Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

I l l		ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ
кции	y{ t) + n 2(t)			в	точках		ti = 0,5i
(i= l,8	)	при п = 2, 3,			4	в том	случае,
когда координатные функции явля
ются	затухающими					экспонентами
cp;(0 = c^ °'5i' j			(t= 1,4).
На		рис.	8	построены			графики
функций		w0n(t)		(п= 1,4), коэффици
енты которых являются одним из
возможных			решений			неравенств
(3.70), и точной импульсной переход
ной функции. Рассчитанные кривые
хорошо воспроизводят искомую фун
кцию,	причем		функции			w0n(t), по Рис . 7. Точный и измеренный вы
строенные для				различных значений				ходные сигналы (пример 3.5).

коэффициентов			w,n из доверительной

области Ш, меняются незначительно, что говорит об устойчивости предложенного метода.

Разобьем теперь отрезок [0,4] на части и воспользуемся методом обоб щенной кусочно-постоянной аппроксимации на каждом из составляющих от

резков [t—1 , (]	(г =	1 ,4), считая	функцию ф,‘ Р) Для	всех частей равной
te-f. Полученные	по	формулам	(3.72) доверительные	интервалы использо

ваны для построения доверительной области для искомой импульсной пере ходной функции. На рис. 8 границы доверительной области изображены штрих-пунктирной линией. Таким образом, результаты примера подтверж дают возможность решения задачи идентификации при помощи предложен ного метода.

Мы изложили алгоритмы построения доверительной области Рассмотрим способы выбора какого-либо элемента из этой области в качестве точечной оценки функционального пара

метра*.

1. Из системы неравенств (3.70) следует, что существует век тор о, для которого

Fnwn —	\
\|ст\|^б.	(3.73)
\|ст\|^б.	J

В качестве точечной оценки wn примем решение задачи квадратичного программирования

min (у—Fnwn) T(y—Fnwn)

(3-74)

слинейными ограничениями (3.73). Несложно показать, что в процессе решения задачи (3.73), (3.74) определяется значение вектора wn, совпадающее с полученным по методу наименьших

Индекс г в оставшейся части параграфа для простоты записи опускаем.

ГЛАВА III

112

квадратов. Однако в первом случае не требуется решать плохо

обусловленную систему уравнений метода наименьших квадра тов.

2. Часто в качестве точечной оценки вектора wn оказывается удобным выбирать элемент с минимальной нормой из области №. При этом требуется решить с учетом уравнений связи (3.73) задачу квадратичного программирования

min ((фп) тшя, ((pn) Twn) = min		(wn) TDnwn,	(3.75)
w "c W	wnczW
где /)« = Г dn ■■■din I	— матрица Грама системы элемен-
ldm ■■■dnnJ	t o b фь .. .	, фи ; da= (ф ;,	<p3- ) .

Считая координатную систему линейно-независимой и вводя дополнительные неизвестные [3.24], получим после несложных

преобразований решение задачи (3.75)			в следующем			виде:
	w n =	(£)n)-i(/Tn)TG ^_\|_6 sin V ) .
	cos ViG (y-j-8 sin v) = 0 ,		(7=1, r),				(3.76)
где
		6 sin v = [6i sin Vi ... 6r sin vr] T\
			' g n	■ ■ ■g l r
		G— '
			g r l	■ ■ . g r r
		=	[Fn(Dn)-l(Fn) T]~t..
		Решение системы (3.76) ми
		нимизирует функционал					(3.75)
		при ограничениях (3.73),					если
		на этом решении			положительно
		определена матрица
			h i ■	•	l\r
		L =
			lr 1•	• Irr
		g i i W	COS* V	i -	^	g i } { y } +
Рис . 8 . Решения	задачи	идентифи					i— k\
кации (пример 3 .5	.).	+ 6 j sin Vj)8i sin Vi,					i— k\

113 ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

т. е. если положительно определена вторая вариация функцио нала (3.75).

Если |г/|>б, т. е. абсолютные величины реализаций выход ного сигнала превышают оценку помехи, то решение с мини мальной нормой находится на границе области W и определя ется первым из соотношений (3.76) и условиями

	sin Wi= ± l ;
	sin Vi 2_\| gij(«/H -6jSinyj)<0.	( i = l , r ) .
	j=t
3.	Для упрощения вычислений	построение приближенной

точечной оценки w0n функционального параметра wQможно осу ществлять при помощи метода погружений (3.24]. С этой целью вводим функционал

Vv[w] = V0[w] + ~	ViVS\i
где
У0[ш ]= ^ 4	( y — A [ X i ] w ) z;
i—1
Vzi-i[w] = y i—bi—A [хг]ш ^0;			(3.78)
V2i [ w ] = —yi--bi+A[Xi\w^0,		(t = l, r);

1(x) — единичная функция.

В работе [3.24] показано, что при выполнении условия

4	------
— V0[w*],	(t= l,2 r; q i > 0) ■

на некотором w*<=W и удовлетворяющем условиям (3.78), эле мент wy, минимизирующий функционал (3.77), характеризуется следующими неравенствами:

Eo[o)v] ^ inf Vo[w]\

w<=W

(t — l,2r).

8 — 2733

ГЛАВА III	114

Выбрав для простоты записи v = maxv,, получаем следующее

Ki'<2r

уравнение для определения wv:

У , A * { X i \ {4 ( у ~ А [Xi ] W v ) + V ( — 2 б г + I y — di —

*i—i

A [Xi] Wv|-j- |yi-j-&i—A [Xi] wv|)} = 0 .

Для решения этого уравнения удобно использовать методы последовательных приближений.

4. В качестве точечной оценки вектора wn в ряде случаев можно выбрать центр тяжести доверительной области W. Этот способ исследован в работе [3.19] применительно к задаче

Задэ—Рагаццини, поэтому на нем мы останавливаться не бу дем.

Г Л А В А IV

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Характерным для проекционных методов является то, что отыскание последующего приближения в общем случае не использует результатов предыдущих приближений. Поэтому обычно отыскивается лишь одно приближенное решение, по грешность которого затем подвергается апостериорному ана лизу.

В данной главе исследуются алгоритмы решения задачи идентификации при помощи метода последовательных прибли жений. Итерационные методы в отличие от проекционных существенно используют найденные »а предыдущих шагах приближения к искомому решению для построения следую щего более точного приближения. Область применения мето дов последовательных приближений весьма обширна — от не посредственного решения уравнений идентификации и миними зации функционалов потерь до определения значений коэф фициентов проекционных разложений из соответствующих конечномерных уравнений.

4.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА

Рассмотрим уравнение идентификации (2.10). Преобразуя его при помощи левого эквивалентного регуляризатора к каноничес кому фредгольмову уравнению и применяя алгоритм (1.20), по лучаем простейший вариант метода последовательных прибли жений для определения решения уравнения идентификации

wan—	RoWan~1)',	(4.1)
wa° = (aRi)-'!,	(n = 1 ,2 ,...),

где wan — значение функционального параметра на п-м шаге итерации.

Теорема 4.1. Допустим, что оператор Ri^Ro действует в ба наховом пространстве W и удовлетворяет условию ||£?i-1#oll<a.

Тогда процесс последовательных приближений (4.1)	при любом
f^ F сильно сходится к решению wa уравнения	(2.10) при
П—VOо.

ГЛАВА IV

116

Доказательство. Для спектрального радиуса оператора

Rr'Ro	получаем следующую оценку:
-----------

i ^ ~	)		p(Ri lRo)	WRr'RoW	< 1.
		/	a	a
a

Поэтому утверждение теоремы вытекает из условий сходимости итерационного процесса (1.20).

Пример 4.1. Рассмотрим	регуляризованное уравнение	Винера—Хопфа
для системы с конечной памятью [2.33] :
т
aw, ,(t)+ I" ш>а (т)	Rxx{t-x)dx=Ryx{t), ( Т < оо).	(4.2)

Легко показать; что из предположения об устойчивости идентифицируе мой системы следует, что wa (t)^Lv {0, Т), т. е.

Jт \wa(t) \vdt<oo, (lsgpgCoo).

Используя известные оценки для норм интегральных операторов, дейст вующих в пространстве Lp(0,T) [1.9], получаем, что итерационный процесс

RVx(t) — jт wan~i(x)Rxx(t—T)dx

wan(0 = --------------			^-------------------------------------			, (« =	1, 2, . . . )	(4.3)
сходится сильно в	пространстве Lq(0,T)			к	решению		wa(t) уравнения	(4.2),
если
г	„	т	, Е___	1	р-	1
/ [ /			, Е___	1	р-	1
/ [ /			Rxx(t —т) \|. р- 1	dx\		dt
0	"-о		т				<a.	(4.4)
	Г	_					<a.	(4.4)
	Г	_
	/ [ / \Rxx(t-x) \|vdt				p -i	dx

Здесь q — любое из значений p, при котором имеет место неравенство (4.4). Пусть, например, RXx(t—т) = е - Р|(~т|. Тогда соотношение (4.4) запи

сывается в следующем виде:

I	2 —expl	р-	1
I	2 —expl
/	рр		dt-
			dt-
Ш1П	р - 1		<а . (4.5)
/	2 — ехр( — §pt) — exp ( — [3рТ)	dt
/	Рр

117	МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Примем, что в уравнении (4.2) Т= 4, а (5=3. Тогда из условия (4.5) следует, что итерационный процесс (4.3) сходится в пространстве Ь2(0,Т) при а>1,29. Из рис. 9 видно, что в данном примере скорость сходимости велика, что объясняется большой величиной параметра а.


Однако				в	общем		случае
сходимость процесса (4.1) мо
жет	оказаться				медленной или
вообще не иметь места. Это
объясняется тем, что на прак
тике значение параметра регу
ляризации а мало, и условие
теоремы 4.1 обычно не выпол
няется.		Поэтому				необходимо
рассмотреть				общий итерацион
ный процесс, сходящийся к ре
шению		уравнения				(2.10)		при
слабых ограничениях на опера
тор	Ra■		Исследуемый					далее
процесс последовательных при
ближений			можно			применять и
к нерегуляризованному								урав
нению идентификации. В связи
с этим в оставшейся части
главы индекс а в обозначениях
оператора и решения уравне
ния (2.10)			опускаем, если при						Р и с.	9. Последовательные прибли
водимые			результаты				справед		жения	и решение уравнения	(4.2)
ливы	одновременно в						регуля-		а = 2 ,	Rjx(t) =2,5 е~‘ —0,25 e~3i	(при
ризованном				и	нерегуляризо-				мер 4.1).

ванном случаях.

Оператор R уравнения идентификации самосопряженный и неотрицательно определенный, поэтому в случае единственности решения уравнения (2.10) и ограниченности оператора R\ зна чение функционального параметра w может быть найдено ме тодом последовательных приближений (теорема 1.7).

Рассмотрим следующий итерационный процесс:
wn= A nwn~l-{-Bnf,	(п = 1 ,2 ,...).	(4.6)
Операторы Ап и Вп в общем случае зависят от номера		шага

и результатов предыдущих вычислений и связаны соотношением

An+ B nR = I .

(4.7)

Без ограничения общности выберем в качестве начального при ближения элемент

w °= B 0f = (/—Ао)В~1! — (/—A0)w,

(4.8)

ГЛАВА IV		118
где w — R-Ц — искомое решение.
Теорема 4.2. Итерационный	процесс (4.6)	в гильбертовом
пространстве сходится по норме к решению		уравнения (2.10),
если:
1) оператор	.. А0 сильно сходится к нулевому

оператору при п—^оо;

2)оператор R ограничен, [[/?|)< оо;

3)уравнение (2.10) имеет единственное решение w = R~1f.

Доказательство. Используя соотношения (4.7) и (4.8), пре образуем формулу (4.6)

wn= A nwn- 1+ B nf = A nwn- 1-ir (I—An)R -1f =
= A nwn- l-\- (I—An) w = A n(wn- 1—w) -f-ш.
Отсюда
wn—w = A n(wn~1—w) —
П
= A n A n-i(w n- 2—w) = . . . = — J J AiW.	(4.9)
г=0

Оценивая погрешность приближенного решения при помощи формулы (4.9), получаем

		П
lim	\\wn—w\\= lim	Ц	A,w\|]=0.
n-*-0Q	n-+oo	i= 0

Теорема доказана.

В зависимости от выбора операторов Ап и Вп процесс (4.6) переходит в один из алгоритмов, описанных в § 1.6.

1. При 5 „ = |3, An= I — $R получим алгоритм метода простой итерации

w n = ( l — ptf)o>n-i+pf,		( ц = 1 , 2 , ... ) ,
сходящийся при 0 < р <	2	положительное число).
	(Р —

2. Определим для функций q (Я) из некоторого класса фун кций Q оператор-функцию q{R) от самосопряженного оператора R при помощи известных соотношений [1.1]. Учитывая, что спектральный радиус самосопряженного оператора совпадает с его нормой [1.1], выберем функцию q*(X)^Q такую, что

p [ I - q ' { R ) R ] = \ \ I - q * ( R ) R \ \ =

= min max |1—^(А)А,|.

119 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Здесь т и М — нижняя и верхняя границы спектра оператора R (т > 0).

Используя найденную функцию q*(K), построим следующий

итерационный процесс:
wn= w n~l+q*{R) (f—Rwn~l),	(n = l, 2 ,... )•	(4.10)
t
Из приведенных рассуждений следует, что процесс (4.10)
является частным случаем процесса	(4.6) при Bn= q* (R), Ап~

= l — q*(R)R и имеет максимальную скорость сходимости среди всех итерационных процессов подобного вида, построенных для функций из класса Q.

В частности, в том случае, когда класс Q состоит из поли номов вида

k - t

q (b )= X dw, i=l

функция q*(X) определяется из теоремы 1.8 при помощи полино мов Чебышева:

2А—М—ш Th( М—т )

А,	т (	м+ т	\	г—0
	к\	М—т	I

Соотношение (4.10) в этом случае принимает удобную форму k-i

wn= wn~i-)- ^ d*iRi(f—Rwn~i) ,				( n = l , 2 , ... ).
Например, при k=\ имеем [1.27]			2	^ > а ПРИ ^= 2 зна
		d*0= ^
чения коэффициентов следующие:
_	8 (М +т)	=	_________ 8_______
0	(m+.M)2+4m.M ’	1	( т + М )2+4тЛ Г
Скорости сходимости этих процессов соответствуют геометри-
			М —т		{М — т)2
ческим прогрессиям со знаменателями—-г~я-------и -—					-— г-;.
F к			М + т (т + М )2 + 4тМ
3. Если в (4.6) примем, что
	(Ra(f—Rwn~l), f—Rw71-!)
	(Ra+1(f—Rwn-1) , f—Rwn_1)
	(n— 1, 2,...;	a^t — 1),

ГЛАВА IV

120

то процесс (4.6) перейдет в один из а-процессов (1.24), сходя щихся с быстротой геометрической прогрессии со знаменателем

М— т

М+ т

4.Отдельно остановимся на возможностях применения ме тода минимальных ошибок' [1.36, 4.18] для решения уравнения идентификации. Допустим, что определен оператор F, удовле творяющий соотношениям

R=F*F; f=F*g,

(4.11)

где элемент g принадлежит банахову пространству G, а опера тор F действует из гильбертова пространства W в простран ство G.

Например, в случае решения нерегуляризованного уравне ния идентификации оператор F легко определяется, если изве стны уравнения формирующего фильтра [2.13, 2.25], а при ис пользовании функционала потерь (2.11) при а = 0 можно пока зать, что

_ A [xi]	У1
;	g =
А [хг]	Уг

Метод минимальных ошибок на основании соотношений

(4.11) записывается в виде
wn= w n~i-	llff- -Fwn~lНо2	(,f—Rwп~1), (п— 1,2,...)
	[\ f- R w n - ^

и оказывается особенно удобным при минимизации нерегуляри зованного функционала (2.11).

Описанные частные случаи представляют собой наиболее

употребительные варианты итерационного				процесса	(4.6),	но
не исчерпывают сферу его возможного применения.
Пример 4.2.	Рассмотрим	нерегуляризованное		интегральное	уравнение
идентификации	стационарной	линейной системы в		переходном	режиме
Jt w(x)RXx{t—х —Q)dr=Ryx(t, 0 ), (O ^ 0				s£^).	(4	.1	2)
о
Пусть в (4.12) #**(0)=е-\|9\|;			Ryx(t, 0) = 2 -6 0 -1 -6 -0 ; t = l.		Выбрав		в
качестве пространства W гильбертово пространство L2 (0 , 1 ), определим норму
интегрального оператора		1	1
		1	1
	£.2(0>1)=	/ /	е—2 ]1 -т —6 \|dxdQ= 0 ,7 5 .3

О0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ