книги из ГПНТБ / Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем

сходимости эквивалентны. Однако, если пространство бесконеч­ номерно, то мы можем лишь утверждать, что любая сильно схо­ дящаяся последовательность сходится и слабо. Обратное утвер­ ждение имеет место лишь в некоторых бесконечномерных про­ странствах.

Слабая сходимость используется при построении приближен­ ных решений некорректно поставленных задач, что связано со следующим определением.

Определение 1.25. Множество Т в линейном нормированном пространстве Е называется слабо компактным, если из любой бесконечной последовательности элементов х\ ,. . ., хп , . .. этого множества можно выделить слабо сходящуюся подпоследова­ тельность Хщ , . . ., xnk .

Теорема 1.1 [1.13]. Если линейное нормированное простран­ ство сепарабельно, то любой шар в сопряженном пространстве Е* слабо компактен.

Таким образом, из теоремы следует, что построение слабо компактных множеств в сепарабельных пространствах может быть осуществлено элементарными методами.

Пространство Е* является банаховым пространством, следо­ вательно, можно ввести понятие пространства (£*)*, сопряжен­ ного к Е*.

Определение 1.26. Банахово пространство В называется реф­ лексивным, если оно совпадает с пространством (В*)*.

Конечномерное пространство, а также пространства 1Р, Lp(a,b) при р > 1 и все гильбертовы пространства рефлексивны. В гильбертовом пространстве понятие слабой сходимости фор­ мулируется особенно просто.

Последовательность элементов {xn}cz Н слабо сходится к элементу х е Я , если (хп, г/)->(х, у) для любого i/е Я . Отсюда и из рефлексивности гильбертова пространства вытекает, что из любого ограниченного по норме множества элементов простран­ ства Н можно выделить слабо сходящуюся последовательность.

Ниже, по аналогии с гильбертовым пространством, мы будем пользоваться обозначением < х , /> для значения линейного функционала f<=E* на элементе х е £ .

1.4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ1

Определение 1.27. Если каждому элементу х множества D про­ странства X поставлен в соответствие некоторый элемент у = А х из пространства У, то говорят, что на D задан оператор А со значением в У. Множество D ( A ) = D называется областью опре-

1 Излагается по работам [1.1, 1.9, 1.18, 1.28, 1.37].

4) ортопроектор PL конечномерен и вполне непрерывен, если подпространство L конечномерно. Если пространство L беско­ нечномерно, то соответствующий ему ортопроектор не вполне непрерывен.

Отметим, что в банаховом пространстве можно также ввести понятие оператора проектирования на некоторое подпростран­ ство. Однако теорема 1.4 в этом случае не имеет места, поэтому проектирование не является ортогональным.

1.5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ1

Воставшихся параграфах данной главы (если не указано про­ тивное) символом А обозначается линейный оператор, дейст­ вующий из банахова пространства В в банахово пространство С

ется линейным операторным уравнением относительно неизвест­ ного элемента х.

Мы покажем ниже, что подобные уравнения являются основ­ ными при решении задач идентификации различных типов ли­ нейных и нелинейных систем. Приведем основные понятия тео­ рии линейных уравнений, необходимые для дальнейшего изло­ жения.

Определение 1.36. 1) Совокупность всех решений однородного

x^D(A) справедливо неравенство ||х||в^/г||Ах||с, причем число k не зависит от х;

в) везде разрешимым, если R (A) = С;

г) плотно разрешимым, если J?(A) = С ;

д) нормально разрешимым, если /?(А) замкнуто: R(A) =

=ЩА).

Очевидно, что для однозначно-разрешимого уравнения на i?(A) существует обратный оператор А~1. Если уравнение кор­ ректно разрешимо, то его решение непрерывно зависит от сво­

1 Излагается по работам [1.9, 1.16, 1.34, 1.37].

Теорема 1.6 [1.9]. Допустим, что оператор Л является кано­ ническим фредгольмовым в банаховом пространстве В. Тогда 1) уравнение (1.10) разрешимо в том и только в том случае, когда < £ / , / > = 0 для любого (еЛ * и удовлетворяющего сопря­

женному однородному уравнению

с соответствующими изменениями справедлива для произволь­ ных фредгольмовых уравнений. В связи с этим рассмотрим воз­ можности преобразования уравнения (1.10) к каноническому фредгольмову.

Определение 1.39. 1. Линейный ограниченный оператор S, действующий из С в банахово пространство F, называется ле­ вым эквивалентным регуляризатором для оператора А, если оператор 5Л — канонический Фредгольмов, D (S)z^R(A) и N (S) = 0 .

2. Ограниченный линейный оператор V, действующий из ба­ нахова пространства G в В, называется правым эквивалентным регуляризатором для оператора А, если оператор AV — кано­ нический фредгольмов и D(A)c^R(V).

Из этого определения следует, что в результате эквивалент­ ной регуляризации уравнение (1.10) с произвольным операто­ ром может быть преобразовано к эквивалентному каноничес­ кому фредгольмову уравнению. В частности, для фредгольмова оператора (1.13) оператор U является эквивалентным левым

иправым регуляризатором, если R(U) zdD(A) .

Взаключение данного параграфа рассмотрим понятие спек­

тра оператора, которое связано с разрешимостью уравнения

где к — некоторое произвольное число.

Определение 1.40. Число а называется регулярным значе­ нием оператора А, если уравнение (1.15) корректно и плотно разрешимо. Совокупность всех регулярных значений называется резольвентным множеством оператора А, а дополнение к нему на комплексной плоскости — спектром оператора А. Оператор

а

' а

Спектр ограниченного оператора лежит в круге |Я|^||Л|| и всегда не пуст. Радиус наименьшего круга с центром в начале координат, содержащего спектр оператора А, называется спект­ ральным радиусом г (А) оператора А. Справедлива следующая формула [1.371:

г(Л) = Нт У1И||"^М||.

Если |Я|>г(Л), то резольвента представляется сходящимся по норме рядом

в котором итерированные ядра Kj{t*т ) определяются рекуррентными фор­ мулами

1 X x Y называется прямым произведением пространств X и Y и обозна­ чает совокупность всевозможных пар {х, у}, х<=Х, г/еУ.

Определение 1.41. Число X называется собственным значе­ нием оператора А, если однородное уравнение Ах = лх имеет при данном X нетривиальное (отличное от нуля) решение. Это ре­ шение называется собственным элементом оператора А, соот­ ветствующим собственному числу X.

Смысл собственных чисел и собственных элементов стано­ вится особенно ясным, если допустим, что оператор А явля­ ется самосопряженным в гильбертовом пространстве Н.

Определение 1.42. Нижней и верхней границами самосопря­ женного оператора А называются соответственно числа т —

Для нормы самосопряженного оператора справедливо соот­ ношение \\А|= т а х { |от , \М|} =sup |(Ах, х) |.

||Х || = 1

Собственные числа самосопряженного оператора вещест­ венны, а собственные элементы, соответствующие различным собственным числам, взаимно ортогональны. Если самосопря­ женный оператор вполне непрерывен, то его спектр состоит из собственных чисел и точки 0.

1.6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ1

Допустим, что существование и единственность решения урав­ нения (1.10) установлены. После этого основной задачей явля­ ется приближенное в общем случае отыскание элемента х, удовлетворяющего рассматриваемому уравнению. Для этой цели конструируется алгоритм, позволяющий определять по­ следовательность {хп} а В приближенных решений таких, что

limxra = x. Фактически, мы можем найти лишь конечное число

П-^ОО

членов последовательности {х"}. Поэтому кроме исследования сходимости рассматриваемого алгоритма должна быть по­ строена также оценка погрешности ||хп —х||в, позволяющая определить степень близости приближенного решения к точному.

Затем необходимо исследовать устойчивость используемого алгоритма, т. е. влияние на него ошибок вычислений и погреш­ ностей задания оператора А и свободного члена у.

Сформулируем описанный процесс нахождения приближен­ ных решений. В настоящее время разработано большое число

1 Излагается по работам [1.2, 1.20, 1.25, 1.27, 1.37].