор вели­ чины At играет важную роль. При большем значении At высокие частоты могут отфильтровываться, а слишком малые значения At приведут к неоправданным лишним расчетам.

При выборе величины At надо исходить из того, чтобы она как

Для удобства вычисления по формуле (67) составлена расчетная табл. 5.

На основании табл. 5 рассчитана автокорреляционная функ­ ция случайного процесса. По данным таблицы построена кри­ вая нормированной р (m) = R (m)/R (0) автокорреляционной функ­ ции (рис. 20). Для дальнейших расчетов полученную кривую

39