книги из ГПНТБ / Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие

бралась товарная проба. По данным опробования и хи­ мических анализов каждой пробы определено среднее содержание металла в рудах каждой вагонетки. Все ста­ тистические данные сведены в табл, 15.

Прямоугольная таблица, подобная табл. 15, называ­ ется матрицей. Порядок этой матрицы /If-С,-, в нашем случае 3X4 (3 — число строк, 4 — число столбцов).

Выпишем на билеты все номера вагонеток, с указа­ нием того, из какого блока она выдана и с каким содер­ жанием металла.

Свернем билеты в трубочки и вложим в патроны оди­ накового цвета, размера п веса. Поместим эти патроны в урну и перемешаем. Наудачу достанем один билет (этим достигается равновозможность для каждого биле­ та быть вынутым):

Общее число вагонеток, выданное из очистных бло­ ков, называют безусловной абсолютной частотой появле­ ния вагонеток из данного блока.

лютные безусловные частоты, разделить на общую чис­ ленность вагонеток (N=1000), получим результаты, при­ веденные в табл. 16.

Каждый элемент матрицы табл. 16 выражает стати­ стическую вероятность события, заключающуюся в одно­ временном выполнении условий А І и С], и имеет следую-

Следовательно, вероятность того, что взятая наудачу вагонетка окажется с содержанием С2 (3—5%) из бло­

ка Л 3

Р ( Л 3 С 2 ) = 140:1000 = 0,140.

— 61 —

жет быть выражено формулой

Условная вероятность события Со при условии выпол­ нения А 3 равна вероятности совместного наступления событий Со и /1з, деленной на безусловную вероятность события А 3 . В нашем случае

Рис. 11

На рис. 11 события / 1 2 , А 3 , С2 представлены в виде подмножеств. Вероятность события заключается в том,

жется с содержанием Со (3—5%), или она окажется из

но, выражение (I) есть формула сложения вероятностей.

Какова вероятность события (А2 или Л3 )? Из табл. 16 следует, что Р(А2) =0,330; Р(А3) =0,330. События А 2 и

А3 — исключающие друг друга события, следовательно,

событие (Л2 Л3 )—невозможное, его вероятность равна нулю. По формуле (I) имеем

Р (Л2 или А І ) = 0,330 + 0,330 - 0 = 0,660.

— 62

Событие ( А 2 ) противоположно в статистическом смысле событию (Ai или Л 3 ) .

Событие (Лі или /13) обозначим через (Л2 ), тогда

Р(А2) + Р(А,) = 1.

Аналогично

Я(С2 ) + Р ( С 2 ) = 1.

Условная вероятность события Ai (при условии, что осуществлялось событие Cj) равна условной вероятности события А при условии, что совершилось событие Cj,

События Ci и Aj будут независимыми в статистическом смысле. Если верно выражение ( I I ) , то

Д о к а з а т е л ь с т в о .

явления равна произведению соответствующих безуслов­ ных вероятностей.

Равенство (IV) выражает статистическую независи­ мость. Какова вероятность, что наудачу отобранные две вагонетки окажутся обе из блока Л2 ? Вероятность того, что первая вагонетка окажется из блока Ля, равна 0,330.

— 63 —

Вследствие независимости событии результат первого отбора наудачу вагонетки не может оказать влияние на вероятность результата второго отбора вагонетки.

Вероятность того, что обе вагонетки окажутся из бло­ ка Л2 ,

является следствием теоремы умножения и формулы пол­

"^ЩШт- <'-'•** »>•

Вероятность события КІ, вычисленную при условии, что имело место другое событие В , обозначим через P(Uj) и введем символ умножения П. Тогда формула Бейеса примет вид

m

2 Pill Pu

Если априорные вероятности гипотез неизвестны, то гипотезы принимают равновероятными и формула Бене-

—64 —

изошло зафиксированное смещение, определяется деле­ нием / (графа 12) на ѵ (графа 9).

Из приложения X I I видно, что каждый фактор, от ко­ торого зависит устойчивость выработки, варьирует в оп­ ределенных пределах и может иметь количественное (глубина заложения выработки, мощность угольного пласта и т. д.) или качественное выражение (тип пород непосредственной кровли). Однако каждый конкретный участок выработки, где наблюдалось смещение кровли, характеризуется для каждого фактора только одним его значением. Данные таблицы показывают, что глубина заложения выработки варьирует в пределах от 84 до 1038 м; мощность угольного пласта — от 0,45 до 1,7 м; крепость пород непосредственной кровли при одноосном сжатии 170—1086 кГ/см2; расстояние от места наблюде­ ния в выработке до очистного забоя — 0—250 м; сечение выработки в свету—5,0—17,4 м2; ширина бутовой поло­ сы — 5—37 м; длина очистного забоя— 100—305 м\ ско­ рость подвпгания очистного забоя—10—70 м/мес; мощ­ ность пород непосредственной кровли от 1,5 до 16,7 м.

Наблюдаемое смещение пород кровли также варьи­ рует в пределах от 12 до 912 мм.

Разделим весь диапазон смещений на следующие три интервала:

— 66 —

100-300 0,50 0,50 0 , 2 з | о , 7 7 0,41 0,59 0,55 0,45 0,32 0,68 0,64 0,26 0,10

>30 0 0,46 0,54 0,15 0.S5 0,31 0.69 0.60 0,31 0,08 0,92 0,85 0,05 0,10

На основании этоіі таблицы, по формуле (2.12) де­ лается предрасчет величины смещения пород кровли в проектируемой выработке. Например, по данным геоло­ гической разведки и проекту плана горных работ выра­ ботка должна проводиться вслед за очистным забоем и охраняться по схеме «бутовая полоса — массив». Глуби­ на залегания выработки #=1000 м, сечение выработки 5—14 м2. В кровле выработки залегает глинистый сла­ нец мощностью / н , і . к = 10 м и прочностью при одноосном сжатии а,; = 400 кГ/см2. Очистной забой длиной Z=250 м разрабатывает пласт мощностью /»„=1,3 м со скоростью

выработка, по величине смещения кровли иа расстоянии от очистного забоя / = 250 м.

В соответствии с постановкой задачи выдвигаются ги­ потезы попадания места выработки (250 м от очистного за­

на величину смещения кровли выработки, из граф 3, 6, 7, 10, 14, 16, 18, 19, 22, 23 и сводятся в табл. 166.

Дальнейшие действия сводятся к нахождению произ­ ведений Рц и их суммы, которые записываются соответ­ ственно в предпоследнюю графу таблицы 166.

— 68 —

По данным предпоследней колонки по формуле Бейе-

300 мм, отсюда необходимо задаться податливостью кре­ пи и определить ее необходимый типоразмер с заданным интервалом податливости.

§ 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Случайной называют величину, которая в результате опыта может принять любое значение, причем неизвест­ но, какое именно.

служить число отбойных молотков, выходящих из строя на руднике в течение смены. Здесь случайная величина может принимать только целочисленные значения.

Непрерывная случайная величина может в ходе опы­ та принимать любые значения в некоторых пределах. К непрерывным случайным величинам относятся: значе­ ния содержаний металла в руде по результатам опробо­ вания; погрешности измерения, например, линейной или угловой величины и т. п.

В дальнейшем случайные величины будем обозначать большими буквами (X, Y и т. д.), а их возможные зна-

— 69 —