книги из ГПНТБ / Филиппов, Л. И. Основы теории радиоприема дискретных сигналов (синтез и анализ) [монография]

ченное выражение для вероятности ошибок может быть обобщено на случай зависимых флуктуаций.

Действительно, при точной оценке параметров принимаемые сигналы становятся фактически точно известными и вероятность ошибки при этом зависит лишь от энергетики приема. При флук­ туации параметров канала эта энергия изменяется. Если распре­ деление энергии известно, то вероятность ошибок можно найти, усредняя по энергии сигналов вероятность ошибок, найденную при точно известных сигналах *.

Но из [11] следует, что распределение энергии для релеевского канала с зависимыми а-к, ак такое же, как и при независимых за­ мираниях, но с дисперсиями о|, замененными на Хк. Поэтому формула для вероятности ошибок, полученная для случая разных дисперсий, верна и для случая зависимых замираний после за­ мены а| на \к. После некоторых упрощений она может быть пред­

[ВД — сопряженные B.k величины]. Собственные числа Xft опреде­ ляются как корни характеристического уравнения корреляционной матрицы, т. е. уравнением

det IL — XII = 0,

где det означает определитель; I — единичная матрица; X — не­ известное уравнения.

формула (7. 26) предполагает, что собственные числа Xfc раз­ ные. Если будут иметься одинаковые, то формула будет иметь несколько иной вид. В каждом конкретном случае можно полу­ чить соответствующую формулу. В частности, для случая равных1

1Так сделано, например, в [14] для случая райсовского канала при равных дисперсиях и независимых флуктуациях величия ак и ак.

151

Ад. (что соответствует равенству дисперсий а|= а2= Ал. и независи­ мости ак, йд.) величины В{к~0. Для этого случая выше нами полу­ чена расчетная формула и построены графики вероятности ошибок.

В случае, если корреляционная матрица диагональная (Bik= 0), а диагональные элементы (дисперсии о|) различные, собственные числа Afc= о| и формула (7. 26) превращается в фор­ мулу, которая получена выше для случая разных дисперсий и независимых флуктуаций.

7.3.Некогерентный метод приема в релеевском канале связи

иего сравнение с когерентным

В гл. 4 были синтезированы приемники широкополосных сиг­ налов без оценки параметров канала и с их оценкой. Оптимальным является второй способ приема как использующий более досто­ верную апостериорную информацию о канале связи. Однако пред­ ставляет интерес сравнение вероятностей ошибок, получаемых при приеме обоими методами.

Найдем вероятность ошибок при некогерентном сложении ветвей (лучей).

Из рассуждений, приведенных в § 4.5, следует, что оптималь­ ное некогерентное сложение сигналов, пришедших по разным релеевским каналам, при независимых замираниях должно осу­ ществляться в соответствии с

Рассмотрим помехоустойчивость приемника, работающего по этой формуле, но при фактически зависимых замираниях. Примем,

ортогональны 2. При этих условиях, как нетрудно видеть, Ъг и Ь2 являются независимыми.

Пусть в принятом векторе-реализации содержится сигнал, соответствующий Тогда

2 Выше было установлено, что при когерентном сложении приемник, опти­ мальный для случая некоррелированных замираний, остается оптимальным и при коррелированных замираниях. При некогерентном сложении это не имеет места.

152

для случая одинаковых собственных чисел корреляционной матрицы. Пусть, как и ранее, slk (t, гщ) имеют единичную удельную энер-

153

Найдем элементы корреляционной матрицы. В соответствии с (7. 28)

Распределение b2 будет иметь вид, аналогичный (7. 35) и (7. 36). Собственные числа \ к в этом случае найти просто, так как сиг­ нальные составляющие ъ А 2кш Агк отсутствуют и поэтому корре­ ляционная матрица диагональная. Собственные числа при этом равны диагональным элементам

Если обозначим ч=Ь1—Ь2, то по известному распределению величины *1 вероятность ошибки определим как

о

(7. 40)

Величины bt и Ъ2 независимы, поэтому распределение величины V равно свертке распределений величин Ьх и Ъ2. Рассмотрим случай различных собственных чисел. При этом

154

Используя эту формулу, можно для вероятности ошибки получить более удобное, для расчета выражение

Если собственные числа одинаковые (Xlfc= Хр- \2к = Х2), то, исполь­ зуя распределение р фг) и р (Т?2), справедливые для равных диспер­ сий, можно получить, что

Ироизводя интегрирование с применением формул из [24], получим

Формула (7. 47) совпадает с формулой, которая получена для этого , случая в 114],

[55

Ч 76 64 256 1024n

Рис. 7.5. Вероятность ошибок при когерентном (а) и некогерентном (б) приемах

На рис. 7.4, А приведены графики вероятности ошибки для некогерентного приемника в случае равных дисперсий и незави­ симых замираний. Использовалась формула (7. 47) с подстанов­ кой а2=£72 (га+1). Для сравнения на рис. 7.4, Б приведены гра­ фики вероятности ошибки для когерентного приемника, работаю­ щего при тех же условиях.

Для сравнения были также проведены расчеты для случая не­ равных дисперсий по формуле (7. 26) для когерентного приемника и по формуле (7. 45) для некогерентного приемника.

В данном случае, как для когерентного, так и для некогерент­ ного приемника, корреляционная матрица диагональная, поэтому собственные числа определить просто. Было принято при этом, что величина дисперсии о| спадает по экспоненциальному закону в зависимости от номера к. Соответствующие графики приведены на рис. 7.5.

157

7.4. Влияние узкополосных помех на работу оптимального приемника

Рассмотрим влияние узкополосных помех на работу оптималь­ ного приемника широкополосных сигналов, описанного в § 4.6. В соответствии с (4. 19) запишем принятую реализацию в к-й ветви разнесения в виде 3

Будем считать, что измерение параметров аки д.кпроисходит точно. Кроме того, предположим, что бинарные сигналы, относящиеся к разным ветвям разнесения, ортогональны и имеют единичную удельную энергию. Если в принятой реализации содержится

Как и ранее, будем предполагать, что мгновенные значения пк (t) с учетом, узкополосных помех распределены по нормальному закону с нулевым средним. Тогда, как следует из (7. 51), рй и рй также распределены по. нормальному -закону с нулевым средним. Однако. если .при помехах типа белого шума они независимы между собой и'ймеют одинаковые дисперсии, то в общем случае это не выполняется. Будем считать, что корреляционная матрица величин рй и р7с нам известна для всех сигналов. Относительно

3 В частности, при разнесении по времени sk(t, mt)=s[t—А(2л/Дш0), тга?].

158

ик и &k будем предполагать, что это нормальные случайные вели­ чины с нулевыми средними и равными дисперсиями а2. Если из­ вестно распределение величины 7), то при равновероятных бинар­ ных сигналах вероятность ошибки равна

о

Рот= ] Pfo)*|.

Предположим сначала, что величины |3fc и pfc постоянны и из­ вестны. Тогда распределение величины

, ' = 2 [ ( ^ Г = Л + Ь ) ! + ( ^ Т ^ ; + ! ) ’ ]

к=0

На самом деле величины [ik и pfc, а следовательно L, случайны. Для нахождения ошибки Рош величину р (цЩ необходимо усред­ нить по L. Распределение величины L известно [11]:

*=°П (**-**)

1фк

где \к— собственные числа корреляционной матрицы величин (Зд. и рд. (при этом предполагается, что ~кк различны). Тогда вероят­ ность ошибки равна

О(С О

р°ш~ \ р р

—со ^0

159

Рассчитаем внутренний интеграл

[m n r? ] + 2 2 / ' [ s p b 5] к -

Входящие сюда интегралы можно найти в [24]. После вычислений получаем

при разнесенном по времени приеме. В этом случае пк (t) — п (t) (одина-

160