книги из ГПНТБ / Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие

Эксцесс характеризует островершинность или плосковершннность распределения (рис. 5).

Положительное значение эксцесса указывает на то, что кривая вариационного ряда в окрестности моды

X

Рис. 5

имеет более высокую и более острую вершину, чем кри­ вая симметричного ряда с тем же центром и дисперсией. Отрицательное значение эксцесса имеет место для кри-

50

30

10

Рис. 6

вых с более низким и более плоским характером верши­ ны по сравнению с соответствующей симметричной кривой.

Нормированный центральный момент четвертого по­ рядка для симметричной кривой равен трем и, следова­ тельно, для нее эксцесс равен нулю.

— 30 —

В примере 1.5 имеем

106

£ = а д - 3 = -°'3 -

Пример 1.6. На одном из полиметаллических место­ рождений в различных забоях горных выработок взяты 263 бороздовые пробы. Результаты определений содер­ жания свинца в этих пробах, произведенных химической лабораторией рудника, записаны в соответствующую ве­ домость, в которой отмечается, что максимальное содер­ жание свинца А ' т а х = 5% и минимальное л ' т т = 0 .

Для составления интервального вариационного ряда определяем оптимальную величину интервала (класса)

здесь п = 2 6 3 и lg 263=2,42, следовательно,

Принимаем А=0,5%.

Для вычисления статистических характеристик вариа­ ционного ряда содержаний свинца по 263 пробам состав­ ляем расчетную таблицу (табл. 8).

По ведомости химических анализов проб подсчитыва­ ем числа проб (частоты) по отдельным интервалам; ре­ зультаты подсчета записываем в графу 1. По данным гра­ фы 1 строим график вариационного ряда (рис. 6).

Сумму графы 4 проверяем тождеством

2mg + п = 2m(g + 1) = 38 + 263 = 301.

Сумму графы 6 проверяем тождеством

2m £ 2 + 22m£ + n = 2m(g + 1)2 =

= 924 + 2-38 + 263 = 1263.

Сумму графы 8 проверяем тождеством

Sm| 3 + 3Smi2 + 32m| + n = 2 m ( | + 1)* =

= 2336 + 3-924 + 3-38 + 263 = 5485.

— 31 —

Принимаем a2 = 0,9%.

Вычисляем центральные моменты третьего и четвер­

Для уменьшения ошибок, возникающих от округления цифр, значения центральных моментов можно вычислять

Зная центральные моменты третьего и четвертого по­ рядков, вычисляем асимметрию и эксцесс вариационного ряда:

о0,9

О^б3" 1,1.

Положительное значение асимметрии свидетельствует о правой асимметрии вариационного ряда:

Положительное значение эксцесса указывает на то, что кривая вариационного ряда (рис. 6) в окрестности моды имеет более высокую и более острую вершину, чем кривая симметричного ряда с той же дисперсией.

Пример 1.7. На одном из полиметаллических рудни­ ков в забоях горных выработок взято 199 бороздовых проб, равномерно расположенных на площади залежи. Данные химических анализов этих проб на свинец (У) и цинк (X) в виде Интервальных вариационных рядов при­ ведены соответственно в табл. 9 и 10 (графы 1, 2 и 3), в которых также приведены расчетные строки и графы для вычисления статических характеристик распределений свинца и цинка.

Контроль вычислений:

118 — (— 81) = 199; 244 —207 — 2 ( — 8 1 ) = 199.

По данным табл. 9 вычисляем

— 34 -

мощность угольного пласта, состав проходческой брига­

Возьмем один из варьирующих признаков, например скорость проходки откаточных штреков, составим для не­ го интервальный вариационный ряд и вычислим его ста­

— 36 —

Формула (1.1) определяет порядок величины интервала.

по строкам интервального вариационного ряда и подсчи­ тываем частоты по каждой строке.

Далее, по значениям частот и значениям середины ин­ тервалов находим сначала условные, затем центральные моменты и по ним вычисляем статистические характери­ стики полученного вариационного ряда. Все вычисления записываем в табл. 11.

Т а б л и ц а 11

X

371 + 2 ( - 119)+ 166 = 299;

2mg3 + 32m|2 + 32m£ + n = 2m (5 + 1 ) »;

= 5,02-1,72 = 43;

а= У43 = 6,6 дес. м.

Правильность вычисления дисперсии проверяем по

—38 —

З а м е н а і-і и е. Дисперсию и среднеквадратйческое от­ клонение (называемое иногда стандартным отклонением) при большой численности (более 1000) вариационного ряда и при симметричном или умеренно скошенном не­ прерывном распределении, а также при величине интер­ вала (h) не более '/го вариационного размаха вычисляют с поправкой Шеппарда на сгруппированность по следую­ щей формуле:

Если общая численность невелика, то поправка Шеп­ парда имеет второстепенное значение по сравнению со случайными колебаниями выборки и ею пренебре­ гают.

Подставляя величины, приведенные в табл. 11, в фор­ мулу (1.20), получим

интервального ряда должно быть выражено в тех же единицах, в которых выражена |. В табл. 11 каждая еди­ ница | — один классовый интервал соответствует 5 еди­ ницам X, т. е. 5 дес. М.

При расчетах по формуле (1.20) в качестве условной средней может быть принято значение середины любой строки интервального ряда и отклонения значений дру­ гих строк (| і ) от нее будут приниматься в единицах клас­ сового интервала (h). При этом предполагается, что все отдельные показания в каждой строке группируются око­ ло среднего значения этой строки.

При большой вариации со склонностью к симметрич­ ному (или умеренно скошенному) распределению сред­ няя каждой строки будет располагаться несколько бли­ же к центру распределения, чем к середине строки, так что при вычислении а2х по формуле (1.20) проявляется тенденция преувеличения дисперсии и среднеквадратиче*

— 39 —