книги из ГПНТБ / Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем
.pdf61 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Lo{t, т ) — |
£ |
|
где |
и = 0 |
|
s—к—1 |
|
|
|
|
|
;ft(T) — |
(— \)lCh+ihcih+ft){x)'’ |
|
|
u ~ О |
(2.25) |
|
s—k |
|
|
|
|
d k (r )= |
^ ( - Ц ’Сь+рЬьЛЧ*)- |
|
|
ь=о |
|
Переходя в уравнении (2.24) к корреляционным функциям, используя формулы (2.25) и считая начальные условия нуле выми, получаем
t |
s—1 |
(t—x) s—k—1(Cft(T)7?yK(T, 0)- |
|
R y x ( t , 0) -f- J |
Ir |
|
|
u tTo (s—/г—1)1 |
|
||
dk{i)Rxx{r, Q)]dx—ds(t)Rxx(t) = 0 . |
(2.26) |
||
Применяя для нахождения уравнения идентификации си стемы (2.26) функционал потерь типа (2.19)
|
т |
t |
|
|
J w (t, x)M (t, x, 0) dx| X |
||
h-- |
j |
J s p { [ R y x (t, 0) — |
|||||
|
to |
to |
|
|
|
|
|
X |
[#»*(*, 0 ) - |
j |
w(t,x)M (t,x,Q)dx]\ |
dddt-{- |
|||
|
|
|
|
+a\\Lw\\w |
|
||
приходим к уравнению (2.10), в котором |
|
||||||
wa {t, т ) = |
[ — с 0 ( т ) ; . . . |
1— |
c s_ i ( т ) \d0( т ) j . . . j d s- i ( т ) \d,(t) ] ; |
||||
|
M(t,x,Q)T= |
|
-Rxy(Q,x) |
|
|||
Rxy(e, x) |
(t—x) s—i |
|
|
Rxx(Q,t) i |
|||
(5— 1)! |
•^жж(0, т)| . . . (#жж(0, t) |
t—t0 |
|||||
|
|
||||||
|
|
|
|
T |
T |
|
|
RaWa — aL*Lwa+ |
t0
dx J wa (z, x) dzX
тахЦ.т)
ГЛАВА II |
62 |
z
X J M (z, x, Q)MT (z, x, Q)dQ;
to
T z
f = \ dz J Ryx{z, 0)M(z, t, 0)Td0.
to |
tо |
Найдя из уравнения (2.10) величины обобщенных парамет ров, используем их для восстановления интегрального уравне ния (2.26), которое полностью описывает исследуемую систему.
В том случае, когда по какой-либо причине требуется опре делить коэффициенты дифференциального уравнения (2.23), следует пользоваться рекуррентными соотношениями, вытекаю щими из формулы (2.25):
|
|
s—k—i |
ak(x) = |
ch(x) — |
V. {—\yCh+ihak+f)(x)\ |
|
|
1=1 |
|
|
s—h |
bK( x ) = d h(x)~ |
( - l ) lCk+lkbh+f)(x). |
|
|
|
i=l |
З а м е ч а н и е 2.4. |
В полученные выражения также входит операций |
|
многократного дифференцирования. Однако в данном случае находятся про изводные не корреляционных функций, а коэффициентов Ch{t) и dk(t), опре деленных в результате двойного сглаживания исходных данных. Поэтому погрешности дифференцирования оказываются меньшими, чем при приме нении алгоритма непосредственного восстановления дифференциального урав нения'.
З а м е ч а н и е 2.5. Особенно простым оказывается применение предла гаемого метода в задаче идентификации стационарной системы, находящейся под воздействием стационарных входных сигналов, при io= —°°. В этом случае уравнение (2.26) является интегральным уравнением Винера—Хопфа второго рода и записывается следующим образом:
оо 5—1
RVx(t)+ [ |
V V.- т- |
[akRyx(t-x) -bkRxx(t-x)] d%—b(t)Rxx(t) =0. |
J |
Z J (s —A — 1)! |
|
|
k=D |
|
Используя функционал потерь
12 ~-= jсо sp {[# v* ( /) -wM(t)] T[Ryx(t) -wM(t)~\}dt+ a sp [wTw],
0
получаем уравнение идентификации (2.10) в виде системы линейных алгеб раических уравнений
со |
оо |
wa (al+ fM{t)Mt(t)dt)= |
f Ryx(t)MT (t)dt. |
63 |
|
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
|
Здесь / — единичная матрица; |
|
||
|
wa = [ - « 0 |
; ... ; - а г_! |
; Ь0: ...\Ьа]\ |
|
со |
|
|
MT(t) = |
17 |
|
\ J Rxy(t-T)dx : . . . |
|
|
||
|
0 |
|
0 |
— | / |
<s - . > i R" (1 |
и |
Г RXx(t-T)dx \Rxx(t)]. |
О |
|
О |
|
Таким образом, преобразование дифференциального уравне ния стационарной системы в интегральное позволяет заменить в уравнении идентификации операцию дифференцирования опе рацией интегрирования, что является значительным преимуще ством с вычислительной точки зрения.
З а м е ч а н и е 2.6. Предварительного вычислении корреляционных фун кций можно избежать, если для идентификации уравнения (2.24) применить функционал потерь, представляющий сумму квадратов отклонений правой части уравнения (2.24) от левой на совокупности пар { X i ( t ) , гцЦ)}, (г= 1, г; r 3? 2s + l ) .
Использование этого критерия позволяет сократить объем вычислений, однако вследствие наличия помехи в измерениях полученные в данном случае оценки являются смещенными.
2.4. ВОПРОСЫ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Возможность проведения идентификации определяется разреши мостью уравнения типа (2.10) и существенным образом зависит от соотношения между выбранной структурой модели, функцио налом потерь и имеющейся экспериментальной информацией.
Определение 2.4. Система с известной структурой называется идентифицируемой, если вариационная задача определения оп тимальных значений обобщенных параметров оператора сис темы имеет в области Ew решение при данной совокупности экспериментальных данных.
З а м е ч а н и е 2.7. Фактически определение 2.4 относится не столько к исследуемой системе, сколько к процессу идентификации и может быть сформулировано следующим образом: система с известной структурой назы вается идентифицируемой, если существует процесс идентификации, позво ляющий определять (возможно, неоднозначно) обобщенные параметры си стемы по экспериментальной информации.
Определение 2.5. Идентифицируемая система называется од- нозначно-идентифицируемой, если процесс идентификации при водит к единственному значению функционального параметра.
ГЛАВА II |
64 |
|
Определение 2.6. Однозначно-идентифицируемая система на зывается корректно-идентифицируемой, если полученные в про цессе идентификации значения обобщенных параметров явля ются устойчивыми по отношению к вариации эксперименталь ных данных.
Приведенные определения идентифицируемости несколько отличаются от предложенных в работах [2.12, 2.21, 2.43], что связано с введенным ранее понятием процесса идентификации.
Определение 2.4 выделяет класс систем, для которых иден тификация возможна. Определение 2.5 ограничивает этот класс системами, для которых решение задачи идентификации единст венно.
Введение понятия корректной идентифицируемости вызвано тем, что, как отмечалось выше, задача идентификации является некорректно поставленной. Поэтому метод ее решения должен удовлетворять условию устойчивости (2.4), которое для случая идентификации систем с известной структурой эквивалентно следующему: для любого положительного числа £ можно ука зать такое положительное число e= e(g), что при выполнении условия (2.3) имеет место неравенство
\\w—Wo\\w-
где w0 — истинное значение обобщенных параметров.
Для достижения корректной идентифицируемости возможно использование' одного из следующих методов:
а) усложнение функционала потерь при помощи введения дополнительного параметрического функционала (метод регу ляризации Тихонова [1.30, 1.31, 1.33] и различные его моди фикации [2.2, 1.22]);
б) специальный выбор области Ew (компакт в методе ква зирешений Иванова [1,8, 1.33]);
в) применение устойчивых параметрических алгоритмов [2.14, 1.23] для решения вариационной задачи третьего этапа
идентификации. |
|
что операторы |
||
Рассмотрим систему (2.7). Допустим, |
||||
|
R0= M{A*[x]A[x]}-, |
Ri = L*L |
|
|
действуют в гильбертовом пространстве |
W, причем |
оператор |
||
R0 вполне непрерывен. |
к |
линейной |
(2.7), при |
|
Теорема 2.1. Система, приводимая |
||||
функционале потерь (2.9) является: |
|
|
|
|
1) |
идентифицируемой, если выполняются условия: |
|
||
а) |
а = 0; |
|
|
|
б) |
оператор R0 неотрицательно определенный; |
|
||
65 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ
в) (f,v)w = 0; |
оо |
|
|
S f .2 |
|
|
i=1 |
случае находится |
Решение задачи идентификации в этом |
||
по формуле |
оо |
|
|
w= v + |
(2,27) |
|
2 = 1 |
|
2) однозначно-идентифицируемой, если оператор R0 поло жительно определенный и выполняются условия а), г); фор
мула |
(2.27) при уг=0 определяет решение и в данном случае; |
3) |
корректно-идентифицируемой при а>0, если оператор |
Ri~4 ограничен, его нуль-пространство пусто, область определе ния включает область значений оператора R0 и оператор Ra, по ложительно определенный.
В выражении (2.27) v — |
произвольное решение однородного |
||
уравнения |
Rov = 0, |
(2.28) |
|
|
|
||
{?»,}, {«г} — совокупности собственных чисел и соответст |
|||
вующих |
ортономированных |
собственных |
функций оператора |
Ro', f i = { f , |
U i)w |
|
|
Доказательство: 1) при а = 0 уравнение идентификации (2.10) является линейным операторным уравнением первого рода. По этому первый и второй пункты настоящего утверждения вы текают из известных теорем [1.9] Фредгольма о разрешимости подобных уравнений;
2) пусть а = 0. Оператор Ra в силу сделанных выше пред положений является самосопряженным, положительно опреде ленным и фредгольмовым [1.16]. Отсюда следует, что однород
ное уравнение |
^ у ^ |
имеет только |
тривиальное решение, т. е. уравнение (2.10) од |
нозначно разрешимо |
при |
любой правой части. Далее, из огра |
|
ниченности и отсутствия |
нуль-пространства |
у оператора ^i-1 |
|
видно, что уравнение |
(aI+Ri-iR0)wa= R r t f |
(2.29); |
|
|
|||
и уравнение (2.10) эквивалентны, т. е. оператор R r l является левым эквивалентным регуляризатором для оператора Ra- Уравнение (2.29) корректно разрешимо как каноническое фредгольмово [1.16]. Поэтому уравнение (2.10) также является кор ректно-разрешимым.
Допустим, что точное решение задачи идентификации удов летворяет уравнению
R0Wo=f,
5 — 2733
ГЛАВА II |
66 |
|
Пусть AR и Af ■— погрешности определения соответственно опе ратора R0 и свободного члена /. Тогда для решения регуляризованного уравнения
{<zRi-\-Rq-\-AR) wa~f-{-Af
справедливо следующее соотношение:
\\w—w0\\w= II (a-fti-btfo+A#)-1[A/— (aRi+AR) w0] \\w. (2.30)
Из корректной разрешимости уравнения (2.10) следует, что ['1.16] при достаточно малом по норме операторе AR
W'lMa.Ww^kWfWw,
где постоянная k не зависит от ша и /*. Подставив это соотно шение в (2.30), находим
II —®о11гя^^[Цб/||ж+ (a||-Rlllw+l|Ai?||wll®o||] •
Отсюда вытекает, что решение уравнения (2.10) устойчиво по отношению к экспериментальной информации. Теорема до казана.
Рассмотрим теперь вопрос об идентифицируемости систем (2.12) при функционале потерь (2.11) и условии L*L=I.
Теорема 2.2. Нестационарная линейная система в случае линейной независимости входных сигналов Xi(Q)^L2 b(i)]
на отрезке [a(t), b(t)]
1) идентифицируема относительно импульсной переходной функции при а = 0. Решение задачи идентификации имеет вид
W (t, 0) = о (*, 9) + у т(t) £>-1 (0 х (0);
2) корректно идентифицируема относительно импульсной переходной функции при афО. Решение уравнения (2.10) опре деляется формулой
w(t,e)=yT(t) [а/+Д(О]-^(0),
где I — единичный оператор;
УТ— .[У1 ■■■Уг\\
хт— [xt... хт];
b(t)
D ( t ) = J x(x)xT(x)dx;
_____________________ m
* Явное выражение для постоянной k и доказательство непрерывности функции l\wa — w0\по аргументу а приведены в лемме 3.1.
67 |
|
|
|
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
||
v(t, 0) — произвольное решение уравнения |
|
|||||
|
Ь(<) |
|
|
|
|
|
|
J” |
v(t, x)xT(x)dx— Q. |
(2.31) |
|||
|
a(t) |
|
|
|
|
|
Доказательство. Оператор R0 вполне непрерывен, так как |
||||||
b(t) |
b(t) |
|
b(t) |
b(t) |
г |
|
|
(t, Q)dxdB= |
|
|
Xi(%)Xi(Q) j |
dxdQ^. |
|
a(t) |
a(t) |
|
a(t) |
a(t) |
i= 1 |
|
|
r |
[ |
b(t) |
*»2(T)^T] <°°- |
|
|
|
^ |
J |
|
|||
|
i= 1 |
|
a(t) |
|
|
|
Запишем уравнение (2.10) с учетом введенных обозначений при а = 0
Щ)
yT(t)x(Q)= J* w (t, х)хт(х) x(Q)dQ.
a(t)
Собственные функции оператора R0 удовлетворяют уравне нию
ьц)
U{t)ui(t, 0) = J* Ui(t, х)хт(x)x(Q)dx.
am
Отсюда
причем вектор рД^) удовлетворяет уравнению
Р»г (0 [h (t)I - D (i)] = 0.
Следовательно, собственные числа оператора R0 находятся из уравнения det[X.(zf)/ — =0 и число их равно г.
Допустим без ограничения общности, что собственные фун кции ортонормировании Тогда справедливы следующие легко доказуемые соотношения: •
г
f(t, 0) = y T(t)x(Q) —
5*
ГЛАВА II |
68 |
Условие г) теоремы 2.1 выполняется, так как
£ |
г |
Я ;2 ( О У{ |
=yT(t)D-Ht)y(t),
аматрица D(t) является невырожденной, как матрица Грама системы линейно-независимых функций [2.191. Кроме того, одно родное уравнение (2.28)
b(t)
J v(t, %)хт(%)x(Q)dx=Q o(t)
вследствие линейной независимости функций {хД ©)} может быть приведено к виду (2.31).
Таким образом, доказываемое утверждение, с учетом вы рожденное™ ядра интегрального оператора Ro, является следст вием теоремы 2.1.
З а м е ч а н и е 2.8. Если система и входное воздействие стационарны, а отрезок идентификации полубесконечен, то уравнение идентификации явля ется уравнением Винера—Хопфа, для которого вопросы разрешимости и ре гуляризации исследованы весьма широко [1.9, 2.2, 2.22], поэтому останавли ваться на рассмотрении этих вопросов не будем.
В последующем, при изложении конкретных методов решения уравнений идентификации, приводятся некоторые дополнитель ные условия идентифицируемости, которые не вытекают непо средственно из доказанных выше теорем.
2.5. ВОПРОСЫ ПРОВЕРКИ ИСТИННОСТИ И АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
До последнего времени исследованию алгоритмов реализации четвертого этапа процесса идентификации — проверки истин ности построенной модели — не уделялось достаточного внима ния, поэтому общей методики решения поставленной задачи не существует. В значительной мере это положение объясняется тем, что наличие у исследователя информации только о входе и выходе системы затрудняет построение качественных алгорит мов проверки адекватности модели и системы в смысле удовле творения неравенству (2.4).
Некоторые методы решения этой задачи при помощи крите риев проверки статистических гипотез приведены в работах [2.4,
69 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ
2.Г8, 2.32, 2.40] применительно к линейным стационарным сис темам. В работе [2.38] использована теорема Рао—Крамера для оценки снизу точности идентификации стационарной сис темы. Приведенные работы охватывают основные направления, используемые для исследования истинности модели.
Ниже предложен ряд общих статистических методов для ис следования процесса идентификации. При этом в некоторых случаях эксперимент по поиску истинной модели удается сов местить с экспериментом по определению истинных параметров,
ав других — приходится ставить дополнительный эксперимент.
Сточки зрения математической статистики изучаемая про блема формулируется следующим образом. Имеются резуль таты измерения случайных функций
x = B i [й, т] ; у = В 2[у, п2] .
Априори делаются некоторые предположения о распределениях, случайных функций и, v, п, щ, п2. На основании этих предполо жений производится проверка гипотезы о том, что функции и и v связаны операторным уравнением
А[й, v ,z , w ] — 0,
причем набор обобщенных параметров w в общем случае не известен и определяется из условия минимума функционала потерь.
Для проверки гипотезы следует сконструировать решающее
правило |
[2.20], согласно которому, пространство выборок |
Ex XE y |
разбивается на некоторое число областей по числу |
проверяемых гипотез. Это разбиение проводится таким обра зом, чтобы минимизировать среднее значение некоторого функ ционала потерь, отличного в общем случае от функционала
(2.5).
Недостатком методов проверки гипотез применительно к за даче идентификации является то, что в случае, когда среди конкурирующих наборов функциональных параметров отсут ствует набор из истинных значений, критерии проверки гипотез позволяют лишь отбросить неверные гипотезы, но не даюг оценки степени близости испытывавшихся значений обобщенных параметров к истинным. В этом случае следует пользоваться оценками для погрешности идентификации, которые приводятся в третьей и четвертой главах книги при изложении прибли женных методов решения уравнений идентификации.
Конкретизируем приведенную выше постановку для некото рых частных случаев идентификации.
1. Допустим, что измерение входного воздействия произво дится точно; неучтенное возмущение п в системе отсутствует, а параметры w уже определены.
ГЛАВА II |
70 |
|
Найдем из уравнения (2.1) выходной сигнал модели р. Мо дель считается адекватной объекту, если гипотеза об условной плотности вероятности случайной функции у
p{y/v,n2) =p {yl x, w, пг)
истинна при использовании статистики {р, у).
Например, если y — v + n2, причем п2— нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием, то следует ис
пользовать критерий Стьюдента |
[2.36] для |
проверки |
гипотезы |
|
о том, что случайная величина |
у — р имеет |
нулевое |
математи |
|
ческое ожидание. |
|
|
|
|
2. |
Более существенные результаты удается получить, если |
|||
известна точная математическая модель системы F[x, р, 2 , со]=0,
где F — известный оператор;
со — новый неизвестный вектор обобщенных параметров. Допустим, что выполняется условие
F[x, р, 2 , <й] ш=И)= Л [х, р, z, w],
причем обобщенные параметры w уже определены. Модель (2.1) считаем адекватной объекту, если в результате допол нительных измерений установлена истинн<?сть гипотезы
J [ x , p , g , w ] = inf; J[x,p,g, со];
соеЕ
со
Г[х, р, z, со] =0.
Например, если истинное уравнение и проверяемая модель разрешены относительно выходного сигнала, а функционал по терь дифференцируем по Фреше, то проверяемая гипотеза запи сывается в виде
gradMJ[x,F[x, со], у, со] |ffl=№= 0 . |
(2.32) |
Здесь оператор F описывает уравнение системы
p = F[x,a].
Предлагаемый способ является особенно удобным при ис следовании систем, приводимых к линейным, и функционале потерь типа среднеквадратической ошибки. В этом случае
p = F[x](i)
и вместо уравнения (2.32) получаем задачу проверки гипотезы равенства нулю математического ожидания функции
F*[x] {у—F|>]a>) |ш=ш |
(2.33) |
на основании статистики {х, у}.