книги из ГПНТБ / Филиппов, Л. И. Основы теории радиоприема дискретных сигналов (синтез и анализ) [монография]

где

—комплексная огибающая (комплексная амплитуда) колебания. Между преобразованиями Фурье (спектральными функциями)

колебаний й (£) и Um (£) имеет место соотношение [6]:

где знаком * отмечена комплексная сопряженность. Последнее соотношение представимо также в виде

r.w°

Gu (<о): (ш — “ о) • ^ m (CO+ U,o)‘

4. В тексте будут широко использоваться четыре специальных функции: дельта-функция -8(if), функция отсчетов Sait), единичная функция 1 (г) и вырезающая функция П(£). Они определяются следующим образом:

а) Дельта функция

где и (х) — любая гладкая функция.

Преобразование Фурье F [8 (£)] для 8(£) равно единице и, таким образом,

б) Функция отсчетов

Ее преобразование Фурье

(1, |си |< те,

(В. 20)

Н > « -

И

Ее преобразование Гильберта

в) Единичная функция

Ее преобразование Фурье

(В. 23)

Преобразование Гильберта не существует,

г) Вырезающая функция

5. Будут применяться две обычные операции: взятие мгновен ных значений (выборок, отсчетов) функции u(t) в моменты, крат­ ные интервалу Т,

С помощью указанных выше функций определяются некоторые формальные соотношения, упрощающие в ряде случаев доказа­ тельства и преобразования.

12

а) Преобразование Фурье периодически повторйюгцёгосй коле­ бания:

2 и$—1т) = у г в 2r.iT [GuH I =

=т i 6.(*т)!( - ‘т)- (в'м)

к= — со

Вчастности, преобразование Фурье периодической последова­ тельности S-импульсов:

6. Необходимые соотношения теории вероятностей и статист ческой теории решений будут приведены в тексте работы по мере необходимости.

3. Представление функций их выборочными мгновенными значениями1

1. Реальные колебания, происходящие в радиоустройствах являются непрерывными на определенных интервала? функциями времени. Однако в последующем анализе будет широко исполь­ зовано представление их выборочными мгновенными значениями, точнее, представление колебаний в виде рядов по системам орто­ гональных функций, коэффициентами при которых служат выбо-

13

рочные (мгновенные) значения. с)ти представления в общем слу­ чае имеют вид

где cpf. (t) — система ортонормировэнных функций, удовлетворяю­ щих условиям

Известно большое количество таких представлений [19]. Для дальнейшего будут использоваться представления по системе (ср,. (£)}, при которой коэффициенты а. приобретают смысл мгно­ венных значений колебаний в определенные моменты.

2. Пусть спектральная функция Gu (со) колебания и (£) удо влетворяет условию

=[ G „ ( с о) ] F £ 2 8 ( ш — 2 w >h) J } * F [ П 2Шм (со)].

Используя соотношения (В. 30) и (В. 25) с соответствующей заме­ ной переменных '(£ на со), получаем

После выполнения операции свертки с учетом свойства (В. 17) окончательно получаем

Эта «теорема о выборках» представляет собой разложение (В. 34) по системе ортонормированных функций:

b ( t } = S a [ ? * - ( t - l £ j \ ,

где Sa — функция (В. 19).

14

подвергается представлениям, аналогичным изложенным в п. 2 этого параграфа. После несложных преобразований получаем

При выводе этого соотнопгения учитывается комплексная сопря­ женность слагаемых G1(ш) и G2 (со) спектральной функции коле­ бания иу(t).

Рис. В. 2. Представление спектральной функции узкополосного колебания в виде двух слагаемых (а) и образование периодической функции G„(со) (б)

б) Представление узкополосного колебания только его пря­ мыми выборками. В этом случае по-прежнему представим GUy (со) в виде двух слагаемых (В. 37), как показано на рис. В. 2, а.

Штриховым изображением Gt (со) отмечена ее сопряженность сда­ ваемому (тг (со).

15

Если ш„ — ш,, со0 = (а)н -j- ш0)/2, то,.подобрав интервал 8т, можно образовать периодическую функцию Gn(co), совпадающую с GUy(ш) в областях частот, где последняя не равна нулю (рис. В. 2, б). Далее можно воспользоваться представлением, основанным на со­

Колебание иу (t) теперь можно вычислить как обратное преобра­ зование Фурье:

Используя соотношение (В. 39), меняя порядок действий ин­ тегрирования и суммирования и вычисляя интегралы, получаем

колебания с ограниченными спектрами полностью определяются своими выборочными мгновенными значениями или выбороч­ ными значениями из прямых (заданных) и сопряженных им коле­ баний, поскольку функции {'•?,. (£)} заданы. Существенным усло­ вием верности этих представлений является ограниченность спектров. Последнее возможно лишь при условии, что колебания не являются импульсными, но продолжающимися извечно.

Можно, однако, убедиться, что импульсные (конечные во вре­ мени колебания) в ряде случаев могут быть представлены выбо­ рочными значениями с весьма высокой и достаточной для расчетов степенью точности.

Пусть колебание и (t) с полосою 0 < m < ши= 2 nfHвычислено лишь своими выборочными значениями на интервале времени tn. Тогда в соответствии с (В. 36) приближенно

2/м£н в ю » й ( * ) = j

Можно вычислить среднеквадратическую ошибку неточности представления конечного во времени колебания его выборочными

16

Выше было указано, что наиболее широко в технике связи применяются бинарные системы связи, когда число сигналов в канале равно двум. Покажем, что при этом имеет место лишь несущественная потеря в эффективности системы по сравнению с Tkf-арной системой.

Пусть в блок-схеме рис. В.1 на оператор RTза Тс сек поступает S6 бинарных символов информации, так что скорость поступле­ ния ее R — S6/T0. Так как на интервале длительностью Тавозможно

образование М = 2s® различных последовательностей, то при

Af-арном кодировании необходимо иметь в системе связи 2s® раз­ личных сигналов s. (£). Скорость подачи информации в канал будет при этом равна

С* С

Пусть все сигналы из множества {S(} точно известны в точке приема, так что можно вести корреляционный прием. При этом для понижения вероятности ошибки следует увеличивать длитель­ ность Те сигналов (увеличивать энергию). Для сохранения вели­ чины R согласно (В. 46) одновременно необходимо увеличивать

18

количество сигналов М экспоненциально (М = 4 ?с). Таким образом, в .рассматриваемой системе связи с ростом Тс снижается ве­ роятность ошибки для одного сигнала, но растет число их. К, Шен­ ноном показано, что полная ошибка уменьшается с ростом Та, если

»<(1+£Г\

где Д/0 — полоса сигналов; P /N — отношение мощности сигналов к мощности помехи. Подстановка последнего выражения в (В. 46) дает известную формулу для предельно достижимой скорости передачи

Найдя зависимость Тс и М от С при заданной вероятности оши­ бок Рош, можно затем вычислить требуемую величину S6 для раз­ личных отношений R/C и, следовательно, количество М необхо­ димых при этом R/C сигналов (М = 2&б). Эти расчеты проведены в работе [21]. Там показано, что количество требуемых сигналов нереально велико. Так, при Рощ= 1 0 -Б, P/N=10, i?/C =0,6 тре­ буется Мта2Ш.

Вторым крайним случаем кодирования является применение только двух сигналов (М = 2). В этом случае легко находится вы­ ражение для вероятности ошибок при нормальной помехе с равно­

где Е — энергия сигналов (одинаковая для обоих); N0 — спек­ тральная плотность помехи (односторонняя); р12 — коэффициент взаимной корреляции сигналов;

OU

Для ’ малых ошибок, пользуясь аппроксимацией интеграла Ф (х), можно получить приближенное выражение

Если зафиксировать величину Рош,» то из последнего соотношения определяем (ЕШ0)тре6. Учитывая, что в бинарной системе R =i/T a, можно легко получить формулу для пропускной способности C%=R канала в этом случае:

2* 19

Откуда

л (е/Л'о)траб '

Это соотношение должно быть дополнено естественным для бинар­ ной системы ограничением С2 ^ А/0 независимо от отношения сигнал/помеха.

Будем теперь переходить от бинарного случая к случаю М = 3, 4, 5, . . . По мере увеличения М требование малой взаимной коррелированности сигналов приводит к необходимости расширять их полосу. Если принять, что pik= —i/(M—1), то выражение для

вероятности ошибки имеет вид [3]:

(В. 51)

(формула относительно точна при аргументе интеграла вероятности больше 5). Из сравнения формул (В. 48) и (В. 50) видно, что с рос­ том М уменьшение вероятности ошибки происходит медленно (аргумент функции Ф приближенно пропорционален loga М). В большинстве случаев этот рост не окупается усложнением си­ стемы связи и может быть скомпенсирован увеличением мощности.

Сказанное выше строго относится к случаю приема точно из­ вестных сигналов при наличии нормальных помех с равномерным спектром. Произвести соответствующий анализ в более общем случае в настоящее время не представляется возможным. Учиты­ вая, что прием с оценкой параметров канала сходен в определен­ ном смысле с приемом точно известных сигналов (гл. 4—6), в на­ стоящей работе рассматриваются в основном системы бинарной связи.

5.Широкополосные, узкополосные

ишумоподобные сигналы

Целесообразно ввести следующие определения.

Сигналы (колебания) называются широкополосными и узкополос­ ными, если для них соответственно

Д/0Г0> 1 , А/о^о — 1,

где А/„ — полоса частот; Тс — длительность сигналов. Произве­ дение i?= A /07’0 иногда называют базой сигналов.

Колебания, для которых полоса гораздо меньше средней ча­

гДе 'сюш — эффективная длительность импульсного отклика ка­

20