книги из ГПНТБ / Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем

Быстрая сходимость последовательных приближений (рис. 10) указывает на эффективность использования итерационных методов для решения за­ дачи идентификации.

В заключение данного параграфа получим оценку погреш­ ности алгоритма (4.6), позволяющую просто оценивать точность решения на каждом шаге итерации. Допустим, что известны оценки для норм последовательностей операторов {ЛД и {ВД:

Используя условие 1 тео­ ремы 4.2, получим, что для сходимости процесса (4.6) достаточно, чтобы

П

125 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Таким образом, сходимость реального итерационного про­ цесса существенным образом зависит от погрешностей вычисле­ ний, причем в том случае, когда одна из последовательностей {Dn} или {£ „} не удовлетворяет условиям теоремы 4.3, ите­ рационный процесс (4.17) становится неустойчивым в том смысле, что результаты вычислений могут сколь угодно отли­ чаться от искомого точного решения. Для более подробного анализа этого явления допустим, что все операторы и элементы, входящие в (4.17), ограничены по норме известными величи­ нами:

Используя введенные обозначения, получим условия устойчи­ вости и сходимости итерационного процесса (4.17), удобные при практическом анализе.

Теорема 4.4. Пусть числовые последовательности {ба,}, {бс,} и {6г} таковы, что

Пусть, кроме того, ограниченный оператор Cj выбирается таким образом, что, начиная с некоторого номера i0,

c ^ q < 1, (t> t0).

Тогда возмущенный итерационный процесс (4.17) сходится к решению уравнения (4.18), если выполнены условия 1—3 тео­ ремы 4.3.

Доказательство. Из формулы (4.19) следует, что

\ип—и (бйй+бСй) ||u||-j-

выполнении условия п ^ т = max {/, i0} имеет место соотношение

Oi + 6ans5<7+ 8<l.

Используя полученные результаты, легко показать, что

П

+е X, (<7+s)"~fe< (q + e)n-mdm+lQ~^+E)”..m] .

ft=m+1 l - q —г

Отсюда вследствие произвольности e и ограниченности dm по­ лучаем, что

lim dn — 0.

n->oo

Аналогичным образом находим, что второй член неравенства (4.21) также стремится к нулю при п—>-оо. Теорема доказана.

Следовательно, мы показали, что итерационный метод ре­ шения линейных операторных уравнений в гильбертовом про­ странстве обладает свойством компенсации линейных ошибок вычислений, если последние сходятся к нулю по норме при возрастании номера итерации.

В ряде случаев оказывается сложным проверить выполнение условия (4.20) или последнее вовсе не имеет места. В подоб­ ных ситуациях обычно считают, что погрешности вычислений ограничены по норме некоторыми числами, не зависящими от номера шага, т. е.

Используя (4.19), получаем для рассматриваемого случая сле­ дующую оценку погрешности:

ПП

\\ип—и\\<^ L П (с<+6а)[(6а+6с)||и|1+6). (4.23)

k=0 1

Теорема 4.5. Допустим, что выполнены условия 1—3 тео­ ремы 4.3 и неравенства (4.22). Тогда итерационный процесс

(4.17) устойчив по отношению к погрешностям вычислений, если для всех i ^ m выполняется соотношение

C i^q<.\—Ьа.

Доказательство. Считая для простоты записи т —1 и исполь­ зуя формулу (4.23), находим

При неограниченном увеличении п получаем из (4.24) соотно­ шение, доказывающее теорему

Используя методику получения выражения (4.15), приходим к следующей оценке для погрешности итерационного процесса

~Ь (6Cn-j-6fln) ||ц™ 1 П—бг;.

Рассмотрим в заключение данного параграфа вопросы схо­ димости и устойчивости полученного при помощи итерацион­ ного метода приближенного решения регуляризованного урав­ нения идентификации к точному решению задачи.

Теорема 4.6. Допустим, что в качестве уравнения (4.18) рас­ сматривается возмущенное регуляризованное уравнение иденти­ фикации (3.55). Тогда итерационный процесс (4.17) устойчив по отношению к погрешностям вычислений и возмущениям точ­ ного уравнения (3.8) и при специальном выборе значения пара­ метра регуляризации а сходится к решению уравнения (3.8), если 1) пг+оо, 2) возмущения и погрешности вычислений по норме стремятся к 0; 3) выполнены условия одной из теорем

4.3, 4.4 или 4.5.

Доказательство. Воспользуемся неравенством (3.56), которое

* В связи с тем что рассматривается регуляризованное уравнение иден­ тификации, мы добавили индекс а в обозначения переменных.

Пусть для определенности выполнены условия теоремы 4.4. Используя выражение (4.24) для оценки первого члена нера­ венства (4.25), выражение (3.59) для оценки второго члена и пользуясь методом доказательства теоремы 3.3, приходим к утверждению настоящей теоремы.

Полученный результат показывает, что метод последователь­ ных приближений в сочетании с методом регуляризации позво­ ляет строить устойчивые приближенные алгоритмы решения задачи идентификации.

Мы не будем исследовать другие условия сходимости и устойчивости итерационных процессов, так как, во-первых, рас­ смотренные выше случаи охватывают широкий круг задач, а, во-вторых, практически возможно осуществление лишь конеч­ ного числа итераций. Поэтому весьма важными являются пред­ лагаемые ниже задачи построения оценок погрешности в случае конечности процесса последовательных приближений и выбора рационального числа шагов.

4.3.ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ

МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА ИТЕРАЦИЙ

Получим выражение для оценки погрешности итерационного процесса в зависимости от числа итераций п. С этой целью преобразуем формулу (4.17), исключив из нее результаты про­ межуточных вычислений.

ип = С п и п ~ ^ - \ - В п Н - \ - А А п и п ~ ^ -\ -А п = =

—(Сп-\~AAn) (Сп—1+ДЛ„—i) ип~2-\- [ (Сп-\-ААп) Bn—i-\-Bn\h-\-

Допустим, что нормы возмущений и ошибок вычислений малы в том смысле, что в выражении (4.26) можно пренебречь произведениями операторов погрешностей и величинами воз­ действий этих операторов на сами погрешности. Легко показать, что имеют место следующие соотношения:

Сп= 1 Вп (7^—|—Д/?) АСп= Ап-\-АСп—BnAR\

пп

X П а&»./■

h—0 г=А+1

Преобразуя выражение (4.26) с учетом этих формул и пред­ положения о малости норм возмущений, получаем

где

Ет= ДЛГ-j-ACr—BrAR.

Подставив в построенное соотношение выражение для шп из формулы (4.9) и обозначив

П

sn= Д ай | | £ г 1 К е г ; | | / | | ^ ф ;

2=0

l|Af||<6cp; |МК<о,

после несложных выкладок получаем искомую оценку погреш­ ности

М ф + 6 ь + 6 йф ^

Формула (4.28) позволяет рассчитать рациональное число итераций щ из условия

пi = min gi(ti).

п—1,2,...

Допустим, что выполнены следующие условия:

В этом случае оценка (4.18) записывается в более простом виде

9 — 2733