книги из ГПНТБ / Филиппов, Л. И. Основы теории радиоприема дискретных сигналов (синтез и анализ) [монография]
.pdfнова для всех |
к)4.* Пусть п (t) — стационарная помеха, Согласно |
|
формулам (7.51) получаем |
||
___ |
, |
■‘ о________ |
РА = |
|_%J |
| nif^jn (t2) Ulk (У Uu (t2) dt^dt^, |
о
(7. 59)
Обозначим функцию автокорреляции помехи через
R (У Ч) ~ п ( у п (У-
Тогда
' о
РлР/ = у 5 J (^i Ч) Uyjc (Ч) U ц (У dtxdt2. (7.60)
Полученную формулу можно трактовать так: сначала через ли нейный четырехполюсник с переходной характеристикой R (т) пропускается сигнал Uu (t2), затем выход этого фильтра (обо значим его через X (У ) домножается на Ulk ( у и интегрируется. Но
5и1к (Ч)х (Ч) d4 = \ 5&и1кН Gx (ш)dm
(значение функции взаимной корреляции Ulk (У и X (У при ну левом сдвиге). Спектральная функция величины X (У равна произведению спектральной функции l/ц (У , GVl (с о ), и преобра зования Фурье для R (т), являющегося одновременно энергети ческим спектром. Поэтому
\ И |
И (“>) * “• |
С761) |
Используя теорему запаздывания и формулы (7. 59), получаем
GUt (СО) G*Uk(со) = |Go (Ш) |* exp [/ (I - к) ^ с о ],
где Go (со) — разность спектров бинарных сигналов, т. е.
G0 (ш) =GS(t,.»,) Н GS—(t, «!,) И,
при этом |
|
|
|
|Go (со) |2= |
G y, -f-G y , OTj) — 2 Re Gs(ii m,)Gy, ,flj). |
||
Подставляя |
это выражение в (7. 61), |
получаем |
|
^ |
s 5 |
И (I ё.(<1».)|2+ 1 |
Is - |
4 Из структуры оптимального приема, приведенного в § 4.6, видно, что при точной оценке параметров помеха пк одинакова во всех каналах.
1| Л. И. Филиппов |
161 |
— 2 Re Gs(/) ?)Il) («>) G*(ii ,,h) (ш)} exp j (l — k) |
cuj dm= |
|
|
||||
= |
TZ~; j R [X— |
(l — k) £ r o К (x) + x2 (X) — |
*12 (X) — *21 (X)} dx< |
||||
где Xj (x) |
и |
x2 (x) — функции |
автокоррелляции, |
a x12 (x) и x21 (x) — |
|||
функции взаимной корреляции сигналов sx (t, |
и sx (t, m2). |
Ана |
|||||
логичные |
формулы |
можно |
получить для величин |
и |
pfcPz. |
||
Формулы значительно упрощаются, если предположить, |
что би |
||||||
нарные сигналы имеют прямоугольный энергетический спектр и что применяется фазовая телеграфия. Тогда при единичной удель ной энергии бинарных сигналов
|
1^ Н 12= ^ о (!- * )> |
|
|
P*Pi= P*Pi |
\ Gr(u>)exp [/ (l - |
к) ~ со] dm = |
(7.62) |
|
_ 2л D Г/7 7.4 2n |
||
|
|
||
|
1 А = - Р ; = - ^ |
й [ ( ! - А : ) ^ ] . |
|
Рассмотрим теперь R (x). Будем считать, что помеха состоит из белого шума и из ряда независимых узкополосных колебаний. Вследствие независимости функция автокорреляции равна сумме функций автокорреляций составляющих. Белый шум имеет функ цию автокорреляции в виде 8-функции.
Представим к-ю узкополосную составляющую в следующем виде:
п к (*) = А к (*) cos mkt — Вк(t) sin mkt,
где A k (t) жR k (t) — низкочастотные стационарные нормальные случайные процессы. Будем считать, что эти процессы незави симы между собой и имеют одинаковые функции автокорреляции:
Аь (*) Аь (* — х) = |
Вк(t)Bk (t — x) = |
rk(х), |
А* (*) в к(* ■ -х) = |
А* (* - х)Вк(*) = |
0. |
Тогда
R 1C(х) = |
пк W п к (f — х) = А к (*) А к (t — х) cos тк t cos тк (t — х) — |
— |
А к (*) А к (* — х ) c o s ш к * c o s ш к — х ) — |
—Ак(t)B k(t — х) cos сод. t cos (Oj. (t — x) —
—АА* — х)5 й(х) cos “ * (*— x) sin wkt +
+ В kit) В k ( t — x) sin ш* t sin |
(t — x) = rk (x) cos ш*т. |
(7 .63) |
||
Если колебание |
nk (£) имеет полосу Дш^. <( Дсв0/га, то |
(£) |
можно |
|
считать постоянной |
на интервале х |
тг2тс/До)0, а поэтому |
можно |
|
162
счи тать, что
Д * (х) = гл (0 ) COS CUfcT,
где rfc(0) равно интегралу от энергетического спектра помехи reft(i), в чем нетрудно убедиться, подставив в (7.63) т = 0.
Просуммировав функции автокорреляции составляющих по мехи, получим
Я(Т): |
Аыс/У0 sin [(Амс/2) т] |
|
п |
(Aio02/ ) т COS со0т + 2 г* ^ cos t0fcX' (7- |
|
Зная функцию корреляции по формулам (7. 57), (7. 58), можно рассчитать вероятность ошибки при ' станционных помехах в предположении когерентного приемника, оптимального при равномерной помехе. Расчет может быть произведен для конкрет ных типовых ситуаций. Далее должно быть произведено усредне ние ошибки по ситуациям. Для выполнения численных расчетов необходима разработка адекватной модели помех, основанной на экспериментальных данных.
7.5. Расчет рабочих характеристик в райсовском канале связи
Канал называется райсовским при наличии «зеркальной» составляющей в принимаемых сигналах. В зависимости от способа разнесения флуктуации коэффициента передачи по отдельным ветвям канала будут разными. При частотном разнесении адек ватным представлением канала при наличии зеркальной состав ляющей являются райсовские флуктуации коэффициента передачи по всем ветвям с равными дисперсиями. В [14] рассчитан случай при независимых флуктуациях в ветвях разнесения. Случай за висимых флуктуаций пока не поддается расчету.
При использовании временнбго разнесения (4. 1) наиболее близким представлением канала будет описание его релеевскими флуктуациями по всем составляющим, кроме одной, соответствую щей времени запаздывания зеркальной составляющей. Рассмотрим этот случай.
Будем предполагать, что измерение параметров производится точно. Кроме того, предположим, что флуктуации в ветви раз несения, в которой содержится зеркальная составляющая, не зависимы от флуктуаций в остальных ветвях. Флуктуации в осталь ных ветвях релеевские и учет их зависимости между собой не пред ставляет трудностей для расчета.
Обозначим модуль коэффициента передачи ветви разнесения, в которой содержится зеркальная составляющая, через (aj'-j-ajj)1/* (точное значение параметров предполагает знание начальной фазы, переменность которой учитывается позже усреднением по ней). Энергия сигнала в этой ветви разнесения при единичной энергии передаваемого сигнала равна а = «о + йоСуммарная энергия
11* |
163 |
оста л ьн ы х ветвей разнесен и я р авн а
(V. 65)
Распределение этой величины известно, и оно имеет вид
|
р ( Е 1) = |
X r '~^Х|-(~ E W |
, |
0 < ^ < 00, |
(7.66) |
||||
|
fc=1 |
|
— X;) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1фк |
|
|
|
|
|
|
|
где Afc— собственные |
числа |
корреляционной |
матрицы |
величин |
|||||
ак и afc. |
Предположим сначала, что величина а постоянна и из |
||||||||
вестна. |
Тогда суммарная |
энергия |
по |
всем |
ветвям |
разнесения |
|||
(Е =Е 1-\-а) распределена |
по |
закону |
|
|
|
|
|
||
|
\g~2exp [—(Е — а)12\к] |
|
а < £ < |
0. |
(7.67) |
||||
|
р (£> = 2 |
2 П |
(At-Х ,) |
|
|
||||
|
к=1 |
|
|
|
|
|
|||
1фк
Вероятность ошибки может быть найдена усреднением вероят ности ошибки в случае точно известного сигнала по величине энер гии. Вероятность ошибки при известных параметрах определяется по формуле
хР ОШ1 = |
1_ |
— Ф |
Уа (1 —%)' |
(7. 68) |
|
2 |
|
- 2^ . |
|
где х — коэффициент корреляции между бинарными сигналами. При случайном изменении параметров канала х не будет меняться, если бинарные сигналы, находящиеся в различных ветвях разне сения, ортогональны. Действительно, в этом случае
{ ° \ 1 |
“ (Afc ft’ |
^ |
|
| 2 |
2 l-akSl/e ft’ т г) |
|
|
0 |
— aksJk (t, m2)] dt = \ 2 |
4 ) |
|
|
|||
|
К + * |
||
|
To |
|
|
xl = |
\ SVc ft’ mi) su- ft’ m2) dt- |
|
|
Из формулы (7. 68) можно видеть, что при сделанных пред положениях наличие корреляции бинарных сигналов изменит в конечном счете только масштаб по энергии. То же самое можно сказать и о формулах, которые были получены для релеевского канала. Там были сделаны предположения об ортогональности сигналов (х=0). С учетом корреляции масштаб д на графиках нужно увеличить в (1 —х) раз 5.
5Можно показать, что в системах с оценкой параметров существует оптималь ное значение •/. > —1.
164
Определим теперь вероятность ошибки для райсовского ка нала, усреднив ошибку (7. 68) по распределению (7. 67):
Р = L |
y |
X* 2 exp (g/2Xft) |
X |
|
|
|
|
Г 0Ш |
А |
/ \ |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
П ( ч - м |
|
|
|
|
|
|
|
1фк |
|
|
|
|
|
|
|
со |
Ф Vg (1 — х) |
|
|
|
|
|
|
X |
exp (—EI2\k)dE. |
(7.69) |
||
|
|
|
|
2 \/Ж |
|
|
|
Если |
в |
этой формуле |
сделать замену |
Е (1—х )= £, |
то |
увидим, |
|
что введение коэффициента корреляции равносильно |
увеличению |
||||||
собственных чисел \к и величины а в (1—-/.) раз. Это и |
служит |
||||||
подтверждением того, что введение коэффициента корреляции приводит к изменению масштаба в конечных формулах.
|
Проделав |
интегрирование, |
получим |
|
|
||
р |
|
\Я“1 |
1 — Ф '/а (1 — х) |
|
|
||
2 |
п |
|
|
||||
|
|
|
2'/ЖпО J |
|
|
||
|
fc=l П (x k — h ) |
|
|
|
|
|
|
|
1фк |
|
|
|
|
|
|
|
А к(1 —х) |
1 — ф |
V X fc ( l - x ) + 2 V V o у ! а |
( 1 - х ) ' |
. (7. 70) |
||
|
^xfc (1 -Х ) + 2Л0 ^ |
“ |
L |
^ oX fcC l-x) |
|
||
Это выражение можно упростить, представив |
в виде |
|
|||||
|
|
|
|
|
XI (*•к — h) |
|
|
|
|
|
|
|
1фк |
|
|
|
X А к(i - х) + 2N0 |
1 — Ф ^Xfc (1 — х) 4 - 2Nо \fa( 1 - х ) |
(7. 71) |
||||
|
|
|
teN0ХЙ(1 - |
*) |
|
||
В полученном выражении теперь необходимо произвести усреднение по величине а. Однако оно может быть использовано для расчета помехоустойчивости райсовского канала при доста точно большой зеркальной составляющей. Действительно, если п достаточновелико, то распределение величины а будет близким
к распределению 8( а — а), где 8— дельта-функция (а ^ \/а|). В этом случае формула (7. 71) будет верной при подстановке а вместо а.
В общем случае величина а распределена по закону, который можно получить путем интегрирования двумерного закона р (а, <р) по начальной фазе:
1 а + а% а0V а
где |
а02= «з - f й2; |
02_ |
(ao _ a0)2= (aft — |
Вероятность |
ошибок при |
этом |
равна |
|
|
СО |
|
|
ц -1 |
ехр |
X |
|
|
||
|
|
(1 — *) + ЗЛ'о |
|
|
!фк |
|
|
X I |
|
^ ( 1 —х) + 2N0V/a(l — х) |
|
|
AA'0Xfc(1 - -л) |
|
|
|
|
|
Если флуктуации в ветвях разнесения независимы, то вместо Xfc следует подставлять ХЛ.= о|.
7.6.Расчет рабочих характеристик для случая помех
снеравномерным энергетическим спектром
1.До сих пор предполагалось, что энергетический спектр помех постоянен во всей полосе частот, занятой сигналами. Рас смотри»! прием в условиях, когда энергетический спектр N ( со) существенно неравномерен. Такой вид помех иногда называют
сосредоточенными (в |
отдельных участках спектра) помехами. |
В работе [1] показано, |
что если помехи имеют нормальный закон |
распределения, то оптимальным является приемник, производя щий «выравнивание» энергетического спектра при помощи вход ного фильтра радиоприемника.
Рассмотрим рабочие характеристики подоптимального радио приемника, который борется с сосредоточенными помехами путем «выключения» соответствующих участков спектра сигналов и по мех. Если неравномерность энергетического спектра велика (что имеет место в коротковолновом диапазоне частот), то этот метод будет близок к оптимальному.
Рассмотри»! для определенности по»1ехоустойчивость некоге рентного радиоприемника частотно-разнесенных сигналов, что эквивалентно приему широкополосных сигналов радиоприемни ком, описанным в 4. 7, но без оценки параметров канала.
Вероятность ошибок при некогерентном приеме бинарных сиг
налов при известной мощности |
помех в полосе сигналов Дш0 |
|
определяется формулой |
[9] |
|
Р П |
1_ |
(7. 73) |
ОШ |
2 |
4N ,+ B |
|
|
|
166
где Ё — средняя энергия сигналов; Na — средняя спектральная плотность помехи N ( со).
Будем предполагать, что неравномерный энергетический спектр N ( ш) создан множеством узкополосных (сосредоточенных) помех, с полосами намного меньшими, чем полосы Д шк каналов разбиения сигнала, так что узкополосная помеха либо полностью попадает в полосу Дш^., либо не попадает.
В распределение амплитуды напряженности поля вносят вклад два фактора: флуктуации амплитуды каждой помехи за счет ка нала, предполагаемые релеевскими, и случайность средней мощ ности помехи. Предположим, что вся совокупность средних мощ ностей сосредоточенных помех представляет выборочное множество с экспоненциальным законом распределения со средним значе нием а. Производя в соответствии с этим предположением усред нение релеевского закона распределения, можно получить, что амплитуда U напряженности поля сосредоточенных помех под чиняется закону
|
о (£0=4 *•$=)■ |
(7'74) |
который по |
своему характеру близок к |
нормально-логарифми |
ческому. (К0 |
(х) — цилиндрическая функция мнимого аргумента |
|
[24].) |
|
|
Совокупность центральных частот сосредоточенных помех будем считать пуассоновской системой точек со средней частотой повторения р (Цкгц).
Наряду с сосредоточенными предположим наличие флуктуационной помехи, двухсторонняя спектральная плотность N0 которой намного меньше средней спектральной плотности сосре доточенных помех, так что
N0^al2Auk = Nn. |
(7.75) |
2. В соответствии с предположенной моделью помехи ее энер гетический спектр можно представить в виде
N П = Ко + у 2 A i * i (Ш- ш/>’ |
(7-76) |
J |
|
где Aj, UK и gj (ш) — соответственно средняя мощность, |
централь |
ная частота и форма энергетического спектра /-й сосредоточен
ной помехи (нумерация произвольная). |
Так как интегрирование |
||
энергетического спектра /-й |
сосредоточенной |
помехи ^j^Ajgj X |
|
X (cd— to )] по всей области |
частот (— со, оо) |
дает ее мощность |
|
Ау, то |
|
|
|
СО |
|
|
|
j ^.((0 — (Dy)du> = |
l. |
(7.77) |
|
о |
|
|
|
167
Средняя спектральная плотность помех в полосе Aoifc равна
ш0+4шй/2
S «(.)Л.=лгс + 5^ - 2 ^ х
“ о- ^ “ */2 |
|
У |
|
|
ш0+Дш*./2 |
|
|
X |
$ |
— Uj)d<s> = N 0 - \ - z . |
(7.78) |
|
ш0—4<ufc.'2 |
|
|
Рассмотрим величины |
|
|
|
|
шо+4ш*/2 |
|
|
i j = |
\ |
gj(u — Uj)du. |
|
Они являются случайными, равными единице или нулю, в зави симости от того, попадает сосредоточенная помеха в полосу Дшд. или не попадает. Их статистические свойства определяются свой ствами пуассоновской системы точек.
Характеристическая функция случайной величины z равна
0» = е*Р {iw2^rfc2 V y } ’
где усреднение производится по всем А . и ик. Производя усредне ние по Шу, получаем
0Д«) = ехр{рАШл[ е х р ^ - 1 ] } ,
где усреднение необходимо произвести по всем А .. Подставляя в эту формулу характеристическую функцию экспоненциального распределения 9^ (у/2Д ш,.)=ехр (ivA!2Дшл.) и взяв обратное пре образование Фурье, получаем плотность вероятности распреде ления величины z:
р (z) = exp (— (ЗДи>*) 8(z) - f у |
^ exp {— РДшА— |
^2 ] / * |
где ly (х) — функция Бесселя мнимого аргумента [24]. |
||
Величина ехр (— рД шк) |
является вероятностью |
непопадания |
сосредоточенных помех в полосу Д и>к [9]. Очевидно эта величина на практике не может быть очень малой и, наоборот, величина рД coA не может быть большой. С учетом этого в последней формуле,
произведя разложение в ряд по степеням |
рД сой, можно ограни |
|||||
читься |
двумя членами. После нормировки получаем |
|
||||
p (z )~ |
1 +рДо), |
2 |
PAa)fc e -* lN n |
I |
|
|
N .. |
~ |
|
|
|||
|
|
|
(pAMfc)2 2 |
J |
(7. 79) |
|
|
|
|
|
2 m * |
;• |
|
|
|
|
|
|
||
168.
3. Теперь с учетом (7. 73) и (7. 79) нетрудно получить вероят ность ошибочного распознавания бинарных ортогональных сигна лов при передаче их по одному или нескольким каналам. В случае передачи по одному каналу имеем
|
|
00 |
1 |
|
Ё |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
р |
ОШ -------- |
S 2 |
2 |
H N 0 + » )+ B . |
р (z) dz. |
|||
Производя интегрирование с учетом того, |
что N0 Ntt, получаем |
|||||||
РОШ |
1 - { 2 [ 1 |
+ |
|ЗДи,, |
(f^ * ) 2II- 1 v |
||||
|
2 |
i |
х |
|||||
|
X {1 — |
^ e**/*Et ( — |
|
|
^ -f |
|||
|
+ |
( | ) 2ем т (— f |
)}, |
(7. 80) |
||||
где qn=E/Nn; El (х) — интегральная показательная функция [24]. При передаче сигнала по нескольким частотным каналам бу дем предполагать следующее правило работы приемника по борьбе с сосредоточенными помехами. Если сосредоточенные помехи попадают во все парциальные каналы, то невыключениым оста ется один канал с минимальной средней мощностью сосредоточен ных помех. В противном случае все каналы, пораженные помехой, выключаются. Для этого приемник должен предварительно
анализировать помеховую обстановку.
Обозначим вероятность ошибочного распознавания при работе в канале с минимальной по средней мощности сосредоточенной помехой через Р0щ,- Далее обозначим через Рп= ехр (— рДсо*.) вероятность непопадания сосредоточенной помехи в парциальный канал. Пусть число парциальных каналов равно п. Если остались невыключенными к парциальных каналов, не пораженных сосре доточенной помехой, то вероятность ошибок находится из формулы
(7. 73) с учетом того, |
что Е уменьшилось в к/п раз и NB= N 0, т. е. |
|||
Р |
__ р н |
1 |
(,*/» ) Я |
(7.81) |
|
0Шк |
om\nN0J 2 2 |
4iv0 + (к/п) Ё |
|
Полная вероятность ошибок находится путем усреднения .Рошд. с учетом биноминального закона распределения числа невыключенных каналов:
Рш = 2 ( 1 - Р »г* рц с;р 0Шк. |
(7.82) |
В этой формуле неизвестной является только Рт0о. Определим ев. Распределение минимальной из п независимых случайных вели чин, имеющих одинаковое распределение р (у), находится по фор муле
169
р ( О |
dzx, J Р (у) dy |
Распределение р (у) средней спектральной плотности сосредоточен ных помех в полосе Ашк при условии, что хотя бы одна из них попала в эту полосу, находится из (7. 79) заменой z на у, отбра сыванием 8( у ) и нормировкой. С учетом малости [ЗДсо;. получаем
Р ОО -----------11- Гг г {(1 ~ d ) j r |
+ |
|
|
|||
1 + |
-------- 1 |
|
« |
|
|
|
‘ |
п |
|
|
|
|
|
+ d ('I — d^ 1 ) |
^ er«'M + d*J L z L е- ’"»/*»}, |
(7. 83) |
||||
где |
|
|
_ |
№<»к |
|
|
|
|
d |
|
|
||
|
|
|
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведя далее усреднение (7. 73), с учетом того, |
что Na = |
N0-f- zu |
||||
и N0<^Nn, получаем |
|
|
|
|
|
|
ош0 ‘ |
|
1 + ф W |
b ( ? ) * ' ( - ? |
) x |
|
|
|
|
|
||||
(7.84)
Подставляя (7. 81) и (7. 84) в (7. 82), получим формулу полной вероятности ошибок.
4. При большом п вероятность попадания сосредоточенных помех во все каналы (1—Рп)” будет пренебрежимо малой. Поэтому можно считать, что все каналы, пораженные сосредоточенной помехой, выключаются. Тогда в формулу (7. 82) в качестве Рото нужно подставлять величину, получающуюся из (7. 81) подста новкой &=0. Биноминальное распределение при большом п ста новится близким к нормальному и сумму (7. 82) можно заменить интегралом. Тогда
Р А 1~ Р а) |
п {х~ Р „Р |
П |
2Р-В(1 —Р-а) |
Функция, представляющая нормальный закон распределения ве
личины х, |
в последнем выражении имеет максимум в точке х= Р „ |
и ширину |
(по вероятности 0,9998), равную 3 [Ри( 1 — Р п) / п ] ‘/а. |
При большом п функция Раот(xE/N0) в пределах этой ширины будет меняться мало и ее можно вынести из-под знака интеграла
со значением в точке |
максимума х —Рп. Оставшийся интеграл |
будет приблизительно |
равен единице. Поэтому |
1 7 0