книги из ГПНТБ / Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие
.pdfV |
2 |
|
У, Yi |
• III; |
|
|
|
|
|
|
||
ка 1 ; |
a / x |
— ±± |
|
|
- - F 2 |
—Дисперсия |
средних по |
|
||||
классам; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О 2 |
= |
2 |
|
-ъ |
И |
- a , |
|
S (У-УУ |
|
|
|
|
Oy — |
Оу/.х- |
Оу/х |
= |
|
|
|
|||||
Расчеты, необходимые для определения |
значения об |
|||||||||||
щей дисперсии а,/, |
сведены в табл. 66. |
Т а б л и ц а |
6f |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сродное значение содержания |
Число |
проб |
Г.т, |
|
|
|||||||
германия по классам Y, % |
но |
классам |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
0,0020 |
|
|
|
109 |
|
0,218 |
0,0004 |
|
|||
|
0,0065 |
|
|
|
249 |
|
1,618 |
0,0105 |
|
|||
|
0,0200 |
|
|
|
100 |
|
2,000 |
0,0400 |
|
|||
|
0,0650 |
|
|
|
12 |
|
0,780 |
0,0507 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
470 |
|
4,616 |
0,1016 |
|
|
По данным таблицы находим: |
|
|
|
|||||||||
среднее значение результативного |
признака |
|
||||||||||
|
|
|
|
У - - |
4,616 |
|
0,0098%; |
|
|
|||
|
|
|
|
470 |
|
|
|
|
||||
значение общей |
дисперсии |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
0,1016 |
— 0.00982 |
= |
0,00012; |
<г„ = |
0,011%. |
|
|||||
On |
|
470 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
67 |
Условные |
средние |
содержания |
|
|
|
|
У-т, |
Y'-m |
|
|||
германия |
У, % |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0,0350 |
|
|
|
6 |
|
0,210 |
0,0074 |
|
|||
|
0,0140 |
|
|
|
103 |
|
1,442 |
0,0201 |
|
|||
|
0,0097 |
|
|
|
200 |
|
1,940 |
0,0189 |
|
|||
|
0,0075 |
|
|
|
85 |
|
|
0,635 |
0,0049 |
|
||
|
0,0071 |
|
|
|
39 |
|
|
0,277 |
0,0020 |
|
||
|
0,0034 |
|
|
|
' 13 |
|
0,044 |
0,0001 |
|
|||
|
0,0037 |
|
|
|
16 |
|
0,059 |
0,0002 |
|
|||
|
0,0031 |
|
|
|
|
|
|
0,025 |
0,0001 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
470 |
|
4,632 |
0,0537 |
|
|
Расчеты для определения дисперсии условных средних
сведены в табл. 67. |
|
|
По данным таблицы |
находим: |
|
|
у = i î ^ = 0 0 0 9 8 |
|
|
|
470 |
Дисперсия условных |
средних |
|
2 |
0,0537 |
0,00982 = 0,000017. |
|
470 |
|
|
|
|
Корреляционное отношение по данным опыта таково:
|
|
°к |
|
0,0041• = |
0,37. |
||
|
|
а„ |
|
0,011 |
|
|
|
Y'=Lg(100Y) |
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
-0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
о я 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
I |
' |
1 * I |
'О |
0,1 |
OA |
0,5 |
0,8 |
1,0 |
1,1 |
X'=lgX |
|
|
|
Рис. 55 |
|
|
|
|
По характеру связи У с X (см. рис. 53) можно предпо ложить зависимость вида
|
У = ахь. |
(6.28) |
Выравнивание такого вида уравнений проще всего |
||
осуществить для выражения |
|
|
у' |
= lg а + Ьх'. |
(6.29) |
Расчеты, необходимые для вычислений у' и х' яо дан |
||
ным табл. 65, сведены в табл. 68. |
Зависимость вида |
|
Ig( 100 у) представлена |
на рис. 55. |
|
Для каждой пары наблюдаемых значений Y и X спра |
||
ведливо условие (6.29). |
|
|
В табл. 68 восемь строк; разделив |
их на две группы, |
|
найдем для каждой группы |
|
|
4 |
4 |
|
2#' = 41ga + 6 2*',
|
|
|
т а б л и ц а , tü |
У,-100 |
y'-lg(100j;) |
х |
x'-\gx |
|
3,50 |
0,5441 |
2,5 |
0,3979 |
1,40 |
0,14(31 |
7,5 |
0,8571 |
0,97 |
1,9868 |
12,5 |
1,0969 |
0,75 |
1,8751 |
17,5 |
1,2430 |
|
0,5521 |
|
3,5949 |
|
|
Л" |
X'-°\gX |
0,71 |
1,8513 • |
22,5 |
1,3522 |
0,34 |
1,5315 |
27,5 |
1,4393 |
0,37 |
Г.5682 |
32,5 |
1,5119 |
0,31 |
1,4914 |
37,5 |
1,5740 |
J |
1,5576 |
j |
5,8774 |
2 0' = |
4Iga+&2 |
5 |
5 |
Из табл. 68 имеем
0,5521 == 4 lga + 6-3,5949, j .
-1,5576 = 4 lga + b -5,8774. >
Вычтем из первого равенства второе:
2,1097-6-2,2825,
откуда
|
6 = |
2,1097 |
|
|
: |
= - 0,924, |
|
|
|
2,2825 |
|
lga = |
0,5521 + 0,924-3,5949 |
||
|
|
= 0,968, |
|
а = 9,86.
Таким образом, зависимость содержания германия от зольности описывается уравнением У=0,0842 д г 0 , 9 2 6 .
Пример 6.6. Месторождение никелевых руд в коре вы ветривания, имеющее форму пластообразной горизон-
|
|
|
|
Результаты |
опробования |
скважин |
на содержание |
никеля |
|
Т а б л и ц а 69 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Содержание |
никеля по |
скважинам, |
|
|
|
|
|
С р е д н е е |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
Глубина, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с о д е р ж а н и е |
|
м |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
9 |
10 |
n |
12 |
13 |
14 |
15 |
V |
никеля, |
|
|
V) |
% |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
0,70 |
0,58 |
0,82 |
0,48 |
0,50 |
0,70 |
0,57 |
0,81 |
0,62 |
0,60 |
0,75 |
0,84 |
0,52 |
0,59 |
0,49 |
9,57 |
0,638 |
|
1,5 |
0,89 |
0,59 |
0,62 |
0,96 |
0,82 |
0,95 |
0,61 |
0,75 |
0,83 |
0,92 |
0,64 |
0,63 |
0,87 |
0,82 |
0,80 |
11,70 |
0 , 7 8 а |
|
2,5 |
0,76 |
0,78 |
0,81 |
1,09 |
0,68 |
0,85 |
0,86 |
0,65 |
1,20 |
1,01 |
0,80 |
0,73 |
0,75 |
0,67 |
0,92 |
12,56 |
0,837 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5 |
1,09 |
0,78 |
0,82 |
0,88 |
1,11 |
1,05 |
0,66 |
0,44 |
1,01 |
1,19 |
0,96 |
0,88 |
0,63 |
0,64 |
0,67 |
12,81 |
0,854 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 |
0,57 |
0,90 |
1,02 |
0,78 |
0,68 |
0,81 |
0,84 |
1,00 |
0,76 |
1,15 |
0,99 |
0,98 |
0,82 |
0,80 |
1,10 |
13,20 |
0,880 |
|
5,5 |
0,02 |
1,00 |
1,01 |
0,61 |
0,93 |
0,96 |
1,02 |
0,50 |
0,90 |
1,12 |
0,88- |
1,02 |
1 ,.16 0,99 |
0,62 |
13,44 |
0,89fr |
||
t
73,28 J 4,885
тальной залежи, разведано вертикальными скважинами, в которых были взяты пробы на никель. Результаты опро бования приведены в табл. 69.
Рассматривая изменения содержания никеля в верти кальном направлении, можно заметить, что оно возраста ет с увеличением грубины. Наиболее отчетливо это про слеживается в средних содержаниях, вычисленных для различной глубины.
На рис. 56 приведен график нзменення_среднего со держания никеля с глубиной. Уравнение Y = axb наибо лее точно описывает эту кривую.
Рис. 56
Найдем параметры уравнения кривой. Ранее отмеча лось, что для такого вида функций выравнивание следует производить, используя новые переменные
|
|
У' = i g # ; |
х' |
= |
\%х. |
Та блица 70 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
.v' = lg.r |
у'-igy |
x |
i |
У i |
X'-\gX |
|
0,5 |
0,638 |
1,6990 |
1,8048 |
3,5 |
0,854 |
0,5441 |
1,9315 |
|
1,5 |
0,780 |
0,1761 |
1,8921 |
4,5 |
0,880 |
0,6532 |
1,9445 |
|
2,5 |
0,837 |
0,3979 |
1,9227 |
5,5 |
0,896 |
0,7404 |
1,9523 |
|
|
|
0,2730 |
•1,6196 |
|
|
|
1,9377 |
1,8283 |
Данные, необходимые для определения значений а и о, приведены в табл. 70^
Решаем систему нормальных уравнений: Г,6196 = 31g я + 6-0,2730 1 1,8283 = 3 l g а + 6-1,9377 ) 0,2087= 6-1,6647,
— 206 —
31ga |
= |
1,6196-0,0344 = |
1,58521 |
|
|||
31g a = |
|
1,8283-0,2441 = |
1,5842' |
|
|||
l g a = |
1 |
, |
5 8 4 7 = |
1,8615; |
a = 0,727. |
|
|
Следовательно, уравнение кривой имеет вид |
|||||||
|
|
|
У = |
0,727х°'1 2 в . |
|
|
|
Сравним данные о содержании |
никеля, вычисленные |
||||||
по корреляционному |
уравнению, |
и |
данные, |
полученные |
|||
разведкой. Результаты сравнения |
приведены |
в табл. 71. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 71 |
Глубина рудной з а л е ж и |
Содержание N1 по данным Содержание N1 по урав |
||||||
но скважинам, м |
|
|
|
разведки, % |
|
нению, % |
|
0,5 |
|
|
|
0,638 |
|
|
0,665 |
1,5 |
|
|
|
0,780 |
|
|
0,765 |
2,5 |
|
|
|
0,837 |
|
|
0,816 |
3,5 |
|
|
|
0,854 |
|
|
0,852 |
4,5 |
|
|
|
0,880 |
|
|
0,830 |
5,5 |
|
|
|
0,896 |
|
|
0,903 |
Сходимость данных достаточно хорошая. Предполо жим, что бортовое кондиционное содержание никеля ус тановлено равным 0,75%. Тогда средняя мощность заба лансовых руд определится из выражения
0,75 = 0,727х°.'2 6 .
В нашем случае х = 1,28 м.
Для нахождения корреляционного отношения исполь зуем данные, приведенные в табл. 69.
Стандарт распределения никеля вычисляем по фор муле
Уп
90
Сумму S#2 'найдем, суммируя квадраты значений содер
жания никеля, записаиныев табл. 69. Она оказалась рав-
ной 62,69. Среднее содержание никеля найдем делением суммы содержаний по всем 90 пробам на число проб:
1 ^ = 0,814.
90 После подстановки числовых значений в формулу
стандарта признака (никеля) получим:
|
|
|
6 2 , 6 9 |
0,8142 |
= 0,187. |
|
|
|
90 |
|
|
Дисперсию средних определим по формуле |
|||||
-2 |
Уііг-піх |
- |
4,03-15 |
0,8142 = 0,01, |
|
Oy = |
^ |
п |
i _ y a = |
_ L ^ |
|
|
|
|
90 |
|
|
öy = 0,1.
Корреляционное отношение, определяющее тесноту связи между содержанием металла и глубиной залежи,
т ^ = ш = 0 , 5 4 -
Индекс детерминации
d = 0,542 = 0,29.
Он определяет долю влияния глубины залегания на со держание никеля.
Г л а в а |
7 |
• |
МНОЖЕСТВЕННАЯ |
КОРРЕЛЯЦИЯ |
|
§ 1. О Б Щ И Е ЗАМЕЧАНИЯ
Выше была рассмотрена корреляция между двумя признаками. В практике горного производства часто име ет место сложная, многопричинная статистическая связь между признаками.
Так, рассматривая производительность труда рабоче го очистного забоя, мы видим, что она находится в кор реляции со скоростью проведения выработки* с мощно стью залежи, с длиной лавы, со степенью механизации основных операций, с крепостью полезного ископаемого H пород непосредственной кровли, с количеством рабо чих, одновременно запятых в добычном забое и т. д. При этом можно наблюдать заметную положительную корре ляцию, скажем, между производительностью труда и ко личеством рабочих в забое (при превышении которых в известных пределах корреляция становится отрицатель ной).
Анализируя такого рода статистическую связь между многими признаками, важно знать, можно ли корреля цию, наблюдаемую между производительностью труда и интенсивностью продвигания очистного забоя, приписать
только |
взаимосвязи этих показателей или здесь |
имеет |
||
место |
совокупное влияние |
многих |
факторов. При |
этом |
можно |
установить степень |
влияния |
на производитель |
|
ность труда каждого из них. Ответ на эти вопросы помо гает найти множественная корреляция.
— 209 —
Коэффициент множественной корреляции можно вы разить через коэффициенты низших порядков:
Г , 2 3 і |
= |
Г 1 2 . 3 4 . . . ( л - 1 ) — г І л . 3 4 . . . ( л - 1 ) ' г 2 я . 3 4 . . . ( я - 1 ) |
{7 |
1) |
|
|
|
У ( і |
— 3 4 . . . ( л - 1 ) ) ( l — Г 2 л . 3 4 . . . ( л - 1 ) ) |
|
|
Формула (7.1) аналогична формуле (7.2) для трех признаков при вычислении частных корреляций, но здесь повсюду в индексах добавлены соответствующие знаки (от 3 до п).
Первый подписной значок у коэффициентов корреля ции в правой части формулы (7.1) есть одновременно подписной значок зависимой переменной (в левой части формулы). Второй подписной значок совпадает с подпис ным значком того признака, с которым связана зависи мая переменная.
После первых двух подписных значков, отделяемых от остальных точкой, следуют вторые подписные значки. Порядок, в каком пишутся значки после точки, не игра ет роли, что не может быть распространено на первые
подписные |
значки, |
ибо гі2 |
и г2\ |
означают |
совершенно |
|
разные |
коэффициенты: в первом случае зависимой пере |
|||||
менной является X}, |
а во втором |
Х2. |
|
|||
Из |
структуры числителя |
формулы (7.1) следует: |
||||
1) |
если |
г\о равен |
нулю, то гі2.з не должен |
быть равен |
||
нулю, за исключением того случая, когда один из коэф
фициентов |
Гіз или |
(пли оба вместе) равен пулю. • |
||
Если |
r t 3 |
и г2 з |
имеют одинаковый знак, частная кор |
|
реляция |
отрицательна,Г2з |
если же знаки противополож |
||
ны — положительна.
Так может оказаться, что на производительность тру да не влияет количество рабочих в смене; но это может быть вызвано просто корреляцией между количеством рабочих и интенсивностью проходки, тогда как частная корреляция между производительностью труда и коли чеством рабочих в смене будет положительной и значи тельной;
2) |
|
в частном |
случае г\2.г |
может иметь |
знак, противо |
||||||
положный |
знаку |
что также может привести |
к оши |
||||||||
бочному толкованию понятия |
корреляции. |
|
|
||||||||
Если |
Гі2 |
.з |
равенГ і нулю,2 , |
то |
г 1 2 может быть и не |
равен |
|||||
нулю, |
|
|
|
|
|
|
пулю. |
|
|||
|
|
если только Пз.2 или г2з.і не равны |
|
||||||||
Практику |
вычислений |
коэффициента |
множественной |
||||||||
корреляции |
|
|
рассмотрим |
на |
конкретном |
примере |
(при |
||||
мер |
7.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—210 —
§2. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ А Н А Л И З ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ РАБОЧЕГО ОЧИСТНОГО ЗАБОЯ ДЛЯ СТРУГОВЫХ ЛАВ
Пример 7.1. В табл. 72, составленной по данным, по лученным проф. А. П. Килячковым, приведены сведения о производительности рабочего очистного забоя д л я стру говых установок УСБ-2 на антрацитовых шахтах Дон басса.
Т а б л и ц а |
72 |
|
Сведения о производительности труда рабочего очистного |
|||||||||||
забоя для |
струговых установок УСБ-2 на антрацитовых шахтах |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Производи |
Мощность |
Длина |
Скорость |
|||
|
|
Шахта |
и |
лапа |
тельность |
подвигания |
||||||
н/п |
|
X |
(средняя |
пласта |
лавы |
|
забоя |
|||||
|
|
|
|
|
|
за |
м е с я ц ) , |
К, |
дм |
Z, м |
V, |
м/мес |
|
|
|
|
|
|
|
тівых |
|
|
|
|
|
1 |
ш. |
3-бис, |
лава |
20 |
7,1 |
11,3 |
187 |
|
30,0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
7,1 |
11,4 |
178 |
|
28,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7,7 |
11 |
,3 |
170 |
|
34,7 |
|
|
|
|
|
|
|
7,6 |
11,3 |
151 |
|
44,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7,6 |
11,4 |
143 |
|
5'8,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6,9 |
10,9 |
135 |
|
46,0 |
|
2 |
ш. 2, |
лава |
|
14 |
|
10,9 |
15,3 |
140 |
|
38,0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
11,4 |
15,0 |
144 |
|
47,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13,5 |
14,4 |
150 |
|
60,0 |
|
3 |
ш. 2, |
лава |
4 |
|
9,5 |
13,9 |
168 |
|
38,0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
9,2 |
15,0 |
170 |
|
36,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10,7 |
15,2 |
171 |
|
42,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12,5 |
14,0 |
176 |
|
45,5 |
|
4 |
ш. |
27. |
лава |
12 |
вост. |
4,2 |
9,4 |
153 |
|
18,9 |
||
|
|
|
|
|
|
|
3,7 |
9,1 |
156 |
|
19,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5,6 |
9,6 |
162 |
|
30,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6,8 |
9,6 |
166 |
|
38,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6,9 |
9,6 |
170 |
|
43,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7,1 |
9,6 |
170 |
|
49,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6,1 |
9,7 |
169 |
|
36,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5,8 |
9,8 |
168 |
|
31,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6,4 |
9,9 |
168 |
|
32,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3,4 |
10,0 |
168 |
|
21,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 |
10,0 |
166 |
|
26,1 |
|
5 |
ш. |
10, лава |
40 |
|
6,5 |
11,5 |
155 |
|
20,0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
6,2 |
11,5 |
155 |
|
12,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4,9 |
11,2 |
155 |
|
15,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6,4 |
11,5 |
160 |
|
18,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6,1 |
11,5 |
160 |
• |
10,0 |
|
— 211 —