книги из ГПНТБ / Теория автоматического регулирования и управления учеб. пособие

'о----------

,,(г,Т)

--------

y(t)

—

# 9,

' у М

Для исследования устойчивости замкнутой системы может

быть применен критерий, аналогичный критерию Найквиста для

непрерывных систем.

В случае, когда разомкнутая система устойчива,

форму­

лировка такова: замкнутая импульсная система устойчива тог­

да я только

тогда,

когда

годограф

вектора v W *(z)

при из­

менении р

вдоль

отрезка

( 0 ,J %

) мнимой оси (или

измене­

нии вдоль верхней полуокружности единичного круга)

не

охва­

тывает критическую

точку ( - 1,0).

3

работе исследуются импульсные системы,

построенные п

структурной

с х е т

рис. 13-3. Импульсный элемент содержит фик

сирующее устройство, т .е . формирует прямоугольные

импульсы

-

173

-

Пользуясь

таблицами

Z

-преобразований

[l,2 ] , полу-

чин

IN * ( z ) -

K (6tZ +&*)

(13-22)

где

1 - ё А- Те*

т -и -е~А

А *

ъ г

4 = -

V

На рис. 13-5 изображен годограф частотной характеристи­

ки W *[z) при

K=T,=T*f .

Поскольку годограф

не охватыва­

ет

точку (-1 ,

0 ), замкнутая система устойчива. Предельный

коэффициент усиления замкнутой системы равен КПр = 2,41.

Значения

выходного процесса устойчивой импульсной систе­

мы

в дискретные моменты времени

могут быть определе­

ны по формуле

стеме 2 при воздействии на вход

G -функции. Поскольку

X * {zh i, для вычисления

искомой

реакции

необходимо разложить

в ряд

по степени Z *

функцию (13-17).

Имеем

кТ

к Т г '

~п

У*(г)= \N*(z)

г - 1 л

1 - г *

K T z 'Z z ,

п*о *

откуда

получим

(13-24)

уС о ]= 0 , у [ п Т ]~ к Т ;

(13- 25)

формул

(13-21), где верхний предел в сумме нужно положить

равным

о о .

виде полинома S

-го порядка

совпадает

с входным воздей­

ствием. Условие

астатизма

S -го порядка

имеет вид

d rW (г)

= ф (Г* 1,2,...,5)

d z Л'

г=/

( Т З - 26)

ся, когда все полюсы передаточной функции системы равны ну­

лю (

в

Z

-плоскости), т .е .

передаточная функция

W (z)

имеет

вид

Л , . -

*

z „

W U ) *

(15-27)

где

A ‘(z)

полином от

z

степень

которого

для

условия

физической реализуемости системы не должна превышать

К .

Действительно,

разложив

W*('z) w

степеням

z '

. п о ­

лучим конечную сумму

W*(г) «

£

~f

-

- К

f+. .. +а0Z*.

(13-23)

Сравнивая

это

выражение

о (13—За) , получим, что

весовая

I

функция импульсной системы обращается в нуль при

П>К.

Обращаясь теперь к формуле (13-27), легко усмотреть, что

переходной процесс заканчивается за К

тактов

а при

проиэ -

вольном

входном

воздействии.

Минимальная величина

К

равна

^порядку характеристического полинома системы.

Рассмотрим, например, систе?лу (I)

и постарвемся

«айта

такое значение коэффициента усиления, при котором осуцоотвяя-

ется процесс конечной длительности. Характеристическое урав -

нейиз

системы

имеет

вид

Z + к ( 1 ~ ё * ) - ё Л * 0 ,

(13-2Э)

откуда следует, что оно имеет нулевой корень при выполнении

условия

Копт

ё ^

1

/ - е •

е~л -4

(13-30)

При таком коэффициенте усиления переходной процесс не -

канчивачтся всего лишь за один период работы импульсного

элемента.

Для

системы 2

аналогично

получим

4

Копт ^ У

'

(13-31)

Далеко не во всех импульсных системах

можно получить

процесс

конечной

длительности

одним лишь изменением парамет-

-

177 -

ректирующего

звена,

получим

к < п

A*(z)~M*(z)F*(z),

( в - 35)

где

F*(z)

-

произвольный полином, степень которого

из

условия

Х<П

не менее, чем п~т

. Полином

F*(z) может

быть выбран из условия обеспечения астати-

зиа

заданного

порядка.

Рассмотрим, например,

систему 3. Найдем передаточ­

вии вида единичного скачка (астатизм

первого

порядка).

Учитывая выражение для W

(z)

(13-22),

выберем

A*(z) в виде

A*(z) =Kt (6. r S ,z)%

(13-36)

Коэффициент Kf выбираем

из условия обеспечения ас-

татизма ззпишется в

виде

W *(l) = X, (&. *■&,)*/.

(13-3?)

Выражая отсюда

X,

через 4,

и

, я подставляя

в (13-36), получим

A * U )

4

4,z

(13-38)

K=ff = Z

Учитывая, что

в нашем случае

, по форму­

тирующего

звена

r*,7] =

(bc^z)(z-i)(z-ep)

71* &,)

6,z)[z*-

"

о, +а, J

к (L * t4 )

(z t

“ЗГ j

(13-39)

'

'

4 / вj /

—v

D ' l z ) ' z + 6

(13-ад)

W *(Z)*

z - е-А

z~ е~А+к (t+ e A)

(13~ «)

Т

где /

7 7 ‘

ализации 0*(z.) необходимо выбрать К и Jb

из уравнений

f a = e A

( 13-ад)