книги из ГПНТБ / Филиппов, Л. И. Основы теории радиоприема дискретных сигналов (синтез и анализ) [монография]
.pdfнала, будем называть широкополосными относительно канала.
Целесообразность этого определения будет пояснена ниже. Так как узкополосные сигналы являются частным случаем
широкополосных, то теорию целесообразно строить применительно к широкополосным сигналам. Дополнительная целесообразность изучения и применения таких сигналов диктуется рядом факторов. Рассмотрим основные из них:
1.Возможность повышения помехоустойчивости системы связи
вканалах, обладающих «многолучевостью», т. е. доставляющих
вточку приема ряд запаздывающих копий посланного сигнала. Термин «многолучевость» не однозначен и требует особого опре
деления, которое будет дано позднее.
Применение широкополосных сигналов позволяет, как будет показано, произвести раздельный прием лучей и осуществить радиоприем сигналов с меньшей вероятностью ошибок.
2. Возможность совмещения нескольких систем передачи сиг налов, занимающих одну и ту же область частот (или перекры вающихся по частотам). Подобное совмещение основано на том, что пороговая энергия, необходимая для приема сигналов, зави сит от степени знания свойств сигналов. Под пороговой энергией понимается минимальная энергия сигналов на входе приемника системы, необходимая для осуществления его функций. Наимень шая пороговая энергия требуется для приема точно известных сигналов. Наибольшая пороговая энергия требуется при приеме случайных сигналов.
Одни и те же сигналы можно сделать приближающимися к точно известным для одной системы связи и случайными для других. В этом случае другие системы будут воспринимать после довательность сигналов как случайный процесс (дополнительную помеху), полоса которого определится полосою принимаемых сигналов.
Последовательность случайных сигналов назовем шумоподоблыми сигналами. Для, создания шумоподобных сигналов требуется широкая полоса частот. Последнее следует из теоремы Ландау—
Поллака |
[6]. |
— функция, тождественно равная |
нулю вне ин- |
Пусть |
и (t) |
||
|
|
|
СО |
тервала (— Т/2, |
Т/2), имеющая единичную энергию, |
| G\ (/) df = 1 |
|
— СО
и обладающая таким спектром, что вне полосы fu находится не более чем т)2 доля полной энергии, так что
fM
\ G?t(f)d f> 1 -4 * - |
(В-52) |
—/ж
Тогда существует набор ортонормальных функций {^ (i)}, обла дающих следугощшга свойствами:
21
а) |
все W. (4)=0 при |£| < Т\ |
б) |
для любой функции и (t) |
IJ L |
«(*)— |
|
1=02 |
где L равно наибольшему целому от
2
dt < е2, |
(В. 53) |
2TfM-\-l.
Из теоремы следует, что число L различных ортогональных колебаний в возможном наборе пропорционально произведению полосы на длительность:
L ~ TfM.
Для получения шумоподобности число L сигналов должно быть по возможности большим. Отсюда следует необходимость приме нения широкополосных сигналов при совмещении систем связи по частоте.
3. Расширение полосы сигналов повышает помехоустойчи вость системы связи по отношению к узкополосным помехам. Дей ствительно, вероятность ошибок в бинарной системе связи (при нормальной помехе с равномерным энергетическим спектром и при неискажающем канале) в соответствии с (В. 48) зависит только от отношения E/N0 и не зависит от полосы сигналов Д/с. Однако, расширяя полосу сигналов Д/0, можно достигнуть такого состояния, при котором добавочная сравнительно узкополосная помеха будет несущественно ухудшать отношение сигнал/помеха.
В соответствии с (В. 50) пропускная способность бинарной
системы |
|
|
|
|
, _ |
Р Д/о _ |
Д/о |
Р |
(В. 54) |
2~ |
N (Я/Л\,)трв6 |
(e/д'о)треб |
^Q^fc |
|
где (E/N0)Tl>e6— требуемое отношение E/N0 для получения вероят ности ошибок не свыше допустимой в системе. Пусть скорость передачи составляет п-ю часть предельной, так что
R = - £ * - = |
------- ?----------- |
(В. 55) |
|
п |
nN0 (Е/N0)трвб ' |
v |
’ |
Если появляется добавочная помеха мощностью Ржоб, то в фор муле (В. 49) величина E/N0 будет равна
Е __ Р Р
N ~ N — Л-оД/^Рдоб
или
P = ~ ( N ^ f c + PR06).
Подстановка этой величины в (В. 55) с учетом того, что для би нарной системы R = 1/Т, дает
Е _ ( Е \ |
nN0 |
(В. 56) |
No \/ треб |
N0 + (Pao6IM) • |
|
22
Уменьшение E/N0 по сравнению с (E/Ng)TVeS, вызванное дополни тельной, помехой, будет тем слабее, нем больше полоса сигналов.
4. При некоторых условиях в заданном диапазоне частот AF средняя пропускная способность любой из К широкополосных станций, каждая из которых занимает весь диапазон ДF, оказы вается выше пропускной способности К узкополосных станций, занимающих полосу частот Afy—AF/K [23].
Действительно, в соответствии с ограничением (В. 50) при очень слабых помехах с равномерным энергетическим спектром
пропускная способность узкополосной бинарной системы |
|
||
■ |
- И - . |
, |
(В. 57) |
<ЧВК< Д /3Гак |
к |
||
соответствующая величина для широкополосной системы по (В. 50)
где Р — средняя мощность сигналов на входе приемника; а — часть времени, в течение которого каждая широкополосная стан ция фактически работает (при этом средняя мощность помех для заданной станции N —PaK).
Отношение
С, |
|
i |
|
|
|
|
* ш и р |
_ _ _ _ _ _“_ _ _ _ _ _ _ _ |
|
|
|
|
|
~с |
~~a{E/N0) в6 • |
|
|
|
|
|
*у8К |
|
|
|
|
|
|
Для получения вероятности ошибок порядка |
10 5 |
отношение |
||||
(E/N0)TVaf, должно иметь величину порядка |
10. |
Если |
а |
1, то |
||
Если же а достаточно мало, то |
С2]пчр> С2у„ . |
|
||||
Таким образом, узкополосные системы |
гарантируют |
полное |
||||
отсутствие взаимных помех вследствие ортогональности сигналов разных станций. Для широкополосной системы сигналы всех
других из |
К —1 станций |
воспринимаются как помеха. Однако |
при ос —►0 |
узкополосные |
системы значительно недоиспользуют |
отведенную |
полосу частот |
AF. |
До сих пор предполагалось, что каждая узкополосная станция работает в отведенной ей полосе частот. В ряде случаев (при пере насыщенности диапазона AF, при связи в условиях наличия враждующих сторон и др.) станции перемещаются по диапазону AF, отыскивая наименее загруженный участок. Однако поиски такого участка в условиях непрерывно изменяющейся обстановки нерациональны, так как отнимают много времени. Предположим, что каждая станция будет всегда работать со скоростью, опреде ляемой минимальным отношением P/N. Тогда в соответствий с (В. 50)
(В. 59)
Условия работы широкополосной системы в рассматриваемой ситуации не изменяются, так что остается в силе выражение (В. 58). Таким образом, теперь
1
(В. 60)
л { P I N ) min’
Даже при а -> 1 пропускная способность широкополосной системы оказывается больше, чем для узкополосной.
Приведенные в настоящем параграфе соображения не следует рассматривать как обоснованное доказательство преимущества систем с широкополосными сигналами, но лишь как соображения в пользу исследования их свойств.
Ч а с т ь I
ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ КАНАЛА ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ
Глава 1
ПРИНЦИПЫ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ КАНАЛОВ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ
1.1. Предварительные замечания и общая характеристика задачи
Отождествление системы (в частности канала связи) состоит в определении ее свойств из анализа соотношения выходных и входных данных. Такая задача возникает в случае систем с непре рывно изменяющимися свойствами, а также в тех случаях, когда физическая система столь сложна, что определение ее динамики из известной математической модели практически невозможно.
Для анализа системы передачи сигналов (см. рис. В. 1) отожде ствление канала (определение оператора является наиболее важным шагом, так как отыскание оптимального алгоритма обра ботки реализаций (у) есть переработка данных отождествления в соответствии с принятыми критериями. При этом могут встре титься большие и даже непреодолимые, но чисто теоретические и вычислительные трудности. Отождествление же канала может быть осуществлено лишь путем экспериментов (прямых или косвен ных) на природе.
Канал, с которым исследователь встречается впервые, является для него своеобразным «черным ящиком». Однако обычно о канале имеется некоторая априорная информация.
При этом можно заведомо применить один из методов описания системы. Задача, таким образом, сводится к задаче измерения параметров, которая вследствие наличия неизбежных помех пере ходит в задачу оценки параметров. Специфическими особенностями отождествления каналов, превращающими эту задачу в область специальных исследований, являются:
а) значительный пространственный разнос входных и выход ных данных (колебаний);
б) принципиальное наличие помех при измерениях; в) необходимость отождествления в реальном масштабе вре
мени, так как изменения в свойствах канала должны быть обна ружены непосредственно за их возникновением.
25
Последние две особенности наиболее существенны. Если си стема инерционна, то повторные измерения могут производиться лишь после рассеяния энергии, введенной на предыдущем этапе измерений. Но, с другой стороны, период повторения должен быть меньше времени дрейфа (изменения) параметров.
Отождествление канала возможно, в принципе, с использова нием специальных испытательных сигналов, с использованием рабочих сигналов системы связи и комбинированным методом (с использованием добавочных к рабочим сигналам колебаний). Применение только рабочих сигналов наиболее желательно, однако накладывает на их свойства дополнительные требования (см. гл. 4). Добавочные испытательные колебания к рабочим сиг налам могут быть детерминированными или квази-случайными, для которых автокорреляционная функция хорошо аппроксими руется дельта-функцией. В последнем случае принцип отожде ствления канала с некоторым импульсным откликом h (t) сво дится к вычислению взаимокорреляции между входными и выход ными колебаниями системы. Действительно, так как
|
|
СО |
|
|
и2(г) = jj ui (х) h (t — х) dx, |
|
|
— СО |
то, меняя порядок усреднения и интегрирования, получаем |
||
|
со |
|
и2 (t) щ {t — v) = |
| |
(x) h (t — x) dxuL(t — v) = |
|
CO |
CO |
= |
J в, (x) щ_(;t— v) = J r (t — т — v)h{t — x) dx ^ |
|
|
— CO |
— 0 0 |
|
CO |
|
^^ b(t — x — v)h(t — x)dx — h(v).
—CO
Впоследнем переходе учтено равенство (В. 17).
Прямому осуществлению этого элементарного алгоритма пре пятствует ряд обстоятельств, рассматриваемых ниже.
1.2. Исходные математические модели
Канал, подлежащий отождествлению, представим в виде ли нейного, параметрического или нелинейного четырехполюсника RK, к выходному колебанию s2 (t) которого добавляется колебание помех п (t). По физическим условиям в системе анализу могут подвергаться колебания sx (t) и
У (*) = «*(*) + »(*)■
Колебания s2 (t) и п (t) по отдельности недоступны для наблюде-
26
ния. Статистические характеристики случайного колебания помех могут и должны быть изучены априори путем наблюдения процесса
У (*) при % (г) =0 .
Исходная математическая модель есть избранный способ опи сания четырехполюсника RK, т. е. определения s2(t) по заданному
s^t). |
Это |
может быть осуществлено одним из известных в теории |
|||
систем способов: |
|
|
|
||
1. Составление наиболее общих уравнений движения |
|||||
|
|
d^hj (t) |
d ^ S l (t) |
|
|
|
|
/г=П |
я(у)=21=0 ь' |
dt«> |
( 1. 1) |
|
|
2 а* |
|
||
где |
ak, |
b, — параметры |
системы, подлежащие |
определению; |
|
В (у) |
— член, описывающий нелинейную часть системы. |
||||
Эта модель является наиболее универсальной, так как позво ляет описать линейные системы с постоянными и переменными параметрами, а также нелинейные системы. Однако применение ее в условиях отождествления канала связи обычно затрудни тельно ввиду недостаточного понимания тонких физических процессов в канале, являющихся, кроме того, излишними с точки зрения конечного результата.
2.Импульсный отклик и интегралы свертки. Линейная система
сизменяющимися во времени свойствами описывается импуль
сным откликом k (t, t), где |
т — момент воздействия |
8-импульса. |
При этом |
|
|
s2(t)= |
J k(t, z)s1(r)di. |
(1.2) |
—СО
Часто более удобно изменить переменные и ввести другие импульс ные отклики g (v, т) и h (у, г), где первый аргумент представляет момент отсчета ординаты выходного колебания, а второй — мо мент воздействия 8-импульса. Они определяются следующим обра зом:
g(u, |
х) = Щъ-f~v, г), |
|
|
/г (о, |
t) = |
k(t, t — v). |
|
При этом |
00 |
|
|
|
|
|
|
5г(*)= |
$ |
— |
(1.3) |
— СО |
|
|
|
|
СО |
|
|
s2(0 = |
$ h (г-’> t) «1 (t — v)dv. |
' (1. 4) |
|
— СО |
|
|
|
В реальных условиях отождествления наблюдается |
величина |
||
£(<)=**(*)+»(*)• |
|
|
|
.27
Модель импульсного отклика применима, очевидно, лишь к ли нейным системам, т. е. подчиняющимся принципу суперпозиции.
3. |
Коэффициент |
передачи |
и |
интеграл |
Фурье. |
Выражая |
||
% (t—v) |
в (1. 4) через его спектральную функцию, |
в соответствии |
||||||
с (В. 2), можно получить |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
= |
^ |
$ <3Sl (со) |
(to, t)e>mtd<b, |
|
(1.5) |
|
|
|
|
|
— СО |
ГО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
•Kh(со, |
t) = |
F„ [h (и, t)]~ |
J |
h (v, t) e~imdv |
(1. 6) |
||
есть коэффициент |
передачи четырехполюсника с |
переменными |
||||||
параметрами, являющийся преобразованием Фурье по переменной v от импульсного отклика h (v, t). Для систем с постоянными пара метрами (не представляющих особого интереса для теории ото ждествления) коэффициент передачи не зависит от времени t.
Имеет место также обратное |
соотношение |
|
||
|
|
СО |
К (со, t)e^ ’dw. |
(1.7) |
|
h(v, t) = |
J |
||
Коэффициент передачи является также весьма удобной моделью |
||||
канала передачи сигналов. |
|
|
|
|
4. |
Отклики на модифицированные испытательные сигналы. |
|||
Определение импульсного отклика как реакции |
на S-импульс |
|||
можно обобщить. Из соотношения (В. 17) |
|
|||
|
f ( t ) = \ f (т) 8 (* — х) |
(1. 8) |
||
Это выражение описывает неискаженное прохождение колебания |
||||
/ (t) через четырехполюсники с откликом 8 (£, т) = |
S (t— -с). Таким |
|||
образом, можно определить модифицированный 8-импульс, как отклик четырехполюсника, не искажающего форму .входного колебания. Последнее дает возможность ввести несколько других форм 8-импульсов, которые целесообразнее называть испытатель ными импульсами.
В наиболее общем виде условие отсутствия искажений состоит
в постоянстве коэффициента |
передачи К (а>) на всех частотах: |
|
К (ш) == const, |
— со <( (в оо. В соответствии с (1. 7) это озна- |
|
|
00 |
|
чает h (t) = 8(f) = |
l| e^dw, |
что соответствует исходному опре- |
— 00
делению 8-импульса.
Для аналитического колебания (В. 3) условие отсутствия иска жений состоит в соответствии со свойством (В. 7) в том, что
* н= 1, о ) > 0 ,
о, ш и.
28
Тогда в соответствии с (1. 7) получаем испытательный импульс
00 |
|
81f l = $ e ^ m= | [ 8 ( i ) + - L ] . |
(1-9) |
О
Для полосового колебания (В. 8) в соответствии с (1. 7) получаем испытательный импульс
82 (t) = Sin |
cos %t. |
(1.10) |
Для полосового аналитического колебания аналогично получаем испытательный импульс
83 (t) = Sin {^ t,2)- eW . |
( 1. 11) |
5.Функция рассеяния. По аналогии с преобразованием Фурье
для h (v, t) по |
переменной v, что дает |
коэффициент |
передачи |
|||
it (ш, t), можно рассматривать |
|
|
||||
|
|
|
СО |
|
|
|
|
F/[h(v, t)1 = |
j h{o, t)e-JSidt = B1{v, 2). |
(1.12) |
|||
|
|
— CO |
|
|
|
|
При этом имеет место обратное соотношение |
|
|||||
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
h(v, t) = |
~^ |
j 0Ду, Q)eJsidQ. |
(1.13) |
|
|
|
|
|
— СО |
|
|
Выходное колебание можно представить в виде |
|
|||||
|
СО |
|
|
|
|
|
s2(£) = |
J sx(i — v)h(v, t)dv = |
|
|
|
||
|
— СО |
|
|
|
|
|
|
|
00 |
со |
|
|
|
|
|
J |
5 |
Sl{t — и)8г(и, Q)eWdQdv. |
(1.14) |
|
|
|
— СО — со |
|
|
|
|
Если ввести в |
рассмотрение аналитический отклик |
h (и, t) = |
||||
= h(v, |
t)-\-jh(u, t), для которого |
|
|
|||
Ft [h (и, f)] = |
Ft[A+ jh] = |
0, (v, 2) + A |
(v,Q) = 62 (y, 2), (1.15) |
|||
то можно убедиться, что |
|
|
|
|
||
|
s2(Q = i ~ | |
J |
(£— v) ei°*02 (у, 2) dQdv. |
(1.16) |
||
Так как ^ (t—v) e->st есть задержанное на время v и смещенное по частоте на Q колебание $г (t), то из (1. 16) видно, что канал есть устройство, «рассеивающее» входные сигналы по времени и ча-
29
стоте и суммирующее |
рассеянные составляющие. Функция |
0а (v, Q) определяет «вес» |
рассеянных составляющих. |
6. Дискретизованный коэффициент передачи (z-преобразова-
ние). Если определить импульсный отклик его выборочными мгно венными значениями в соответствии с (В. 27), так что
|
СО |
(1.17) |
К (V, |
t ) ~ 2 h{v, t)b{v — nT), |
|
|
«=— СО |
|
то в соответствии с (1. 6) можно определить дискретизованный коэффициент передачи
£ в(ш )= J hs(v, t)e- |
= 2 |
\ h{Uj |
t)e~^vd v ~ |
|
|
— СО |
|
— со |
= |
^h(nT) е-вш,,т. |
(1.18) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
Введя обозначение |
z — е^шТ, |
|
(1.19) |
||
получаем |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(ш) = |
2 |
h(nT)z~\ |
(1.20) |
|
|
|
я = — со |
|
|
|
Подобное представление будем |
называть z-преобразованием. |
||||
7. Другие представления. Полная система соотношений ра личных моделей. Вводя аналогично (1. 6) и (1. 12) — преобразова ния Фурье по одной или обеим переменным для k (t, -с) и g (v, *), — можно получить другие соотношения для моделирования канала передачи сигналов. Ниже представлены полная система возможных модельных функций и соотношения между ними [8]:
дГцтН*------------------------- |
|
► |
к ft,гУ |
------------------- ► h(u,tt |
I |
|
|
• |
I |
|
|
|
|
Fv [h(u;t)3~Kh(cO'tiJ |
t |
|
|
|
t |
£ [K„ --------------- |
|
Ft Ft [Hft,tU ------------- |
~Ft [Hh(Ш,11] |
|
-----*- |
Замена. |
переменных |
|
|
----- ► |
Преобразование |
Фурье |
|
|
- > |
Двойное |
преобразование |
Фурье |
|
30