книги из ГПНТБ / Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем

К уравнению (5.38) применимы обычные методы численного решения уравнений Фредгольма [1.9, 1.21]. Эти методы рассмот­ рены в третьей н четвертой главах применительно к задаче ре­ шения операторного уравнения идентификации (2.10).

В настоящем параграфе предлагаются простые алгоритмы определения toa(l, 0) из выражения (5.38), использующие спе­ циальный вид ядра N(t,B, т). Допустим, что функции Ni(t,Q, т) являются разложимыми функциями, т. е. на нестационарном от­

где фдДт), ф,7( (1, т) — известные линейно-независимые функции.

Это предположение при решении практических задач обычно выполняется, что позволяет значительно упростить процедуру решения.

Рассмотрим алгоритмы, которые вытекают из разложения

(5.39).

1. Приведение интегрального уравнения (5.38) к эквивалент­ ной системе дифференциальных уравнений.

Перепишем уравнение (5.38) с учетом (5.39)

о

X(t)wa(t, 0 )+ ф 1т (1, 0) J wa(t, x)cpi(f, x)dx-\-

в

Произведем в уравнении (5.40) замену переменных по фор­ мулам

Умножив уравнение (5.40) на блочный вектор ср(^, 0) и пре­ образовав полученное выражение в соответствии с (5.41), при­ ходим к следующей системе дифференциальных уравнений:

Граничные условия для системы (5.42) вытекают из урав­ нений (5.40)

Таким образом, уравнение (5.38) эквивалентно задаче Коши (5.42), (5.43) для системы обыкновенных линейных дифферен­ циальных уравнений, методы решения которой хорошо разра­ ботаны [2.19, 1.21]. После того как решение задачи Коши най­ дено, определяем искомую импульсную переходную функцию по формуле, вытекающей из (5.40), с учетом обозначений (5.41).

З а м е ч а н и е 5.6. Для стационарных систем, идентифицируемых на полубесконечном интервале при стационарном входном воздействии урав­ нение (5.38) принимает вид

а функции Ni(t — x) описываются следующими разложениями:

Л5(г-т)=ф,-Н0фг(т), (г=1 .2 ).

Задачи Коши (5.42), (5.43) в данном случае упрощаются:

^Н(0+Р(0и(0=У(0-

Hi(0) =Ц2(°°) =0.

Диагональные элементы матрицы (3(0 являются постоянными числами, причем

Spp(0 =iv,(0) —лг*(0).

2. Преобразование интегрального уравнения Фредгольма

(5.38) к интегральному уравнению Вольтерра.

Интегральные уравнения типа Вольтерра являются частным случаем интегральных уравнений типа Фредгольма [1.9], по­ этому с вычислительной точки зрения решение первых проще.

Уравнение (5.38) является интегральным уравнением Воль­ терра тогда и только тогда, когда

При этом в предположении о квадратичной суммируемости ядра и свободного члена уравнение (5.38) всегда имеет решение

[1.34] в L2[a(t), б(г')].

Допустим, что условие (5.46) не выполняется. Используя

vT( x ) = J wa(t, x)cf2T(t, x)dr,

a(t)

преобразуем уравнение (5.38) к следующему виду:

X(t)wa(t,Q)-\- J wa(t, т)Ф(/, 6, x ) d x =

a(t)

(5.48)

Мы показали, что интегральное уравнение Фредгольма (5.38) эквивалентно уравнению Вольтерра (5.48), содержащему в пра­ вой части неизвестный вектор v(t).

Кроме того, ядра этих уравнений совпадают, поэтому оказыва­ ется удобным построить резольвенту для ядра Ф(1, 6,т), а за­ тем определить решение уравнений (5.49) при помощи резоль­ вентного ядра по известным формулам [1.34].

Используя принцип суперпозиции, получаем следующее вы­ ражение для решения уравнения (5.48):

тификации (5.38):

1) разрешимо в том и только в том случае, когда матрицы F(t) и [F(t)g(t)} имеют один и тот же ранг;

2) имеет единственное решение, если det К(/) =7^=0 .

185 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Доказательство. Выше показано, что уравнение (5.38) экви­ валентно уравнению (5.48). Решение последнего полностью определяется свойствами системы линейных алгебраических уравнений (5.51). Теорема 5.5, таким образом, является следст­ вием теоремы о разрешимости системы линейных алгебраичес­ ких уравнений и мы предлагаем читателю самому убедиться в правильности ее утверждения.

При выполнении этих предположений вектор tc»2(A0) не за­ висит от аргумента t и определяется обычным уравнением Вольтерра

е

Яда2(0 )+ J* да2(т)Ф(0, %)d% — 1|з2(0 ). ^0

Функция шД/,0) находится по формуле

wi(t,Q)=fS’ (t)w1(Q),

в которой вектор шДО) удовлетворяет уравнению

в

XWi(9)-\- J wt (т)Ф(в, x)dt — /2(0).

3. Решение уравнения (5.38) при помощи преобразования Лапласа.

Допустим, что ядро уравнения (5.38) зависит только от раз­ ности аргументов 0 и т, т. е.

АД/, 0, т)= А Д /, 0 - т ) .

Это предположение выполняется, в частности, если входной сиг­ нал исследуемой системы является стационарным случайным процессом. Примем для удобства изложения, что а (/)= 0 .

Уравнение (5.48) с учетом принятых допущений записыва­ ется в следующем виде:

е

'K{t)wCL(t,Q)-\- J wa(t, т)Ф(^, 0—x)dx—.

(5.52)

В дальнейшем используются следующие обозначения для прямого и обратного преобразований Лапласа:

В тех случаях, когда из контекста ясно, по какой перемен­ ной осуществляется преобразование, индекс 0 будет опускаться. Применив к уравнению (5.52) преобразование Лапласа по ар­ гументу 0 и используя результаты предыдущего пункта, полу­ чаем

’■«‘•«“МпчгнйЬгЬ

(5.53)

Формулы (5.53) представляют явные выражения для реше­ ний уравнений (5.49) в рассматриваемом случае и позволяют значительно упростить вычислительную процедуру. Особенно удобным оказывается использование уравнения Лапласа для решения уравнения Винера—Хопфа (5.45).

Выражение (5.52) при этом представляет интегральное урав­ нение Вольтерра с ядром типа свертки

t

Яша ( 0 + j wa(x) [Nl(t—x) —N2{t—x ) ] d x =

о

(5.54)

VT= j wa(x)q2T (r)dx.

0

Решение уравнения (5.54) определяется следующими фор­ мулами:

Обобщение формул (5.55) на задачу решения многомерного уравнения Винера—Хопфа не представляет затруднений. Мы применили к уравнению (5.54) одностороннее преобразование Лапласа, поэтому выражения (5.55) определяют физически реа­ лизуемую импульсную переходную функцию без осуществления процедуры факторизации матрицы спектральных плотностей. Таким образом, формулы (5.55) описывают эффективный вычис­ лительный алгоритм решения уравнения Винера—Хопфа при условии (5.39).

Предлагаемый метод применим и к уравнению Винера— Хопфа первого рода. В этом случае

Я =0; N ( t ) = R xx(t)-, f ( t ) = R yx(t);

N i ( t ) = N 2 ( — t ) \ < P i(0= 4M f); Фг(0 =-ф1(0-

Для повышения устойчивости получаемого по формулам (5.55) решения используется следующий способ. Элементы век­ тора v находятся из условия равенства нулю тех компонент изображения

==Lvh(5) j2(s)

— [^/(s) —vtL,j,2(s)] [Ljv,(s) —LN2(s) -j-^]-1,

которым соответствуют физически не реализуемые оригиналы, т. е. из условия компенсации полюсов в правой полуплоскости комплексной плоскости, а также компонент, представляющих производные б-функции.

Устойчивость полученного решения по отношению к ограни­ ченным возмущениям в уравнении является следствием зату­ хания найденного решения при t-*-00.

такую же аппроксимацию, что и в примере 5.1. При помощи данного раз­ ложения можно аппроксимировать корреляционные функции стационарных случайных процессов с любой степенью точности [5.11], поэтому последую­

ется изображением импульсной переходной функции физически возможной системы

рис. 13, причем оба графика практически совпадают.

Изложенный метод без существенных изменений применим и для реше­ ния уравнений идентификации многомерных стационарных линейных систем.