книги из ГПНТБ / Филиппов, Л. И. Основы теории радиоприема дискретных сигналов (синтез и анализ) [монография]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория радиопередачи дискретной информации является раз­ вивающейся областью радиотехники. Уже к моменту выхода в свет этой книги некоторые ее утверждения могут устареть. Тем в боль­ шую опасность попал бы тот, кто попытался очертить пути ее развития в будущем.

Наибольшую ценность в прогнозировании имеет постановка задач. При этом следует иметь в виду, что постановка задач, даже не в математическом смысле, должна предполагать, во-первых, определенную степень ясности в понимании путей решения и, во-вторых, реальную выполнимость необходимых операций, как вычислительных, так и физических.

Укажем поэтому лишь некоторые задачи, которые следовало бы решить в ближайшем будущем.

■ Снятие ограничений на свойства канала. В настоящей книге рассматривались каналы с медленно изменяющимися параметрами (требование \ Тс) при нормальном законе распределения пара­ метров (« fc, a j. Кроме того, последние чаще всего предполагались некоррелировэнными.

Предположение о медленном изменении параметров, как мы видели, позволяет построить изящную и весьма прозрачную тео­ рию оптимального радиоприема, найти аналоговые структурные схемы радиоприемников и произвести их анализ. В работе [8 ] сделана попытка расчетов в более общем виде произвольно-быстро изменяющегося канала. Однако четкой инженерной интерпретации эти результаты пока не поддаются, а анализ провести до конца не удается.

Предположение о нормальном законе распределения парамет­ ров оправдывается не только сравнительной простотой решения, но и тем, что этот случай («дисперсионный канал») является наи­ худшим с точки зрения искажений. Тем не менее это предположе­ ние может оказаться излишне осторожным, так как па самом деле канал может содержать значительную «зеркальную» составляю­ щую, снижающую при прочих равных условиях вероятность ошибок. Поэтому рассмотрение других каналов представляет практический интерес.

172

Снятие ограничений на свойства помех. Принятое в книге предположение о равномерном энергетическом спектре помех

ио нормальном законе их распределения в некоторых случаях может не соответствовать действительности. Если бы энергетиче­ ский спектр был неравномерным, но стационарным (неизменным во времени), то можно было бы строго решить задачу о синтезе излучаемых сигналов и о построении оптимального приемника. При этом, очевидно, энергию в спектре сигналов следовало бы распределять не равномерно, а преимущественно в областях, где помехи малы. Однако практический спектр помех нестационарен

инеобходимо решать задачу об его отслеживании.

Помехи в когерентном канале связи могут иметь существенно не нормальный закон распределения, например иметь ярко вы­ раженный импульсный характер. Чаще всего, однако, имеет место некоторая смесь импульсных и нормальных флуктуационных помех. Можно просто оценить влияние импульсных помех на най­ денные оптимальные приемники. Но можно сформировать и решить задачу об оптимальном приемнике для смешанной помехи. Воз­ можно, что такой приемник будет самоприспосабливающимся к условиям помеховой обстановки.

Экспериментальные исследования свойств каналов. Алгоритм работы и блок-схема оптимального радиоприемника существенно зависят от свойств реальных каналов и помех. Поэтому, если мы не желаем попасть в область абстрактного теоретизирования, экспе­ риментальное исследование свойств различных каналов и помех в них является первоочередной задачей. Эта задача развилась в последнее время в самостоятельную научную ветвь, названную отождествлением. Существует большое количество методов и принципов решения этой задачи. Их систематизация, выяснение областей применения, особенностей, а следовательно, преимуществ и недостатков является важной практической и экономической задачей.

Обладая же хорошими методами исследования, следует при­ менять их к изучению свойств все новых каналов передачи сигна­ лов.

Физико-математическое моделирование каналов. После того как статистические свойства некоторого канала изучены, возни­ кают различные предложения по применению в нем различных оптимальных и подоптимальных приемников. Конечным крите­ рием спора различных методов является практика, т. е. прямой эксперимент. Однако такой эксперимент может оказаться весьма громоздким, длительным и дорогостоящим. В ряде случаев эко­ номически выгоднее построить физическую модель канала, на кото­ рой и произвести сравнение различных радиоприемных устройств.

Подобное моделирование включает два достаточно различимых этапа: создание адекватной математической модели и ее реализа­ ции в виде физических элементов. Ввиду сложности многих реаль­ ных каналов последняя задача может оказаться весьма сложной

173

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Оптимальный приемник должен вычислять и сравнивать или апостериорные вероятности сигналов s (t, 0) и s (t, -к) при условии,

mq. Так как мы имеем предыдущую реализацию у (t), то ее следует использовать для вычисления р fs (£) ], т. е. использовать для расчета величину р [s(0|^i (£)]• Последнее можно найти по фор­ муле Байеса

p \ s ( t ) \ y i (I) 1 = p- [yi ( = р f a ( * ) I^т p i s m cm . i)

где после знака (—) опущены коэффициенты, несущественные при сравнении.

Примем, что р [s (t) ] есть некоторое равномерное распределе­ ние, тогда из (П 1.1) следует

175

Многократный интеграл разбивается на произведение однократ­ ных, которые легко вычисляются. После вычисления и отбрасыва­ ния несущественных при сравнении коэффициентов получим

ГW о

Из формул (П 1.5) и (П1.6) следует, что нриемник должен вычис­ лять и сравнивать с нулем величину

2Та

\ У\ (t) У2(*) dt.

Схема приемника, производящего соответствующие операции, изображена на рис. 6. 3.

Рассмотрим теперь прием сигналов с произведением А /с7’с 1. Ошибка происходит, если при изменении фазы последующего сигнала относительно предыдущего принимается решение, что фаза не изменилась, и наоборот. При равной вероятности обоих событий (фаза изменилась и фаза осталась той же) полная вероят­ ность ошибки равна вероятности ошибочного решения в одном из

этих случаев.

Рассмотрим случай, когда фазы предыдущего и последующего сигналов совпадают. Тогда на выход решающей схемы подается

176

вел и чи н а

rr0

*1 = j [« (*) + ’h (t)1 [S (t) + n2(«)] dt, 'J'o

где помеха % (t) относится к интервалу (О, Т0), но в результате сдвига по времени на величину Та находится на интервале (Г 0, 2ГС), а я2 (if) относится к интервалу (Гс, 2Та). Эти составляющие независимы между собой. Ошибка произойдет, если rj окажется меньше нуля.

Так как рассматриваемые реализации имеют конечную полосу, то величину rjможно представить через выборки из них следующим образом:

771

где индекс / означает, что данная величина представляет собой выборку в момент времени / 2тс/Д ш0 из соответствующего колеба­ ния, а волнистая черта сверху означает, что выборка взята из сопряженного по Гильберту колебания. Для белого шума все слагаемые выражения г; являются независимыми, поэтому харак­ теристическая функция 0 (у) случайной величины rj равна произ­ ведению характеристических функций ее слагаемых:

m

Ч») = П М у) М и>-

7 = 1

Если сначала предположить, что Пу — известная величина, то /-е слагаемое 1/2Д/е rcly) ( s га2Д будет случайной величиной, распределенной по нормальному закону, для которой характе­ ристическая функция известна [5] и параметры которой зависят от Пу. Усреднив далее характеристическую функцию по распре­ делению величины Пу, получим характеристическую функцию /-го слагаемого

Обратное преобразование Фурье функции 0 (о) является распре­ делением величины т):

р(т])=-%г 6 (i) ег^Чи —

Для нахождения вероятности ошибки достаточно знать распреде­ ление величины т] только в области отрицательных значений. Подынтегральное"5 выражение (П1.8) в верхней полуплоскости комплексного аргумента v=x-\-iy не имеет никаких особенностей, кроме полюса m-го порядка в точке v=i/N0. Для отрицательного значения т) оно удовлетворяет и другим условиям леммы Жор­ дана. Поэтому, применяя теорему о вычетах для 7|<[0, получаем

знать дифференцируемую функцию в окрестности точки t=0. При этих значениях t можно, подставив (П1.9) в (П1.10), сначала проинтегрировать, а затем продифференцировать, так как интег­

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

1. Рассмотрим вероятность ошибки разнесенного приема со сложением после обработку по методу ОФТ, считая, уто параметры

№

сигналов известны. Величина, которая сравнивается с нулем,

равна

П

закону (П1. 9). Характеристическая функция распределения ве­ личины Tj равна произведению характеристических функций

где Eyj= ^ 1EIc— суммарная энергия всех сигнальных составляющих.

Л-=1

Из сравнения этого выражения с выражением (П1. 7) следует, что прием по такому методу эквивалентен приему широкополос­ ного сигнала с произведением (Af,.Ta)B=mn, т. е. с более широкой полосой. Так же как и в случае приема широкополосного сиг­ нала, здесь выполняется условие (Af0T0)a—mn ^ п. В дальнейшем будем рассматривать только вероятность ошибки широкополосного сигнала, прошедшего диффузионный канал, имея в виду, что для общего метода разнесения нужно вместо Е подставлять Es, а вместо т — произведение тп.

2.При передаче сигналов через диффузионный канал входная

нала предположим, что на интервалах (О, Тс) и (Г„, 2Г0) величины ак и З.к сохраняют свое значение. Тогда вероятность ошибочного решения для каждой конкретной пары входных реализаций будет иметь вид (П1. 11), где энергия сигнала Е будет случайной вели­ чиной. Полная вероятность ошибки найдется путем усреднения выражения (П1. И) по распределению энергии.

Энергия сигнальной составляющей при единичной удельной энергии колебания s (t) и при условии, что его энергетический спектр имеет прямоугольный вид, равна

я = к2=1 («! + *!).

где случайные величины <*к и йк распределены по нормальному закону.

Предположим сначала, что ак и &к имеют нулевые средние и их корреляционная матрица является невырожденной и имеет

Рассматривая в выражении (П1. 11) дифференцируемую функцию в окрестности t = О, замечаем, что интегрирование по Е можно произвести до дифференцирования. Проделав вычисления, получаем

3. Если ад и afc независимы и имеют равные дисперсии о2, то имеет место равенство всех собственных чисел \j одной величине а2. Для этой ситуации предположим также наличие зеркальных ком­ понент в канале. (Средние значения afc и ак равны соответственно ак и ак-7^=0.) Распределение энергии имеет вид [22J:

где Тв= 1/Дfa.

Коэффициент взаимной корреляции между величинами afcl и ад2

180