книги из ГПНТБ / Филиппов, Л. И. Основы теории радиоприема дискретных сигналов (синтез и анализ) [монография]

Из последних двух соотношений получаем энергетический спектр фазово-манипулированных колебаний

Энергетический спектр на выходе идеального фильтра получаем по общему правилу, перемножая (3. 37) на квадрат коэффициента передачи фильтра:

У-1

2

Автокорреляционная функция выходного колебания есть об­ ратное преобразование Фурье для (3. 38):

Просуммировав конечную сумму геометрической прогрессии в (3.39), получаем

Нормированная автокорреляционная функция выходного колебания равна

71

Ч а с т ь II

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ РАДИОПРИЕМНИКОВ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

Г л а в а 4

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ РАДИОПРИЕМНИКОВ НА ОСНОВЕ ВРЕМЕННОГО ПОДХОДА

4.1. Вводные замечания. Синтез и анализ

Концепция синтеза оптимальных структур в радиотехнике воз­ никла сравнительно недавно в связи с разработкой общей (или статистической) теории решений В. А. Котельниковым, Н. Вине­ ром, Ф. Вудвортом, А. Вальдом и рядом других ученых.

Понятие «найти оптимальное радиоприемное устройство» озна­ чает определить характер и последовательность операций, кото­ рые необходимо выполнить над входным процессом, т. е. над сово­ купностью сигналов и помех, чтобы обеспечить наименьшую возможную в заданных условиях вероятность ошибок.

В течение первого периода развития радиотехники возникнове­ ние предложений об улучшении качества радиоприемников носило в определенном смысле случайный характер и было связано с усовершенствованием понимания путей осуществления основных операций (усиления, детектирования и др.). Если в процессе этого изучения обнаруживалось несколько возможностей выпол­ нения операции, то путем сопоставления преимуществ и недостат­ ков выбирался лучший вариант. Понимание слова «лучший» но­ сило цри этом часто качественный полуинтуитивный характер. Уверенности в том, что нельзя отыскать еще более совершенный способ при таком подходе, не было.

Лишь с развитием статистического подхода к системе передачи сигналов появилась возможность теоретически отыскать структуру «наилучшего» радиоприемника. При этом термину «наилучший» был придан вполне определенный количественный смысл, основан­ ный на математической концепции критерия. Это направление в радиотехнике получило название синтеза оптимальных прием­ ников.

Теория не может, конечно, указать способ конкретного выпол­ нения той или иной операции, например, перемножения, фильтра­ ции, ограничения и др. Эти действия могут, в частности, выпол­

73

няться при помощи схем аналоговых операций, т. е. схем, состоя­ щих из электронных приборов и линейных элементов. Но они могут выполняться и при помощи цифровых вычислительных ма­ шин после представления входного процесса в цифровой форме и обработки данных по программе. Таким образом, теория син­ теза указывает структуру радиоприемного устройства или про­ грамму математической обработки принимаемых колебаний.

В реальных условиях результаты синтеза обычно не могут рассматриваться как окончательное решение вопроса о способе построения приемника, так как синтез, во-первых, проводится на упрощенных моделях реальных условий работы и, во-вторых, полученная структура оптимального приемника может оказаться весьма сложной и даже физически нереализуемой. Путем незна­ чительной потери качества часто удается существенно упростить устройство приемника. Получаемые структуры при этом являются подоптимальными. Степень цотери качества может быть оценена лишь после сравнительного анализа вероятности ошибок, созда­ ваемых оптимальным и подоптимальным приемниками. Таким об­ разом, математический синтез указывает пути, по которым сле­ дует идти. Совокупность же синтеза с последующим анализом позволяет найти разумный компромисс теории с требованиями практики.

4.2.Математическая формулировка задачи

осинтезе оптимального приемника

1.В дискретной системе связи любое сообщение (например последовательность букв, цифр, фраз — команд и т. д.) передается путем сопоставления каждому сообщению отдельного сигнала или их комбинации из конечного набора М сигналов. В наиболее

широко распространенной бинарной системе связи М —2, так что

тура (форма, спектры) сигналов может быть самой различной. Существен в данном случае тот факт, что на вход приемного устройства может поступить на каждом интервале Таодин из двух (в общем случае М) сигналов, неискаженные формы которых из­ вестны («запасены») в точке приема.

Сигналы s (t, mx), s (t, т2), . . ., s (t, тм) подвергаются иска­ жениям в канале связи, кроме того, к ним добавляются помехи п (t). В итоге, в соответствии с (2. 17) колебание на входе прием­ ника на интервале 0 ^ t ^ Тс, которое будем называть принятой реализацией, представляется как

74

где q равно 1 , 2 , . . Ж, в зависимости того, который иэ сигна­ лов передавался на рассматриваемом интервале \

Задала радиоприемного устройства — решить на основании принятой реализации (4. 1), какой именно из М сигналов содер­ жится в реализации у (t). Из-за налитая помех при вынесении решений неизбежны ошибки, состоящие в «перепутывании» сиг­ налов.

Разные по устройству приемники будут иметь разные вероят­ ности ошибок при приеме сигналов. Приемник, который будет давать наименьшую вероятность ошибок, назовем оптимальным. Возможны и другие критерии оптимальности. Однако мы будем пользоваться указанным. Критерий минимальных ошибок оправ­ дан логически, если мы не имеем основания предполагать,, что опасность последствия принять, например, i-й сигнал за к-й по­ чему-либо больше, чем опасность принять к-й сигнал за i-й.

В дальнейшем мы будем предполагать, что сигналов может быть только два, т. е. будем рассматривать бинарные системы связи. В рамках теории синтеза это, как будет видно, не является существенным ограничением.

2. Аналогично тому, что было отмечено при рассмотрении оценки параметров в § 2.4, наиболее полным описанием резуль­ тата радиоприема бинарных сигналов служит определение апосте­ риорных вероятностей передачи сигналов s (t, тх) и s (t, т2), кото­ рые даются теоремой Байеса. Таким образом, мы будем рассматри­ вать передачи сигналов s (t, тщ) и s (£, m2) как случайные собы­ тия А жВ, происходящие с вероятностями Р (тх) и Р (т2) соот­ ветственно. Появление реализации у (t) также является случай­ ным событием В, которое может произойти совместно с любым из

где А — любое из событий А х или А 2, Р (В) — вероятность появ­ ления события В (реализации у (t)) независимо от того, имело место событие А х или А 2; РА(В) — вероятность события В, если имело место определенное событие А, т. е. А х или А 2 (посылка первого или второго сигналов); Рв (А) — вероятность того, что имело место определенное событие А , т. е. А х или А 2, если из­ вестно событие В (принятая реализация). Эта величина и является апостериорной вероятностью события А.

Так как событие В может произойти совместно с любым из событий А, то

к приемнику. Начало отсчета времени совмещено с моментом прихода сигнала к приемнику. Практически это достигается путем предваритель­ ного поиска момента прихода сигналов.

75

В терминах передачи сигналов из (4. 2) получаем

Величины Ру [s (t, mq) ] являются апостериорными вероятностями передачи обоих сигналов.

В теории статистических решений доказывается, что, вычислив апостериорные вероятности первого и второго сигналов, опти­ мальный приемник должен принимать решение в пользу того сиг­ нала, апостериорная вероятность которого больше. Обычно с вы­ сокой степенью достоверности можно полагать, что априорные вероятности обоих сигналов равны, так что Р [/rea]= P [?7i2] = 1/2. Кроме того, энергии этих сигналов одинаковы. В этом случае вероятность приема реализации у (t), p,„q [у (t) ] одинакова для обоих сигналов. Поэтому вместо вычисления и сравнения апосте­ риорных вероятностей сигналов s (t, mq), Ру [s (t, mq)] можно вычислять и сравнивать правдоподобия сигналов p„lq [у it) ] — плотности вероятностей приема реализации у (t) в предположе­ нии, что передавались первый или второй сигналы.

Таким образом, оптимальный приемник принимает решение, что передавался сигнал s (t, m j, если

Рт1\У (t)]> РтгI*/ (<)l

Эта форма записи подчеркивает, что составляющая сигнала в у (t) зависит от времени, номера переданного сигнала (первого или второго) и совокупности случайных параметров а0, ах, а2, . . ., зависящих от свойств канала связи. Составляющая помехи п (t) может иметь самые различные свойства. Мы будем предполагать, что это стационарный нормальный шум с равномерной спектраль­ ной плотностью N„.

Плотность вероятности реализации такого шума выражается так [4, 6]:

(4.6)

76

реализации; п{ — выборочные значения п (t).

Пусть в выражении (4. 5) параметры а0, ах, а2, . . . приняли некоторые постоянные значения. Тогда вследствие аддитивности сигналов и помех вероятность данной реализации у (t) равна, очевидно, вероятности того, что помеха примет значение, равное

где pn — функция, описывающая плотность вероятности реализа­ ции шума (4. 6). Но параметры а0, аг, а2, . . . в (4. 7) — случай­ ные величины, которые при приеме сигналов могут принимать различные значения. Поэтому для получения вероятности реали­ зации у (<) в среднем необходимо произвести усреднение получен­ ного значения (4. 7) по всем возможным значениям случайных параметров. Пусть функция р (а0, а1г а2, . . .) описывает сов­ местную плотность вероятности величин к0, я2, . . . Тогда в соответствии с правилом усреднения

Именно эти величины (вычисленные в предположении, что q = t и 2) сравнивает оптимальный приемник для принятия решения о том, какой из сигналов передавался на данном отрезке вре­ мени Та.

Рассмотрим далее решение задачи о синтезе оптимальных, приемников для ряда последовательно усложняющихся случаев.

4.3.Простейший случай приема без оценки

ис оценкой параметра1

1.Рассмотрим задачу синтеза оптимального приемника би­ нарных сигналов, прошедших канал с медленной мультиплика­ тивной и быстрой аддитивной помехами. На входе приемника та­

кой сигнал на интервале 0 ^ t ^ Тв имеет вид

Это наиболее простой случай общего выражения (4. 1), когда во всей сумме остается только один член. Мультипликативной поме­ хой иногда называют случайный множитель a (t). Такой случай редко может встретиться на практике. Однако рассмотрение его имеет большое значение для ясного понимания более реальных ситуаций.

Аддитивная помеха п (<) по условию является стационарным шумом с равномерной спектральной плотностью и нормальным законом распределения. Плотность распределения вероятности

77

реализации шума п (t) дается выражением (4. 6). Мультиплика­ тивная помеха а (t) пусть также является стационарным процес­ сом с нормальным законом распределения. В соответствии с (2. 10) его можно представить рядом Котельникова:

пределены по нормальному закону. Как и ранее, будем считать, что процесс « (t) изменяется медленно по сравнению со скоростью

2. Рассмотрим сначала случай, когда величина а0 постоянна и известна в точке приема. Этот случай можно назвать случаем приема «точно известных сигналов». Апостериорная плотность

Эта формула позволяет синтезировать структурную схему прием­ ника бинарных сигналов с известными параметрами. Он должен сопоставлять (сравнивать) величины (4. И) для q= 1 и 2. Но, учи­ тывая монотонность экспоненциальной функции, достаточно вы­ числять и сравнивать величины, входящие в показатель степени экспоненты. Рассмотрим три слагаемых, определяющих этот по­ казатель.

Первое слагаемое (интеграл) не зависит от индекса q (номера сигнала) и при сравнении несущественно. Если энергии сигналов

равны, так что

То Т0

Е12= | s2(t, m j d t ^ j s2 (t, m2)dt,

оо

78

Рис. 4.1. Блок-схема оптимального приемника точно известных сигналов а — а„ — постоянная величина; б — а0 — неизвестный параметр

то последнее слагаемое также не зависит от q. Таким образом,

‘приемник будет оптимальным, если он будет вычислять и сравни­ вать величины

Соотношения (4. 12) можно назвать корреляционными интегра­ лами. Для получения величин Ьдследует проинтегрировать произ­ ведение реализации у (t) на первый и на второй сигналы, а затем сравнить результат. Решение принимается в пользу того сигнала, для которого корреляционный интеграл будет больше. Соответ­ ствующая структурная схема приведена на рис. 4.1. Из приведен­ ного анализа видна необходимость иметь в приемнике копии пере­ даваемых сигналов s (t, тп^) и s (£, тпг).

3. Рассмотрим далее случай, когда а0 — случайная величина (постоянная за время длительности сигнала), распределение кото­ рой нормальное, с заранее известными параметрами (средним и дисперсией). В этом случае согласно (4. 8) необходимо при вы­ числении правдоподобия сигналов произвести усреднение его по

79

для q= 1 и 2 , будем опускать, так как при сравнении они не будут играть роли. При этом вместо знака равенства будем писать знак пропорциональности.

Подставляя в (4. 13) выражения для плотностей вероятностей Р„ Гр (/)] и р (а0) (при а = 0 и дисперсии а^), получаем

»Г

Тогда интеграл, входящий в показатель степени экспоненты, равен

Первое слагаемое в правой части этого выражения не зависит ни от номера q, ни от а0, и оно, следовательно, не будет иметь зна­ чения при сравнении правдоподобий первого и второго сигналов. Поэтому

Дополним показатель экспоненты до полного квадрата и пред­ ставим выражение так:

То Г

•*о

Сделаем замену переменной интегрирования по формуле

80