книги из ГПНТБ / Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем

41 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

огрэничённый оператор А& и элемент у такие, что \\А—ЛвИ^б

ляющий минимум функционалу (1.35); хап — минимизирующая последовательность для этого функционала;

Фа[Хап, У] ->Фа[Ха, у] при я->оо.

Особенно эффективным является метод регуляризации при решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода. В этом случае мы считаем, что + = L2, a H = L2<-n+i'>— гильбер­ тово пространство функций, имеющих непрерывные произволь­ ные до порядка я включительно и производные порядка (я +1), принадлежащие пространству Ь2. Подобная регуляризация на­ зывается регуляризацией (я+1)-го порядка и обеспечивает од­

новременно равномерную сходимость производных до я-го по­ рядка включительно [1.30].

где А — известный оператор,

х— я-мерная вектор-функция входов модели,

р— m-мерная вектор-функция выходных координат мо­ дели,

z — /-мерная вектор-функция переменных состояния мо­ дели,

w — ^-мерная вектор-функция неизвестных обобщенных параметров (функциональный параметр)*.

Введя обозначения:

Р, Z, W, X — банаховы пространства,

ЕР, Ez, Ew, Ех — некоторые множества в пространствах Р, Z, W, X соответственно, будем считать, что оператор А имеет область определения D (A) —Ex XEw и область значений R (А) = = EPXEZ, а уравнение (2.1) при любых x e £ i и w ^ E w имеет решение {р, z } ^ E Px E z.

Следовательно, в результате априорного исследования сис­ темы оператор ее модели (2.1) выбирается известным, но за­ висящим от некоторых априори неизвестных функциональных (обобщенных) параметров.

Определение 2.1. Динамическая система, описываемая опе­ раторным уравнением (2.1) и удовлетворяющая приведенным выше условиям разрешимости, называется системой с известной структурой.

В качестве примеров подобных систем, укажем, во-первых, на мно­ гомерные линейные непрерывные системы, для описания которых исполь­ зуется либо интегральное уравнение [2.25], либо система дифференциальных уравнений [2.15]. При этом в качестве неизвестных обобщенных параметров можно рассматривать матрицу импульсных переходных функций или матрицы коэффициентов дифференциальных уравнений**. Во-вторых, широкий класс нелинейных систем описывается функциональным рядом Вольтерра [2.35]. В этом случае в уравнении (2.!) в качестве обобщенных параметров фигу­ рирует блочный вектор, составленный из ядер интегральных операторов ряда Вольтерра.

Таким образом, достаточно общим выражением для функ­ ционального параметра является блочная матрица-функция

wT= [wiT.......Whr],

где индекс «Г» обозначает операцию транспонирования.

* В формуле (2.1) и последующих для упрощения записи не указана за­ висимость оператора и входящих в него функций от времени и других аргу­ ментов, например, пространственных для систем с распределенными пара­ метрами.

** С незначительными изменениями это утверждение распространяется и на дискретные системы и на линейные системы с распределенными пара­ метрами.

Матрицы Wi зависят от векторных аргументов ti и п, вклю­ чающих временные и пространственные компоненты. При этом интегрирование (в случае непрерывных систем) или суммиро­

вание (в случае дискретных систем) ведется по аргументу и, а элементы Шг таковы, что удовлетворяют требованиям физичес­ кой реализуемости [2.30]: в том случае, когда хотя бы один

из временных аргументов переменной п превышает временной аргумент переменной ti, имеет место тождество

Wi = Wi(ti, т,) = 0 .

Выбор модели (2.1) представляет весьма сложную задачу. В настоящее время не существует достаточно общих методов обо­ снования того или иного типа модели априори. Обычно этот этап процесса идентификации осуществляется эвристически с учетом как имеющейся информации о системе, так и того, какие цели преследует идентификация, где будет использована полу­ ченная модель системы. Выбор оператора зависит также от экс­ периментов, которые могут быть осуществлены в исследуемой системе, от их стоимости и длительности.

Таким образом, задача идентификации системы после вы­ бора ее модели сводится к нахождению ядра оператора А, рас­ сматриваемого как оператор с областью определения Ew. Для этого осуществляются второй и третий этапы процесса иденти­ фикации.

Сущность второго этапа состоит в том, что в исследуемой системе проводятся эксперименты, состоящие в измерении век­ тора ее входных сигналов и и соответствующего вектора выход­ ных сигналов V.

В общем случае процессы измерения описываются оператор­ ными уравнениями:

Ui= Bi[u, п4];

Vi=^B2[v, п2],

где Ви В2 — соответственно известные операторы устройств измерения входных воздействий и выходных реакций;

П\, п2 — помехи измерений;

щ, V\ — измеренные значения входного и выходного сиг­ налов.

Затем сигналы щ и щ подвергаются обработке с целью фильтрации помех пх и п2, а также действующих в системе неучтенных возмущений я. Полученный в результате фильтрации сигнала и\ сигнал х является входным воздействием для мо­ дели, а отфильтрованная величина у сигнала щ используется

впоследствии для сравнения с выходным сигналом модели. По­ этому система измерений в целом должна удовлетворять следу­ ющему требованию:

1|П| -М>

N

где К•|— норма в соответствующем функциональном простран­ стве.

В выражениях (2.2) принято, что пространства X и U, Y и V совпадают.

Физически требование (2.2) означает, что при отсутствии помех должно иметь место точное определение искомых вели­ чин. Отсюда на основании известных свойств нормы [1.11] следует, что при малых по норме помехах ошибка измерения также мала, т. е. для любого положительного числа е найдется такое положительное число 6= 6(е), что при

max {HfiilU,, ||n2||jv2, ||filljv} =s£S

выполняется условие

В тех случаях, когда фильтрация не может эффективно осу­ ществиться вследствие недостаточности информации о помехах, возможно применение рекуррентного алгоритма [2.41], состоя­ щего в многократном уточнении результатов фильтрации на ос­ нове результатов решения задачи идентификации на предыду­ щем шаге.

З а м е ч а н и е 2.1. Рассмотренные выше функциональные пространства в общем случае являются пространствами векторных случайных функций, но для простоты записи мы это явно не указывали.

Допустим, что процесс измерения осуществляется много­ кратно, т. е. нам известны результаты r-кратного ( l^ r ^ o o )

правки;

ГЛАВА II

46

в) после каждого измерения система возвращается в началь­ ное состояние;

г) поведение исследуемой системы одинаково для всех на­ блюдений.

Физически эти требования сводятся к возможности осущест­ вления многократного (теоретически бесконечного) наблюдения

цесс измерений и обеспечивающие практическую возможность идентификации.

Обозначим совокупность всех полученных при эксперименте пар вход-выход через {х, у}. Подставив эти значения в уравне­ ние (2.1), получим для фиксированного w определенные значе­ ния блочных векторов р иг .

Третий этап процесса идентификации состоит в определе­ нии функционального параметра w на основании полученных экспериментальных данных о системе и является в процессе идентификации наиболее важным, если форма уравнений, определяющих поведение системы, известна априори. Методы определения обобщенных параметров рассматривались многими авторами применительно к конкретным типам систем [2.13, 2.21, 2.31] и обычно сводились к нахождению оптимальных величин параметров, доставляющих экстремум некоторому функционалу потерь.

Вопрос выбора этого функционала, .как и в других задачах теории управления, не является тривиальным, однако в задаче идентификации основное требование, предъявляемое к функцио­ налу потерь, состоит в том, чтобы для экстремального значения

хе=Ех (и,%).

Здесь | — сколь угодно малое положительное число;

Ех(и, l ) = E x [\E{u, I);

область Е(и,\) определяется неравенствами (2.3) при е= е(£).

Отметим следующее явление. Чем проще вид вектора обоб­ щенных параметров, т. е. чем больше объем априорной инфор­ мации, тем меньше требуется экспериментальной информации для определения w и тем проще может быть функционал потерь. С другой стороны, если модель выбрана слишком простой и не адекватна реальной структуре системы, то по мере роста объ­ ема экспериментальной информации минимальное значение

функционала потерь (в случае экстремума-минимума) будет расти весьма быстро, что может рассматриваться как один из признаков неадекватности модели и системы. Если же априор­ ная структура сложна, а экспериментальных данных недоста­ точно, то часто имеет место неоднозначность решения задачи идентификации.

Эти эвристические соображения позволяют менее критически подходить к задаче выбора функционала потерь и в большин­ стве случаев ограничиваться функционалом среднеквадратичес­

кой ошибки, видоизмененным в соответствии с сущностью за­ дачи.

Итак, пусть выбран некоторый функционал потерь

который предполагается неотрицательным в области

Е—X Е—X Е—х Е .

х р^ к '4 w

Рассматриваемые обычно в задачах идентификации функцио­ налы зависят в явном виде только от у и р [2.13,2.26]. Исполь­ зование более общего функционала (2.5) имеет смысл по сле­ дующим причинам:

а) часто удается выделить некоторую совокупность входных воздействий (режимы, определяемые экономическими факто­ рами, критические, аварийные и т. п.), для которой к точности идентификации предъявляются особые требования;

б) зависимость функционала от искомых обобщенных па­ раметров вытекает из таких требований, как простота, устой­ чивость и целесообразность модели, корректность вычислитель­ ных алгоритмов;

в) задание уравнения модели (2.1) в виде, не разрешенном относительно вектора р, что часто имеет место на практике, за­ трудняет формирование функционала в виде зависимости только от у и р.

Теперь мы можем сформулировать третий этап процесса идентификации следующим образом: определить значения обоб­ щенных параметров, доставляющих функционалу (2.5) нижнюю грань в области Ew при связи (2.1).

Определение 2.2. Уравнением идентификации называется операторное уравнение, которое получается в результате иссле­ дования сформулированной вариационной задачи третьего этапа идентификации.

Специфика задач идентификации состоит в том, что ограни­ чения на функциональный параметр обычно отсутствуют. По­ этому уравнения идентификации, как правило, удается запи­ сать в явном виде, что позволяет находить решение при

помощи хорошо разработанных алгоритмов приближенного ре­ шения операторных уравнений [1.12, 1.27].

Решение в общем виде получается в виде функционального уравнения w = w[x, у], связывающего вектор оптимальных па­ раметров с имеющейся экспериментальной информацией.

В ряде случаев с вычислительной точки зрения оказывается более выгодным построение минимизирующей последователь­ ности для решаемой вариационной задачи вместо непосредст­ венного решения уравнения идентификации. В такой ситуации оправданным является применение методов классического ва­ риационного исчисления [2.3] либо метода случайного поиска [2.27] в пространстве обобщенных параметров. Если к тому же множество Ew не совпадает со всем пространством W (напри­ мер, вследствие требования устойчивости модели или коррект­ ности получаемого решения), то для решения задачи иденти­ фикации следует применять аппарат теории оптимального уп­ равления [2.16, 2.24, 2.34], развитый применительно к много­ мерным задачам с ограничениями.

Рассмотрим четвертый этап процесса идентификации, со­ стоящий в проверке степени адекватности построенной модели и идентифицируемой системы. Исследование этого вопроса осо­ бенно важно в том случае, когда априори не удается устано­ вить точную структуру уравнений, описывающих поведение си­ стемы, вследствие чего структура модели выбирается достаточно произвольно. Информация же о степени (близости процессов, описываемых моделью, к реально существующим явлениям недостаточна.

К сожалению, в настоящее время не имеется достаточно об­ щих методов решения этой задачи. Некоторые результаты, отно­ сящиеся к частным классам систем и входных сигналов, при­ ведены в работах [2.4, 2.18, 2.32, 2.40]. В настоящей работе ис­ пользуется два подхода к исследований этого вопроса:

а) построение оценок для погрешности определения обоб­ щенных параметров;

б) применение методов проверки статистических гипотез. Первый подход связан с понятием задачи идентификации

как некорректной задачи и используется для исследования ус­ тойчивости решения. Второй подход позволяет получить доста­ точно общие результаты для широкого класса систем, но, как и все статистические методы, требует большого объема вычис­ лений.

Заметим, что описанный в данном параграфе процесс иден­ тификации предполагает применение аналитических методов для нахождения оценок функционального параметра. При ис­ следовании стационарных систем часто удается осуществлять второй и третий этапы процесса идентификации одновременно,