книги из ГПНТБ / Филиппов, Л. И. Основы теории радиоприема дискретных сигналов (синтез и анализ) [монография]

Г л а в а 2

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ КАНАЛОВ

ПРИ НАЛИЧИИ НОРМАЛЬНЫХ ПОМЕХ

2.1.Предварительные замечания

Внастоящей главе рассматривается теория отождествления, основанная на статистической теории оценки параметров. Задача формулируется следующим образом. Дан канал с изменяющимися во времени свойствами, о котором сделаны следующие предполо­ жения: канал линеен и может быть описан импульсным откликом; изменения случайных параметров, описывающих канал, проис­ ходят стационарно в широком смысле; полоса частот А си, в кото­ рой происходит исследование канала, значительно уже средней частоты о>0:

Дш = со, — шп < = со0;

для отождествления могут быть использованы только рабочие сигналы системы связи; аддитивные помехи подчинены нормаль­ ному закону распределения и имеют равномерный по частоте энергетический спектр.

Необходимо найти наилучший, в определенном смысле, способ отождествления канала. Таким образом, никаких предваритель­ ных предположений о способе отождествления не делается. Най­ денный же способ в пределах установленных критериев является оптимальным.

Применительно к реальным радиотехническим каналам только второе предположение является существенным ограничением, так как многие каналы, например ионосферный канал связи, не ста­ ционарны. Однако практически это ограничение можно обойти, разбив весь период наблюдения на отдельные интервалы, на кото­ рых стационарность сохраняется. Предположения о линейности, узкополосности и нормальности помех выполняются для боль­ шинства известных и исследуемых каналов. Предположение о непримеримости вспомогательных сигналов расширяет задачу, так как последняя переходит в задачу отыскания сигналов, удовлетво­ ряющих одновременно и требованиям отождествления, и требова­ ниям передачи информации. При решении указанной задачи ис­ пользуется дискретное представление всех функций времени, встречающихся при расчетах. При этом отождествление переходит р задачу оценки случайных параметров канала. Весь анализ

41

ведется не абстрактно, а в предположении использования резуль­ татов для синтеза оптимальных радиоприемников сигналов, пере­ даваемых через эти каналы (см. часть II).

2.2.Дискретная математическая модель канала

вограниченной полосе частот

1.Будем описывать канал с изменяющимися во времени свойствами импульсным откликом h (v, t) и его преобразованием Фурье — коэффициентом передачи & (ш, t). Пусть область частот,

вкоторой исследуется канал, ограничена полосой

При этом рассмотрение канала с коэффициентом передачи R (ш, t) можно заменить анализов четырехполюсника itorp ( u>, t), такого, что

Эта ситуация условно изображена на рис. 2.1. (Условность состоит

К(со,tj

Рис. 2.1. Замена коэффициента передачи канала коэффициентом передачи

вограниченной полосе частот

вневозможности изобразить Й (ш, t) на плоском чертеже. Кривые рис. 2.1 можно рассматривать как модуль коэффициента передачи

взафиксированный момент времени.)

Всоответствии с (1. 6) четырехполюснику itorp (ш, t) соответ­ ствует импульсный отклик

42

где

В соответствии с методикой, описанной в § 3 введения,' предста­ вим К+(со, it) в виде ряда

со ... 2it

& = —СО

где о)0= ( шв-(-шв)/2; Яогр (и, t) — сопряженная по Гильберту функция для hmр(у, А). В последующем для упрощения записи индекс «огр» будет отброшен. Кроме того, введем обозначения;

* »(* )= * (* £ • ‘ - k s j -

*.W = S (* E - * - * £ ) •

Функция (А) представляет собой закон изменения во времени

43

к-й выборки из импульсного отклика h (у, t). Импульсный отклик как функция двух переменных представлен на рис. 2.2.

Если подставить (2. 6) в интеграл свертки (1. 4), то колебание s2 (t), спектр которого ограничен полосой Ац>= — сов, можно представить в виде

Из (2. 6) видно, что импульсный отклик канала в ограниченной полосе полностью определяется своими выборочными значениями hk (t), а также выборочными значениями из сопряженной функции hk (t). Выборки из обеих функций необходимо брать через интер­

в виде суммы входных колебаний и им сопряженных, задержанных на величину, кратную 2тг/Д ш. Весовыми коэффициентами являются величины ак (t) и Э.к (t), пропорциональные выборочным мгновен­ ный! значениям импульсного отклика h (у, t) и сопряженной по у функции h (у, it).

В физическом, например, ионосферном отражательном канале связи выходное колебание может состоять из суммы произвольного количества входных колебаний, имеющих различные и произволь­ ные амплитуды и запаздывания. Эти колебания в последующем будем называть физическими лучами. Слагаемые в (2. 8), отстоя­ щие на величину, кратную 2к/Д со, будем называть моделирующими лучами.

Как было отмечено в гл. 1, для каналов с медленно изменяющимися свойствами [параметрами hk (t)] преобразование Ft= 0 (у, £2) будет существенно отлично от нуля в окрестности нулевой частоты в некоторой полосе частот Д/в. Эта величина характеризует ско­

44

в виде

где h . (v)—h (j xe, v) — j-я выборка no t при y=const (см. рис. 2.2).

Итак, импульсный отклик h (у, t), являющийся случайной функцией неременных у и t, можно рассматривать как реализацию двумерного случайного процесса Н (у, t).

Случайную функцию одного переменного можно описать ее мгновенными значениями («выборками»), взятыми через интер­ валы, определяемые скоростью протекания процесса. Эти мгно­ венные значения будут случайными величинами, распределения которых одинаковы для стационарных процессов и разные для нестационарных. Аналогично двумерную случайную функцию двух переменных можно представить выборками (отсчетами в за­ данных точках) по одному из переменных. При этом выборки будут одномерными случайными функциями второго переменного. Так, в формулах (2.10) и (2.6) [с учетом обозначений (2.7)] функ­ ция hj (у) есть реализация некоторого случайного процесса Н . (у),

а функция hk (f) — реализация случайного процесса Нк {t). Каждый из полученных одномерных процессов в свою очередь может быть представлен выборками, являющимися случайными

sin \{ ф а) {t — jxa)\

Таким образом, двумерный случайный процесс можно предста­ вить либо случайным вектором-процессом {Hj (у)} (вектор обра­ зуется при изменении j), либо случайным вектором-процессом {Нк (t),Hk (t)} (вектор образуется при изменении к), либо матри­ цей случайных' величин {Hkj, НkJ). Как и в одномерном случае,

выборки двумерного случайного процесса Н . (у) могут иметь одно и то же распределение. При этом процесс Н (i, у) является стационарным по переменной t и Ф (у) можно рассматривать как реализации одного процесса Н (у).

45

Физической моделью отражательного ионосферного канала могут являться, например, кучевые облака. Если отражение с те­ чением времени происходит так, что объем и концентрация обла­ ков остаются постоянными, а они лишь перемещаются, то h. (v) можно считать реализациями одного случайного процесса a (v). Изменения во времени при этом будут стационарными. Если же меняются концентрация облаков и размер (вследствие направ­ ленного движения облаков), то интенсивность отражения будет изменяться и процесс по времени t станет не стационарным.

В дальнейшем под h (у) будем понимать реализации одного процесса Н (у), понимая под этим любой из процессов Н . (v).

2.3. Некоторые общепринятые модели случайных каналов

Применительно к ионосферным и тропосферным каналам часто рассматривают три основных статистических модели: зер­ кальный канал, дисперсионный (или релеевский) канал и канал

сдисперсионными и зеркальными компонентами (или райсовский канал). Эта классификация является менее общей по сравнению

сприведенной в § 1.7.

Вмодели зеркального канала колебание s2 (t) в точке приема

представляет собой сумму конечного числа запаздывающих вход­ ных колебаний s1 (t) (по предыдущему определению физических лучей). Импульсный отклик этого канала в ограниченной полосе частот можно представить в виде

Он может, в частности, моделироваться идеальным полосовым фильтром, когда

vt, ?<): siH [(Дм/2) (»—»<)] cos H (v — v{) - f <p,l.

(Дю/2) (v — Vj )

Коэффициент а. характеризует энергию i-го «луча»; v. — запазды­ вание; tp{ —начальная фаза. Для зеркального канала параметры а<> у.ч <р< считаются известными постоянными величинами. Это — явно идеализированный случай.

В модели дисперсионного канала колебание s2 (t) в точке при­ ема состоит из суммы бесконечного числа физических лучей (сла­ гаемых) с бесконечно малыми и приблизительно равными диспер­ сиями. В силу центральной предельной теоремы h (v) являются реализациями нормального случайного процесса с нулевым сред­ ним значением. Вследствие диссипативности процессов (потерь

46

можно представить в виде

где а2 (у) — закон изменения дисперсии белого шума; X (у) — стационарный белый шум с единичной дисперсией [8]. Так как импульсный отклик h (у) имеет ограниченную полосу, то его можно

записать в виде (2.6), где выборочные значения^, Тък можно счи­ тать независимыми, т. е. [исходя из (2.12)]:

~ h = °кхк< = = akxlc>

где, в свою очередь, hk и hk,jck и хк— конкретные значения слу­ чайных величин Нк, Нки Х.к, Х к соответственно (при и = к (2п/Дш)); а| — дисперсии величии Хк, Х к. Последнее представление, как и соотношение (2.12), верно, если о (у) является медленно, по срав­ нению с X (у), меняющейся функцией.

Таким образом, процесс Н (у) представлен нами в виде век­

где $к — некоторое конкретное значение величины Нк. Длитель­ ность процесса H{v) определяется длительностью множителя о(у) в (2.12) и равна \.ап. При этом вектор {#„, Н0, Нх, Нх, . . .} будет содержать (Д ш\ан/2я )+1= га+1 « п пар составляющих. Плот­ ность вероятности реализации h(v) можно поэтому записать как

1Будем предполагать, что полоса преобразования Фурье для а(у) значительно меньше, чем полоса Доз, при этом полоса Доз и полоса реализации белого шума X(v) будут совпадать.

47

В модели райсовского канала колебание s2 (t) в точке приема содержит сумму зеркальной и дисперсионных составляющих, так что импульсный отклик

h(v) — hx(у) -(- 2 аД (и, о., ср.).

Так как второй член в этой сумме является детерминированным, то распределение процесса H(v) совпадает с распределением процесса Hx(v), но имеет смещенное среднее, равное второму слагаемому. Поэтому плотность вероятности реализации в этом случае

ция t является стационарным. При этом процессы — выборки Hj(v) — имеют одинаковые свойства, и если ^ не зависит от у, то h}.(v) будут независимыми реализациями случайного процесса

H{v) с распределениями (2.15) или (2.16).

В силу принятого предположения процессы IIlc (t) будут стационарными, а выборки HkJ, взятые через интервал та, — независимыми и распределенными по нормальному закону. В бо­ лее общем случае процессы Нк (t) имеют разные распределения

иих реализации hk (t) имеют разные дисперсии.

2.4.Статистическая формулировка задачи об оценке параметров канала

иее решение для ряда случаев

1.В последующем рассмотрении будем предполагать, что для оценки параметров канала используются бинарные сигналы, соответствующие передаваемой информации. Посылаемые в канал

полосе, в которой производится отождествление2. Принятое колебание (на выходе канала) в соответствии с (2.8) и с учетом помех равно

2 Практически, конечно, выбирается полоса сигналов связи Дсос и отожде­ ствление «автоматически» происходит именно в этой полосе.

48

Процессы hk (t), hk (t) будем считать взаимно независимыми стационарными процессами с нормальными распределениями,

подлежащими определению. Каждый из них в настоящем рассмо­ трении будем считать подчиненным нормальному распределению,

от номера выборки к). В формуле (2.17) суммирование, как по к [количество выборок из импульсного отклика h (у)], так и по i [количество выборок по t из hk (t) ] теоретически необходимо про­ водить от — со до оо, что является следствием предположения о конечной полосе случайных процессов. Однако практически длительность импульсного отклика конечна и равна ткаи («память канала»). Поэтому по к достаточно взять п = \ а„А/с выборок. Количество выборок по ъ достаточно взять равным Т/ тв, где Т — длительность некоторой последовательности сигналов, которая бу­ дет уточнена ниже. Подобрав начало отсчета времени, суммирова­ ние по обоим индексам можно начинать с нуля.

Составляющая помехи n(t) в этой главе предполагается ста­ ционарным нормальным шумом с равномерной спектральной плотностью.

В дальнейшем будем предполагать что параметры канала

в представлении (2.17) суммирование по i фактически не произ­ водится и канал описывается системой параметров {aft0} и {й*о}> где

a*o= a*(°) = a*’ = Ч (0) = Ч- (2.19)

В целях упрощения выкладок и наглядности задачу оценки параметров aft0, й40 рассмотрим, начиная с упрощенных случаев,

последовательно усложняя их.

В этом случае канал вносит единственный параметр а00, подле­ жащий оценке. Для его оценки в момент времени t= 0 используем последовательность сигналов s (t, тд) на некотором отрезке (—Т, 0), обозначив ее S (t). Тогда в соответствии с (2.17) и с учетом (2.20) принятая последовательность сигналов (принятая реализация)

будет

о

•'=—Г/та

[в сумме но к взят лишь один (нулевой) член]. При медленном изменении параметров остается лишь один параметр а00. Априор­ ная плотность вероятности ра ( роо) параметра а00 определяется

всоответствии (с 2.18).

Впоследующем для упрощения формы записи уравнений будем обозначать случайные величины и процессы и их конкрет­ ные реализации одними и теми же символами, так что, например,

Р (Чо) будет означать то же, что ра (|300).

Так как величина а00 является случайной, то, очевидно, ника­ кой эксперимент не может дать большего, чем ее апостериорное распределение, вычисленное после получения реализации Y (t), содержащей последовательность сигналов S (t). Эту апостериор­ ную плотность вероятности обозначим р [а00|У (0, ‘S'(t)]. Она может быть найдена на основе теоремы причин и следствий (назы­ ваемой теоремой Байеса):

50