книги из ГПНТБ / Филиппов, Л. И. Основы теории радиоприема дискретных сигналов (синтез и анализ) [монография]

Из (3. 4) следует, что р [У (t) ] представляет собой произведение плотностей вероятности реализаций Уу (f) помех с равномерной

— a, J У) (t) dt

о

До сих пор предполагалось, что в спектре N (to) параметры а. заданы. Поэтому более строго следует писать

где (а^.}=(а1, а2, . . ., ая) — вектор параметров помехи, который полностью ее определяет. Так как параметры а . случайны и при любом их наборе реализации Y (t) является случайной помехой, то плотность вероятности ее реализации может быть получена усреднением выражения (3. 6) по совместному распределению случайных параметров:

Таким образом, при неравномерной по спектру помехе канал вносит дополнительные случайные параметры. Ниже рассмотрим вопрос об оптимальной оценке параметров {ау} на основании принятой реализации Y (t) (0 ^ t ^ Т) и параметров канала и помехи при условии, что принятая реализация Y (t) содержит сигнал.

3.2.Определение параметров помехи

Апостериорное распределение вектора помехи (аД можно определить по формуле Байеса как

КР [{«у}] Пa f exp {—а Л .), (3.8)

61

где

Aj = \ Y*(t)dt.

о

Представим (3.8) в следующем (нормированном) виде:

В этой формуле фигурирует произведение ilf-мерных ^-квадрат рас­ пределений вида

а среднеквадратичное значение и дисперсия равны соответственно

При М 1 это отношение весьма мало. Поэтому распределе­ ние р (а}) узкое и тем уже, чем больше М, и если априорное рас­ пределение р [ {а .}] вектора (йу) достаточно плавное, то в фор­ муле им можно пренебречь и апостериорное распределение век­ тора (а ) можно считать равным произведению распределений

Известно [5], что при квадратичной функции стоимости оценочное

62

Рис. 3.2. Блок-схема оценки параметров помех с неравномерным энергети­ ческим спектром

апостериорной плотности вероятности и оценочному значению и при простой функции стоимости.

Таким образом, оценочное значение &j не зависит ни от апри­

орного распределения, ни от выбора функции стоимости. Сле­ довательно, &j является канонической оценкой величины а^..

На рис. 3. 2 приведена блок-схема, по которой можно вычис­ лять оценочные значения параметров ау На выходе интеграторов получаем величины

^ = ! Г 5 М * = ГТ'

Так как Y . (t) есть реализация белого шума с полосой Д Q, то среднее значение A j= 2 MNj=Mla^, где AT — неизвестная фикси­

то случайная величина А . имеет острое распределение. Это слу­ жит физическим объяснением результата.

Если параметры {а .} медленно изменяются, то вместо интегра­ тора (рис. 3.2) следует поставить фильтр с полосой, соответствую­ щей скорости изменения параметров (подробнее см. в § 3.4).

3.3. Определение параметров канала и помехи

Пусть теперь на входе оценочного устройства имеется реали­ зация Y (t) длительностью Т, содержащая сигнал и помеху. Реа­ лизацию Y (t) аналогично (2. 8) можно представить в виде суммы

63

дим по принятой реализации на основании теоремы Байеса:

Заметим, что при равномерном энергетическом спектре передавае­ мых сигналов величина ZX не зависит от номера участка /. С уче­

том введенных обозначений (3.15) представится в виде

Путем достаточно громоздких вычислений можно убедиться, что отношения дисперсий к квадратам средних этого распределения

64

по всем трем переменным обратно пропорциональны М. Следом вательно, при М 1 это распределение является острым и апостериЬрное распределение параметров Д , б^.} и {аД можно ап­ проксимировать произведением их распределений. Используя запись распределения р ( а 6L, aj) с учетом нормировочного коэффициента, получаем

Как и в случае оценки параметров только помехи, можно найти,

рости изменения параметров, будем отслеживать их изменение во времени.

3.4. Особенности реализации корреляционного метода определения параметров

' 1. Из предшествующего определения следует, что корреля­ ционный метод оценки параметров канала является оптимальным. Анализируя периодически повторяющиеся сигналы

путем соответствующей обработки колебания Fa= F 1+ra из него можно получить параметры канала hk (t) и Тгк (£). Рассмотрим операцию корреляции подробнее. Для^ этого предварительно установим некоторые свойства периодически повторяющихся ко­ лебаний.

2. Определим выражение для нормированной автокорреляци­ онной функции р (т) периодически повторяющихся сигналов (3. 21). По определению

52 4 [ t - k T , ) d t

к= —п5

В дальнейшем для упрощения введем нормировку, предполо­ жив, что

J sf (t) dt = Те.

При этом знаменатель выражения (3. 22) равен 2пТй. Числитель же можно вычислить на основании теоремы о связи автокорреляцион­ ной и спектральной функций:

Там же показано, что низкочастотная составляющая произведения

выражается через нормированную автокорреляционную функцию р(т)

3.Рассмотрим далее функцию взаимной корреляции колебаний

h (t) 2 М * — кТс) и 2 si {t — кТс), предполагая, что h(t) имеет пре-

кк

образование Фурье, существенно отличное от нуля лишь в области частот шириной Д/а в окрестности нулевой частоты, причем пред­ положим, что

х с

Пусть F[/z(t)] = GA(u)). Тогда в соответствии с (В. 33) спектр коле­ бания h(t)Vx{t) равен свертке спектров сомножителей, т. е. вели­ чине

j = —co

/ = —со

66

Искомую функцию взаимной корреляции можно найти как обрат­ ное преобразование Фурье от произведения спектра колебания h{t)'V1 (t) на сопряженное значение спектра колебания V1 (t), который находится из (П 5. 6). Так как спектр (П 5. 6) линейча­ тый, то в (3. 25) следует рассматривать только точки ш=/ (2п/Тс). В этих точках Gh [ со—/ (2n/T0)]=G h(0). В результате получаем спектр

2« 0) j [*(>£)]Ч—'£)•

j = -—со

Эта величина совпадает с выражением (П 5. 8) с точностью до множителя Gh(0). Поэтому в соответствии с доказательством При­

ции периодического колебания и такого же колебания, умножен­ ного на медленно изменяющуюся (по сравнению с периодом) функ­ цию, равна нормированной функции автокорреляции исходного периодического колебания.

4. До сих пор предполагалась выполнимость операций идеаль ного интегрирования. Практически удобнее эту операцию выпол­ нять путем узкополосной фильтрации произведения колебаний. Рассмотрим получающийся при этом результат.

Пусть на фильтр с коэффициентом передачи (ш) подается

G2(ш) = 2тт^ф(со) 8(ш) р (х).

Выходное колебание фильтра равно обратному преобразованию Фурье: и2 (t)= K ф(0) р (х). Если (0) = 1 , то выходное напряже­ ние фильтра равно нормированной автокорреляционной функции. Таким образом, если произведение двух смещенных во времени периодических колебаний пропустить через низкочастотный фильтр с полосой пропускания Д/ < 1/Т0 и коэффициентом пере­ дачи К,ь (0) = 1, то на выходе получается нормированная авто­ корреляционная функция.

^Рассмотрим далее результат прохождения через низкочастот­ ный фильтр с полосой Д/ф< 1/Т0 колебания h (t) Vx (t) Vx (t— x), где h (t) имеет преобразование Фурье, отличное от нуля в полосе Мл—Д/о- Учитывая свойства фильтра, рассмотрим спектр в по­

5* 67

Пропуская произведение через идеальный низкочастотный фильтр, получаем

— СО

Рассмотрим далее результат прохождения через идеальный фильтр колебания h (t) Vl (t) V1 (t — x), где V1(t) — сопряженное Vx{t)

(Здесь использовано представление сопряженного колебания через

<3-30>

к

Далее умножим Vx{t) на Vх [t — п (2тс/Д(о)]. Согласно (3. 28) и (3. 29) будем иметь на выходе фильтра

68

2и

“ вых,— — Д^■2 м * )р [(*

К

В п. 5 § 3 введения указано, что свойствами (3. 32) обладает коле­ бание с прямоугольным энергетическим спектром. Необходимо только выполнить дополнительное требование о том, чтобы ДfTa было целым числом. При этом функция автокорреляции рх (х) колебания sx (т) имеет нули через интервал 2 тс//Д ш, а функция автокорреляции колебания Fx (t) состоит из слагаемых рх ( t)+ + рх (Тс — х), которые через интервал рх (х) равны нулю. Послед­ нее пояснено на рис. 3.3. Интеграл произведения Ух (t) Vx (t — х) на участках 1 равен 2 к/Дсо, а на участках 2 он равен рх (Тв — х).6

Рис. 3.3, К пояснению характера функции автокорреляции колебания Ух (t)

6. Получение колебаний, имеющих строго прямоугольны энергетический спектр, невозможно. Близкими свойствами обла­ дают колебания с частотной модуляцией по линейному закону при-'болыпом произведении Д/Г0. Вторым практически удобным методом приближения является возбуждение коротким импуль­ сом фильтра с характеристикой, близкой к прямоугольной. Од­ нако при этом будет малой длительность отклика (произведение ДfTa яа 1). Для ее увеличения при сохранении необходимых кор­ реляционных свойств следует возбуждать полосовой фильтр по­ следовательностью следующих через х0 коротких импульсов (в пределе S-импульсов), полярность которых изменяется по так называемому коду нулевой последовательности [6 ].

Найдем функцию автокорреляции выходного колебания в пред­ положении возбуждения идеального фильтра низких частот с по-

69'

лосой пропускания Да)=2 к/т0, т. е. при

Рассмотрим последовательность коротких прямоугольных им­ пульсов длительностью ти т0, следующих по коду нулевой последовательности с периодом N0t0 (TV=2" — 1) (рис. 3.4, а). Автокорреляционная функция такой последовательности пред­ ставлена на рис. 3.4, б. При тп-> 0 она в максимумах имеет зна­ чения 8Т, дгТо, а «боковые лепестки» будут равны 1//VoXi fcTo. Авто­ корреляционная функция может быть записана в виде

Рис. 3.4. Серия коротких имцульсов, следующих по коду нулевой последо­ вательности (а), и характер .автокорреляционной функции такой последова­ тельности (6)

Для упрощения дальнейших' вычислений заменим символы Кронекера в формуле (3. 34) на 8-функции. Так как структура авто­ корреляционной функции не нарушится, а изменится лишь ее величина, то нормированная автокорреляционная функция вы­ ходного колебания сохранится. Будем считать, что автокорре­ ляционная функция нулевой последовательности равна

70