Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие

.pdf
Скачиваний:
25
Добавлен:
19.10.2023
Размер:
7.54 Mб
Скачать

Эксцесс характеризует островершинность или плосковершннность распределения (рис. 5).

Положительное значение эксцесса указывает на то, что кривая вариационного ряда в окрестности моды

X

Рис. 5

имеет более высокую и более острую вершину, чем кри­ вая симметричного ряда с тем же центром и дисперсией. Отрицательное значение эксцесса имеет место для кри-

50

30

10

О

10

2,0

3,0

4,0

5,0 А

Рис. 6

вых с более низким и более плоским характером верши­ ны по сравнению с соответствующей симметричной кривой.

Нормированный центральный момент четвертого по­ рядка для симметричной кривой равен трем и, следова­ тельно, для нее эксцесс равен нулю.

— 30 —

В примере 1.5 имеем

106

£ = а д - 3 = -°'3 -

Пример 1.6. На одном из полиметаллических место­ рождений в различных забоях горных выработок взяты 263 бороздовые пробы. Результаты определений содер­ жания свинца в этих пробах, произведенных химической лабораторией рудника, записаны в соответствующую ве­ домость, в которой отмечается, что максимальное содер­ жание свинца А ' т а х = 5% и минимальное л ' т т = 0 .

Для составления интервального вариационного ряда определяем оптимальную величину интервала (класса)

,

Ятах •"•min

II

1+3,21 lg П '

 

здесь п = 2 6 3 и lg 263=2,42, следовательно,

h =

5 — 0

= 0,57.

 

1+3,2-2,4

 

Принимаем А=0,5%.

Для вычисления статистических характеристик вариа­ ционного ряда содержаний свинца по 263 пробам состав­ ляем расчетную таблицу (табл. 8).

По ведомости химических анализов проб подсчитыва­ ем числа проб (частоты) по отдельным интервалам; ре­ зультаты подсчета записываем в графу 1. По данным гра­ фы 1 строим график вариационного ряда (рис. 6).

Сумму графы 4 проверяем тождеством

2mg + п = 2m(g + 1) = 38 + 263 = 301.

Сумму графы 6 проверяем тождеством

2m £ 2 + 22m£ + n = 2m(g + 1)2 =

= 924 + 2-38 + 263 = 1263.

Сумму графы 8 проверяем тождеством

Sm| 3 + 3Smi2 + 32m| + n = 2 m ( | + 1)* =

= 2336 + 3-924 + 3-38 + 263 = 5485.

— 31 —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а Е>

 

Значение

 

 

,.-1,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Границы

середины

Часто ­

Е ••

 

m

( £ + 1 )

ті"

 

mi*

 

 

m

 

 

 

 

 

/7/с*

 

интервалов

интервалов

та т.

0.5

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

б

1

 

2

3

4

5

G

7

8

9

10

 

11

0,0—0,50

0,25

44

—2

—1

- 8 8

—44

176

44

—352

—44

704

 

44

0,51—1,00

0,75

78

— 1

0

—78

0

78

0

— 78

0

78

 

0

1,01—1,50

1,25

• 53

 

0

1

0

53

0

53

0

53

0

 

53

1,51—2,00

1,75

37

 

1

2

37

74 •

37

148

37

296

37

 

592

2,01—2,50

2,25

19

 

2

3

38

57

76

171

152

513

304

 

1 539

2,51—3,00

2,75

13

 

3

4

39

52

117

208

351

832

1 053

 

3 328

3,01—3,50

3,25

9

 

4

5

36

45

144

225

576

1125

2 304

 

5 625

3,51—4,00

3,75

7

 

5

6

35

42

175

252

875

1512

4 375

 

9 072

4,01—4,50

4,25

2

 

6

7

12

14

72

98

432

686

2 592

 

4 802

4,51—5.00

4,75

1

 

7

8

7

8

49

64

343

512

2 401

 

4 096

263

+ 38

-+•301 924

1263

+2336 + 5485 13 848 29 151

Сумму графы

10 проверяем по формуле бинома Нью­

тона:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 m l 4

+ 4mg3

+ 6 2 т £ 2

+

\т% + п =

Em ( | +

1)* =

= 13 848 + 4 • 2336 +

6-924 +

4-38 +

263 =

29 151.

Находим значения условных моментов

 

 

38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

263 =

°Л4;

(ai')2

- 0 , 0 2 ;

( a ï ) 3 =

0,003;

 

 

 

 

(o'i)4

=

0,0004;

 

 

 

 

,

=

924

=

r

 

 

,

2336

=

8,9;

 

 

a2

 

3,5;

а з ' =

263

 

 

 

 

263

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13 848

r n

 

 

 

 

 

 

a4

=

 

263

=

52,7.

 

 

 

Определяем значение средней:

 

 

 

X =

Aai + С = 0,5-0,14 + 1,25 =

1,32%.

Определяем значение дисперсии:

 

 

 

a2 °=: a2 =

/ j 2 [ a ^ _

( a

; ) 2 ] =

 

o,52(3,5 -

0,142) =

0,87.

Принимаем a2 = 0,9%.

Вычисляем центральные моменты третьего и четвер­

того порядков:

 

 

 

al = Л8 [аз - За2 ' • (aï ) + 2 (а4 ) 3 ]

=

' = 0,53 -[8,9-3,35 -(0,14)

+

2(0,14)3 ] = 1,1.

Принимаем а°з=1,0, тогда

 

 

 

а° = A4 [al — 4аіаз + 6 (ai ) 2

• а 2 — 3 (aï ) 4 ] =

= 0,06 • [52,7 — 4 • 0,14 • 8,9 + 6

• 0,02 • 3,5 -

3 • 0,0004] = 2,9.

Для уменьшения ошибок, возникающих от округления цифр, значения центральных моментов можно вычислять

по формулам

(1.30) :

 

 

о

,

 

263-924 - 382

п п

а2° =

а2

= 0,25

= 0,87 « 0,9;

 

 

 

2632

 

2—1924

— 33 —

2 3

3 6 _ 3-38-924 +

2,383

 

ссз = 0,125

263

2632

= 0,9;

263

 

 

 

 

13 848 •

4-38-2336 , 6-382-924

38'1

а^ = 0,06

263

2632

2633

263

 

 

 

 

 

 

= 2,9.

 

 

Зная центральные моменты третьего и четвертого по­ рядков, вычисляем асимметрию и эксцесс вариационного ряда:

о0,9

О^б3" 1,1.

Положительное значение асимметрии свидетельствует о правой асимметрии вариационного ряда:

Е —

о

_

2 , 9 _ -

0,6.

 

 

 

 

Положительное значение эксцесса указывает на то, что кривая вариационного ряда (рис. 6) в окрестности моды имеет более высокую и более острую вершину, чем кривая симметричного ряда с той же дисперсией.

Пример 1.7. На одном из полиметаллических рудни­ ков в забоях горных выработок взято 199 бороздовых проб, равномерно расположенных на площади залежи. Данные химических анализов этих проб на свинец (У) и цинк (X) в виде Интервальных вариационных рядов при­ ведены соответственно в табл. 9 и 10 (графы 1, 2 и 3), в которых также приведены расчетные строки и графы для вычисления статических характеристик распределений свинца и цинка.

Контроль вычислений:

118 — (— 81) = 199; 244 —207 — 2 ( — 8 1 ) = 199.

По данным табл. 9 вычисляем

_

tym

_

217,5

= 1,09 « 1,1.

1 =

2 т

~~

199

 

— 34 -

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 9

Значение

Значение

Ч а с ­

 

 

 

 

 

 

 

середины

 

 

 

m -т|

Ш(Т| + 1)

тг)1

 

интервалов,

тота

у-т

1

1+1

 

интервала

 

И

V. !і

гп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0—1,0

0,5

121

60,5

— 1

0

— 121

0

121

0

1,0—2,0

1,5

53

79,5

0

1

0

53

0

53

2,0—3,0

2,5

16

40,0

1

2

16

32

16

64

3,0—4,0

3,5

5

17,5

2

3

10

15

20

45

4,0 - 5,0

4,5

2

9,0

3

4

6

8

18

32

5,0—6,0

5,5

2

11,0

4

5

8

10

32

50

 

 

199

217,5

 

 

- 8 1

118

207

244

Значение дисперсии находим по следующей формуле:

 

0„<= Л Л ^ 1 _ ( ^ ! ) 2 ] ,

 

( u 9 )

 

у

L

2m

ѵ

Em

/ J '

л

'

где — -

= F -

С=

1,1 -

1,5 =

— 0,4.

 

 

У-m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

1,5 — значение

середины интервала,

принятого

в табл. 9 за условный

(ложный) нуль:

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= [ ^ 7 - ( - ° ' 4 ) 2 ] - 1 2

= 0 ' 8 8 =

 

 

 

 

Oy = У0,88 = ± 0,94.

 

 

Контроль вычислений, произведенных в табл. 10:

 

285 — 86 = 199;

737 — 366 — 2-86 = 199.

 

По данным табл. 10 вычисляем:

 

 

 

 

Х =

^ І 1 г = І , 9 ;

 

Х ~ С =

1.9 1,5 = 0,4;

 

2 m

366

 

 

а

 

 

 

 

 

- 5 —

=

=1,84;

ах = 1,84— (0,4)2 =

1,68;

2 т

199

 

 

 

 

ѵ

;

 

 

 

 

я =

У1,68 = îfc 1,3.

 

 

2*

 

 

 

-

35 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 10

Значение

Значение

 

 

 

 

 

 

 

 

середины

m

 

 

 

 

 

 

 

интервалов,

х-m

і

Ш

Іт

m ( £ + 1 )

I'm

m (Ê-l-l)'

интервала,

 

-V, »о

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

о

3

4

5

6

7

8

9

' 10

0,0—1,0

0,5

41

20,5

— 1

0

—41

0

41

0

1,0—2,0

 

1,5

91

136,5

0

1

0

91

0

91

2,0—3,0

2,5

33

82,5

1

2

33

66

33

132

3,0—4,0

3,5

18

63,0

2

3

36

54

72

162

4,0—5,0

4,5

9

40,5

3

4

27

36

81

144

5,0—6,0

5,5

4

22,0

4

5

16

20

64

100

6,0—7,0

6,5

3

19,5

5

6

15

18

75

108

 

 

 

199

384,5

 

 

+86

285

366

737

Пример

1.8. Систематизируем

статистические

данные

о четырех

признаках (производительность

проходчика,

мощность угольного пласта, состав проходческой брига­

ды и скорость проведения

выработки),

зафиксированных

на шахтах Донбасса при проходке откаточных

штреков

(приложение V ) .

 

 

 

 

 

 

 

Шахты отобраны с более или менее одинаковыми гор­

ногеологическими

условиями

(пологое

падение

пластов

до 25°; мощность

пластов

0,5—1,1 м; крепость

боковых

пород 3—6) и с одинаковой

механизацией,

технологией

и организацией работ

(сечение штреков в свету 5—7 м2,

в проходке 6—12 м2\ средства

механизации

проходческих

работ: по породе ЭБК-2м,

ЭБР-19, по углю — ЭБР-19,

СЭР-19; проходческо-погрузочиая

машина

ЭПМ-1,

ППМ-4; откатка

вагонеток электровозная и машинная —

лебедкой; суточный

состав

проходческих

бригад И—

60 чел. Всего наблюдений

было 166 штреко-месяцев по

46 выработкам на разных шахтах.

 

 

 

Возьмем один из варьирующих признаков, например скорость проходки откаточных штреков, составим для не­ го интервальный вариационный ряд и вычислим его ста­

тистические

характеристики.

 

 

Прежде

всего определим

по формуле

(1.1) величину

интервалов вариационного

ряда:

 

 

50,1 — 6,2

_

43,9

^

 

~~ 1 +3,2 lg п ~

1+3,2 lg 166 =

— 36 —

Формула (1.1) определяет порядок величины интервала.

Полученное значение

интервала

необходимо

округлить

до ближайшего

числа

кратного

пяти, тогда

получим

9 строк интервального

вариационного

ряда. Все 166 зна­

чений признака

(скорость проходки

штреков)

разносим

по строкам интервального вариационного ряда и подсчи­ тываем частоты по каждой строке.

Далее, по значениям частот и значениям середины ин­ тервалов находим сначала условные, затем центральные моменты и по ним вычисляем статистические характери­ стики полученного вариационного ряда. Все вычисления записываем в табл. 11.

Т а б л и ц а 11

X

t. £

«§

І 5

Зна' и н те

1

öj S*

 

 

 

ю

 

 

 

 

 

 

 

о. ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ol '

 

 

Е

h-

 

 

 

 

 

 

 

о л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

7

 

 

 

 

 

 

 

* £

 

 

 

 

 

+

 

+

+

+

«s. *

f-

 

 

 

 

- &

 

 

CJ

в

+

и/

 

 

я

 

 

 

 

га

е

S S и/

s Е 5

m ^

0

 

 

S

s к о

К

 

 

 

 

 

 

Е

 

 

СО =

 

о,

4 5

6

7

8

п

12 13

2

 

 

9 10

-.

5,0—10,0

7,5

41

—2

— 1 - 8 2

—41 164

41 - 328 —41

656

41

10,0—15,0

12,5

78

—1

0 - 7 8

0

78

0

—78

0

78

0

15,0—20,0

17,5

28

0

1

0

28

0

28

0

28

0

28

20,0—25,0

22,5

10

1

2

10

20

10

40

10

80

10

160

25,0—30,0

27,5

1

2

3

20

3

4

9

8

27

16

87

30,0—35,0

32,5

6

3

4

18

24

54

96

162

384

486 1536

35,0—40,0

37,5

0

4

5

0

0

0

0

0

0

0

0

40,0—45,0

42,5

1

5

6

5

6

25

36

125

216

625 1296

45,0—50,0

47,5

1

6

7

6

7

36

49

216

343 1296 2401

 

 

166

 

 

-119

47 371. 299

115 1037; }167{ Ï543

Правильность произведенных в табл. 11 вычислений

проверяем

соответствующими

тождествами:

 

 

 

2gm + n =

2 m ( g + l ) ;

- 119+ 166 =

47;

 

 

 

2 £ 2 т + 22£m + п = 2m Ц + 1 )2 ;

 

 

 

371 + 2 ( - 119)+ 166 = 299;

2mg3 + 32m|2 + 32m£ + n = 2m (5 + 1 ) »;

115 +

3-371 + 3 ( — 119)+ 166 =

1037;

2mg4 + 42ml 3

+ 62m£2

+ 4ml + л =

S/n (g + 1 ) *;

3167+ 4-115 +6 - 371 + 4 ( -

119)+ 166 =

5543.

Подставляя в формулу (1.15) соответствующие

значения,

полученные в

табл. 11, определяем

значения

условных

моментов:

 

 

 

 

119

 

 

 

 

 

ai =

 

=

 

— 0,72;

 

— =

~

 

 

 

 

 

166

 

 

 

 

az

-

2m £ 2

 

371

 

 

 

 

 

S m

 

І66 "~

 

 

 

 

а3

=

2 m | 3

 

115

 

 

 

 

 

2m

 

166

~

 

 

 

 

04

 

2m|*

 

3167

 

 

 

 

 

 

2 m

 

Тб(Г ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим среднее значение

признака

 

 

J = /iai' + C =

5,0( - 0,72) +

17,5=

13,9

или

Шм/мес.

Вычисляем значение центральных

моментов

 

al = а2 =

ft2[a2'-(аі')2]

 

=

5 , 0 2 [ 2 , 2 4 - ( - 0,72)2 ] =

= 5,02-1,72 = 43;

а= У43 = 6,6 дес. м.

Правильность вычисления дисперсии проверяем по

формуле

(1.16)

 

 

 

 

о

,

и,пІг-і\

 

 

166-371 - ( - 119)2

а2 = а2

= /і2 '

—• = 52

 

 

 

 

 

 

1662

 

 

-

25

47 425 =

43;

 

 

 

 

27 556

 

а

з ° = Аз[а з ' - З а 2

' а 1 ' + 2 ( а Г ) 3 ] = 5 3 [0,70 -

 

-

3 • 2,24 ( -

0,72) +

2 ( -

0,72)3 ] = 598,8;

eu =

h'1 [aî — 4(а/аз +

баг • ai)2 — 3(ai)4 ] =

= 5 4 [ 2 7 , 3 - 4 ( - 0 , 7 2 ) -0,70+ 6(— 0,72)2 -2,24-

 

- 3(— 0,72)4

] =

20687,5.

38 —

З а м е н а і-і и е. Дисперсию и среднеквадратйческое от­ клонение (называемое иногда стандартным отклонением) при большой численности (более 1000) вариационного ряда и при симметричном или умеренно скошенном не­ прерывном распределении, а также при величине интер­ вала (h) не более '/го вариационного размаха вычисляют с поправкой Шеппарда на сгруппированность по следую­ щей формуле:

п

\ 2 т / 1 2

Ѵ

Если общая численность невелика, то поправка Шеп­ парда имеет второстепенное значение по сравнению со случайными колебаниями выборки и ею пренебре­ гают.

Подставляя величины, приведенные в табл. 11, в фор­ мулу (1.20), получим

1/371

/ — 119 \ 2

,

=

 

У 1,72 = 1,31 интервала.

Вычисленное

среднеквадратическое отклонение для

интервального ряда должно быть выражено в тех же единицах, в которых выражена |. В табл. 11 каждая еди­ ница | — один классовый интервал соответствует 5 еди­ ницам X, т. е. 5 дес. М.

При расчетах по формуле (1.20) в качестве условной средней может быть принято значение середины любой строки интервального ряда и отклонения значений дру­ гих строк (| і ) от нее будут приниматься в единицах клас­ сового интервала (h). При этом предполагается, что все отдельные показания в каждой строке группируются око­ ло среднего значения этой строки.

При большой вариации со склонностью к симметрич­ ному (или умеренно скошенному) распределению сред­ няя каждой строки будет располагаться несколько бли­ же к центру распределения, чем к середине строки, так что при вычислении а2х по формуле (1.20) проявляется тенденция преувеличения дисперсии и среднеквадратиче*

— 39 —

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ