книги из ГПНТБ / Теория автоматического регулирования и управления учеб. пособие
.pdf- 9 -
|
|
|
|
|
|
|
|
_ it |
. к |
|
|
|
AC ~hy ~h(tj »hy -hy (l-e |
r)= hy e T i |
(1-13) " |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-Ji |
|
__ tl |
|
|
|
. A |
..A |
|
|
'T)-hy (l~e r j = |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(1- 14) |
||||
|
~ ( e T - e T }h y ; |
|
|
|
|
|
|||||
|
а з _ e т - e |
- k |
|
|
|
U-t< |
|
|
|||
|
|
7 |
у л ' ~ г " |
|
|
||||||
|
л r |
--------- r s ------- - |
- е |
|
■ |
|
(I-I5 ) |
||||
|
AL |
|
е |
г |
|
|
|
|
|
||
|
Учитывая |
(I—12), |
получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
АС |
» |
1- |
е ' - |
1 -4 - |
= 0,632. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
||
|
Второй способ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
' |
Для определения |
Т |
строится зависимость |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£1- 16) |
которую,согласно |
уравнению (I - I), можем записать в следующем |
||||||||||
виде |
|
d h |
|
к - h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(h) |
d t |
|
7- |
|
• |
|
|
|
£1-17) |
|
График |
представляет |
собой |
прямую, |
которая |
отсека- |
|||||
ет |
на оси |
отрезок |
^ |
|
, а на |
оси Н Ш -к . По |
этим |
||||
отрезкам можно определить постоянную времени |
т |
|
|||||||||
|
Указанные |
способы вытекают |
из |
свойств экспоненты |
й могут |
||||||
быть использованы, если имеется уверенность, что исследуемый элемент является звеном 1-го порядка.
Ь’сли зависимость Jy* *f(h) не изображается прямой, то исследуемый элемент не является звеном 1-го порядка. В случав небольших отклонений этой зависимости от прямой следует че - рез полученные точки провести прямую тан, чтобы получить на иболее близкую annpoKCjMaumo.
Статическое звено 2;-го порядка описывается дифференциаль ным уравнением
- 10 -
|
|
|
|
Рио. 1 - 2 . |
|
|
|
||
|
|
|
|
* Т, t y * |
*ХШ =KXb , |
"(I-I8) |
|||
а передаточная функция |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|||
|
|
|
W(p)=--------- - -------------- |
• |
|
(i- i9 ) |
|||
|
|
|
|
т2У + т , р + 1 |
|
||||
|
Корни характеристического |
уравнения |
|
|
|
||||
|
|
|
Т2гр 1+ Т , р + 1 ~ 0 |
|
|
|
(1-20) |
||
могут быть вещественные или комплексные |
в |
зависимости от |
|||||||
относительного |
коэффициента затухания (таблица I - I) |
|
|||||||
|
|
|
> |
. - Е - |
|
|
|
|
(I -2 I). |
|
|
|
S |
2Тг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
I - I |
Й'Н» |
|
|
К о р н и |
|
Переходный |
процесс |
|||
П/р |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
$ |
># |
Рл *-&.г |
|
|
апериодический |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
£ |
« / |
д . ^ . - о с Т Т Х |
1 |
апериодический |
|
|||
3 |
\ < 1 |
Pu - - c c t j a ) |
|
колебательный |
|
||||
- п -
Си-.шлеконые корни характерны для колебательного процес са и определяется выражением
( 1- 22)
где
а = 3*-. |
C J - 3 &ЗШ . |
21.\‘ |
2V |
Решая дифференциальное уравнение (Т-18) при ^ < / нулевых начальных условиях и единичном ступенчатом воздейст вии на входе элемента, получаем выражение переходной функции
|
h l t l = h v \ji- fa> * * ‘*"<<■>**'»], |
(I. 25) |
||
где |
h4 - кх$х |
|
установившиеся значения выходной величи |
|
|
X |
|
ны; |
|
|
- |
вещественная часть корня; |
|
|
|
(х) - |
мнимая часть корня, являющаяся собствен |
||
|
|
|
ной частотой колебательного |
звена. |
Вещественную часть корня (X еще принято называть коэф фициентом затухании, так как она характеризует скорость за - тухания, т .е .
(X ~ |
(1-2Д) |
Тг |
|
По осциллограмме переходной характеристики |
(рис. 1-3) и |
выражению (1-23) можно экспериментально определить параметры
колебательного |
звена. |
|
^ |
|
|||
|
Коэффициент |
передачи |
Н ш~ |
|
|||
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
Для определения постоянных времени колебательного звена |
||||||
т/ш T, |
по рис. |
1-3 |
находятся |
|
|||
|
|
<X |
=- |
PnJk |
p^hi |
|
|
|
|
Lnhi. |
_ |
(1-25) |
|||
где |
|
|
|
|
T |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
CO = |
2 T |
|
|
|
|
(1-26) |
T
- 12 -
Полученные значения ОС и W подставляю® в выпаде
ния
т |
~ |
2сС |
|
(I--27) |
|
1 |
<Х*+CJ* |
||||
7-* |
|
|
^ |
|
(1-28) |
2 |
~ CKZ+U)Z |
||||
котбрые следуют из (1-22). |
|
|
|
|
|
Докажем существование |
выражений '(1-25) и (1-26). |
||||
Если в ломенты времени |
tl |
и |
t4 |
аналитически опреде |
|
лить амплитуды колебания |
|
/7, |
и |
h^ |
(рис. 1-3) |
Л* = -Лу +h(t4) - -hy +hy[i- ” е * * з / л (u t4 * yjf=
hy |
-of |
тогда |
з - - - f— e |
|
|
7* |
|
» |
A.-olT
h mG |
“ e |
T T ‘
(1-29)
|
|
|
- |
13 |
- |
|
|
|
В моменты времени |
tf |
и |
tj |
существует равенство |
|
|||
|
s i n s i n ( u t 3 +У}=0, |
|
||||||
|
cot4 |
+Y |
|
|
|
ж2тс, |
|
|
|
co^ |
~u>tf |
x 2 9 i. |
|
||||
Отсюда |
CO |
- |
Ж |
- |
. |
I K . |
(1-30) |
|
|
|
b - t , |
|
T |
• |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Для |
определения постоянных |
времени звеньев I -го |
и 2-го |
|||||
порядков можно также использовать'метод, предложенный Я.З. Цыпкиныы / Д -2/.
Если колебательный процесс (рис. 1-4)
записывается уравнением |
(I —18), для которого |
X6x~ A -l(t) , |
тогда в установившемся |
режиме |
|
Ьу шкА . |
(i- 3 i) |
|
Вычитая из установившегося значения мгновенное значение |
||
h i t ) , получаем новую переменную |
|
|
у It) |
mh y - h ( t ) , |
d -3 2 ) |
закон изменения которой, согласно уравнению (I - I8 ), определя ется выпэжением
(1-33)
Выражение (1-33) является однородным, дифференциальный уравнением, решение которого содержит только переходную со ставляющую (рис. 1-5)
, |
(1-3<0 |
где Cf и С2 - постоянные интегрирования;
Pi и Рг ~ К0РНЯ характеристического уравнения.
|
Если разбить ось времени пункции |
y (t) |
но |
произвольные. |
|||||
но равные промежутки времени |
A t |
и |
взять |
три |
следующие |
||||
друг |
за другом ординаты |
у о, |
у г , у г |
|
(рис. l -Ф и 1 -5), то мож |
||||
но доказать, что они связаны между |
собой соотношением: |
||||||||
|
|
У* _ од JL |
■С, |
|
|
|
|
||
где |
|
Уо |
Уо |
|
|
|
(1-55) |
||
2 в - е * |
^ + е я й* |
С |
- |
(Pi+P*)&t |
(1-36) |
||||
|
|||||||||
2В |
|
|
£ |
|
|||||
коэффициент наклона |
примой; |
|
|
|
|
||||
С. величина, характеризующая расстояние точки пересечения прямой оси ординат до координатного центра;
- 15 -
^ |
r U l S U F |
- корни характеристического |
иг |
2Г,‘ |
уравнения. |
Определяя последовательно для y (t) соотношения между Уо>У1гУг ные точки зависимости
Уг
У,
показанные на рис. 1-6.
различных участков кривой » находят вксперименталь-
(1-37)
Проделав аппроксимацию геометрических мест точек прямой линией (рис. 1 -6), получаем возможность использовать выраже ние (1-35) для определения параметров по экспериментально
найденной |
прямой линии. |
|
5 |
. 1 . |
Зная |
величины В и С |
, можно определить |
||
по выражениям |
|
|
, |
|
|
Т2 * а 1 |
|
?; |
(i-38) |
|
fin(В |
■Ln(B - Ш ^ с У ' |
|
|
|
|
In С |
' • |
(1-39) |
|
fin (В* iW -F ) in (в -У&*-С1) |
|
||
- 16 -
При разбиении оси времени следует стремиться выбирать ординату у0 в каждой из троек так, чтобы она не была близ - ка к нулю и не вводила большую ошибку. Соседние тройки орди
нат могут быть разделены различными интервалами времени, |
|
||||||||||
но интервалы |
времени A t |
между |
У о ,у ,,у 2’ |
в |
каждой тройке |
||||||
должны быть равны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, |
что в |
выражениях (1-36), (1-37) |
под'знаком лога |
||||||||
рифма могут |
получиться комплексные величины. В этом случае |
||||||||||
с л е з е т брать |
натуральный логарифм от комплексной величины |
||||||||||
по известным.правилам. |
|
у it) |
|
|
|
|
|
|
|||
Если исследуемая функция |
(рис. |
1-5) |
обладает |
свой |
|||||||
ствами апериодического звена 1-го порядка, т .е . |
71= 0 |
, |
то |
||||||||
можно сказать, что |
в любой тройке |
у0, у , , |
уг |
функциональная |
|||||||
зависимость (1-37) |
определяется |
выражением |
|
|
|
|
|
||||
|
£ |
Ул. |
од |
Уг |
> |
|
|
|
|
(1-40) |
|
|
~Уо |
|
У» |
|
|
|
|
||||
где |
|
- |
коэффициент наклона |
прямой. |
(I-4 I) |
||||||
Из (1-40) |
и (I —41) следует, |
что |
|
|
|
|
|
||||
% =2В = const, |
(1-42) |
Уг |
величинами |
т .е . положение прямой определяется только двумя |
|
(началом координат и коэффициентом наклона). |
|
Определяя последовательно для различных участков кривой |
|
У М соотношения между Ус у , . Уг , находят |
экспериыен - |
гальные точки зависимости (1-37), которые должны сгруппиро -
ваться в одну точку, через |
которую |
и начало координат про - |
||
водят экспериментальную прямую (ряс. 1-7). |
|
|||
Пользуясь графиком (рис. 1 -7 ),можно определить |
|
|||
- _ |
A t |
__ л Lг |
A t |
|
~ |
£п2В |
‘ |
£д2В ’ |
(I-4S) |
что. и требовалось сделать.
Метод Я.З.Цыпкина позволяет определять не только парамет ры звена, но и насколько исследуемое звено соот;етствует звеньям 1-го или 2-го порядка.
Доказательством существования выражения (1-35) может служить следующее.
- I? -
Для некоторого |
момента |
времени |
tf |
(рис. |
1-4 |
и рис. |
|||
1-5). согласно (1-34) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Уо~у (t,) - с , е |
+ с2 е Mr- |
z , ^ |
, |
|
(1-44) |
|||
а для |
(tf + A t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
,, |
oL(t,r-At) |
|
|
out |
/A t |
||
|
y f - y f t + A t) = c ,e |
+сг е |
|
« z ,e |
+z2 e |
(1-45) |
|||
и для |
(tf*2At) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
a.2At |
|
fi2A t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
(1-46) |
||||
|
yt = t/(tf+2&t)-z,e |
+z2er |
|
|
|||||
Исключив из |
уравнений |
(1-44), |
(1-45) |
и (1-46) |
величины |
||||
Zf и Zi , получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
уо - ( € |
+ е |
/ Уо |
е |
|
|
|
(1-47) |
|
Если в (1-47) ввести обозначения |
(1-36), |
тогда |
получим |
||||||
|
а |
=2в — -с |
|
|
|
|
|
||
|
у. |
с |
% |
С ’ |
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
||||
Если структура и порядок дифференциального уравнения ис |
|||||||||
следуемого элемента неизвзстны, то приходится |
вместо точной |
||||||||
передаточной пункция определять |
приближенную. О структуре |
||||||||
и порядке элемента можно судить по некоторым свойствам пере
ходной |
характеристики: |
I . |
В общем случае передаточная функция: элемента 2-го по- |
О |
|
!
рядка может быть |
записано |
|
|
|
|
|
||||
|
W(p u J |
s£L l A £ i h .__________ |
( r- ^ ) |
|||||||
|
|
r |
|
а„р** a,f?+агр +а3 |
|
|
||||
|
йсли по начальному участку экспериментальной переходной |
|||||||||
характеристики |
h (t) |
(рис. |
1-8) щ>::;ио сделать з&иьггеиие, |
|||||||
что |
, Х'6к (0}-XfixiO)*0 |
, |
ЭТО |
значит, что 3, = Sf |
= О и пе |
|||||
редаточная функция |
(/-<к1) |
примет |
вид |
|
|
|||||
|
W(p) = - j p y + |
J У |
* Ttp~1 |
’ |
(I-W ) |
|||||
Г^8 |
А" - — |
' |
~г - |
Ог |
■ |
т 1- |
* |
T"J — |
ati ■ |
|
|
сгл |
> |
ч |
~ |
а4 |
! |
'* |
> |
'* |
|
ьели все полисы такой передаточной функции вещественны и отрицательны, то переходной процесс будет апериодическим.
2. Если в апериодическом переходном процессе имеет место
отношение (рис. 1-8)
Та > 9,65.
Ти
то данный элемент можно аппроксимировать апериодическим ззе - ном 2-го порядка. При отношении
JL > '*,59,
Ти
допустима аппроксимация апериодическим звеном 3-го порядка.
Когда по экспериментальной кривой переходного процесса удастся установить, что исследуемый элемент можно аппрокси - мировать апериодически-t звеном 2-го или 3-го порядка, имеет место определение коэффициентов передаточной функции (Г-38).
Для определения параметров более сложных элементов реко мендуется производить расчет частотных характеристик.
В данной работе для определения параметров' передаточной функции модели электропечи рекомендуется применить метод, разработанный П.П.Симою. Здесь ограничимся изложением поряд ка практического применения этого метода для апериодического звена. С теоретическим обоснованием метода предлагается озна комиться по литературе / Л -3/.