книги из ГПНТБ / Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем

нение (5.1) являлось бы уравнением второго рода, и отсутство­ вала бы необходимость применения предлагаемого далее ме­ тода.

Основным методом решения интегральных уравнений пер­ вого рода является метод регуляризации [1.9], сущность кото­ рого состоит в преобразовании исходного уравнения к инте­ гральному уравнению второго рода. Операторы, осуществляю­ щие это преобразование, называются регуляризаторами (ле­ вым, если регуляризатор воздействует на обе части исходного уравнения, и правым, если определяет операцию замены неиз­ вестного). Регуляризатор является эквивалентным [1.16], если исходное и преобразованное уравнения эквивалентны.

Теорема 5.1. Пусть выполняется условие

Тогда уравнение (5.1) допускает левый и правый регуляризаторы, определяемые выражениями (5.5) и (5.6) соответственно, причем правый регуляризатор является эквивалентным при лю­ бом виде правой части уравнения (5.1).

Доказательство. Из (5.2) следует

L(z, Q)dz-\-S (0) - - J — ] = —H (t, 0),

где

dk+iH (z, t )

L(z, t) =

dzh+1

Подставим эти выражения поочередно в уравнение (5.1) и пре­ образуем последнее

= ( - l ) fe+!S(0) J — -w(t, x)dx+

a(t)

оT

если интегральный оператор в левой части вполне непрерывен. Кроме того, все решения уравнения (5.5) являются одновре­ менно и решениями уравнения (5.1). Однако левый регуляри­ затор в общем случае не является эквивалентным, так как его

153 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

нуль-пространство не пусто. Эквивалентность уравнений (5.1) и (5.5) имеет место, если Ryx{t, 0) eZ-2(ft+1) [а(^), &(0L причем

Правый регуляризатор в данном случае является эквивалент­ ным и использует следующее обозначение:

е

^©) = (—l ) ft+1 J ^ - ~ — w(t,x)dx.

a(t)

Подставив это выражение в (5.4), после несложных преобра­ зований получаем регуляризованное справа уравнение иден­ тификации в двух эквивалентных формах

е

ного уравнения формирующего фильтра [5.5].

Применив теоремы о разрешимости интегральных уравнений Фредгольма .[1.9] к уравнению (5.5), получаем следующие до­ статочные условия идентифицируемости в пространстве

L2[a(t), b(t)]:

ьт

точным для регуляризуемости уравнения (5.1). В этом случае уравнение идентификации имеет правый и левый регуляризаторы и может быть преобразовано в уравнение второго рода, реше­ ние которого непрерывно зависит от исходных данных и устой­ чиво по отношению к экспериментальной информации.

Используя полученные результаты, запишем выражение для регуляризованного слева и справа уравнения Винера—Хопфа

Для стационарных случайных процессов с дробно-рацио­ нальной спектральной плотностью это условие всегда выполня­ ется, так как для подобных процессов всегда существует фор­ мирующий фильтр [5.9].

Теорема 5.2. Уравнение Винера—Хопфа первого рода (5.7) в случае входного сигнала с дробно-рациональной спектраль­ ной плотностью всегда допускает правый и левый регуляриза­ торы, приводящие уравнение (5.7) к уравнениям Винера—Хопфа второго рода

5 а » ( 0 + J w(x)Rxx(k+D(t-x)dx=RyX^+lHt)-

О

(5.8)

j v(x)Rxx(h+»(t—x)dx = Ryx{t).

о

Доказательство. Условие (5.2) выполнено. Поэтому доказы­ ваемая теорема является следствием теоремы (5.1). Формулы (5.8) вытекают из (5.5) и (5.6) с учетом того, что

157ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

анорму в пространстве WL вида

Ь«)

кции. При таком выборе сглаживающего оператора получим интегродифференциальное уравнение (2.13) с краевыми усло­ виями (2.14).

Решение уравнения (2.13) устойчиво [1.30] и при специаль­ ном выборе параметра a(t) в зависимости от погрешности экспериментальных данных имеет место равномерная сходи­ мость решения уравнения (2.13) и его производных до порядка

явключительно к искомой импульсной переходной функции и

еепроизводным.

Втом случае, когда известны порядки правой и левой час­ тей дифференциального уравнения исследуемой системы, поря­ док гладкости регуляризующего алгоритма следует определять на основании известных свойств производных импульсной пере­ ходной функции [5.5].

Функции Ki(t, т) выбираются произвольно, например,

Ki(t, x ) = K i > 0 .

Для выбора параметра регуляризации а(/) в работе [1.32] предложен эвристический алгоритм, основанный на многократ­ ном решении уравнения (2.13). В статье [1.22] для решения этого вопроса применяется принцип невязки, который позво­ ляет привести в соответствие точность задания правой части и оператора решаемого уравнения с точностью решения. Неудоб­ ством при использовании этого метода является необходимость значительной информации о погрешностях задания.

Покажем, что в задаче идентификации для выбора a (t) удобно применять статистические критерии проверки гипотез.

зависят от эксперимента, использованного при построении урав­ нения (2.13), причем процесс измерения описывается уравне­ ниями (2.8).

Введем в рассмотрение случайные функции

Тогда для выбора величины а(/) можно предложить следующие алгоритмы:

1) детерминированный — <х(/) = ат (/), где

2) статистические. Они сложнее с вычислительной точки зре­ ния, но эффективнее в смысле точности решения. При этом вы­ бирается такое значение a (i ) = a m(t), для которого при исполь­ зовании статистики {х, у} справедлива одна из следующих ги­ потез:

* Эта гипотеза вытекает из предложенного в § 2.5 алгоритма проверки истинности построенной модели, если в качестве минимизируемого функцио­ нала выбрать функционал среднеквадратической ошибки, а в качестве точ­ ного решения уравнения системы — отрезок ряда Вольтерра, содержащий /> 1 членов.