
книги из ГПНТБ / Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие
.pdfЭксцесс характеризует островершинность или плосковершннность распределения (рис. 5).
Положительное значение эксцесса указывает на то, что кривая вариационного ряда в окрестности моды
X
Рис. 5
имеет более высокую и более острую вершину, чем кри вая симметричного ряда с тем же центром и дисперсией. Отрицательное значение эксцесса имеет место для кри-
50
30
10
О |
10 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 А |
Рис. 6
вых с более низким и более плоским характером верши ны по сравнению с соответствующей симметричной кривой.
Нормированный центральный момент четвертого по рядка для симметричной кривой равен трем и, следова тельно, для нее эксцесс равен нулю.
— 30 —
В примере 1.5 имеем
106
£ = а д - 3 = -°'3 -
Пример 1.6. На одном из полиметаллических место рождений в различных забоях горных выработок взяты 263 бороздовые пробы. Результаты определений содер жания свинца в этих пробах, произведенных химической лабораторией рудника, записаны в соответствующую ве домость, в которой отмечается, что максимальное содер жание свинца А ' т а х = 5% и минимальное л ' т т = 0 .
Для составления интервального вариационного ряда определяем оптимальную величину интервала (класса)
, |
Ятах •"•min |
II |
1+3,21 lg П ' |
|
здесь п = 2 6 3 и lg 263=2,42, следовательно,
h = |
5 — 0 |
= 0,57. |
|
1+3,2-2,4 |
|
Принимаем А=0,5%.
Для вычисления статистических характеристик вариа ционного ряда содержаний свинца по 263 пробам состав ляем расчетную таблицу (табл. 8).
По ведомости химических анализов проб подсчитыва ем числа проб (частоты) по отдельным интервалам; ре зультаты подсчета записываем в графу 1. По данным гра фы 1 строим график вариационного ряда (рис. 6).
Сумму графы 4 проверяем тождеством
2mg + п = 2m(g + 1) = 38 + 263 = 301.
Сумму графы 6 проверяем тождеством
2m £ 2 + 22m£ + n = 2m(g + 1)2 =
= 924 + 2-38 + 263 = 1263.
Сумму графы 8 проверяем тождеством
Sm| 3 + 3Smi2 + 32m| + n = 2 m ( | + 1)* =
= 2336 + 3-924 + 3-38 + 263 = 5485.
— 31 —
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а Е> |
||
|
Значение |
|
|
.г ,.-1,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Границы |
середины |
Часто |
Е •• |
|
m |
( £ + 1 ) |
ті" |
|
mi* |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
/7/с* |
|
|||||||||
интервалов |
интервалов |
та т. |
0.5 |
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
х1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
G |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
11 |
0,0—0,50 |
0,25 |
44 |
—2 |
—1 |
- 8 8 |
—44 |
176 |
44 |
—352 |
—44 |
704 |
|
44 |
|
0,51—1,00 |
0,75 |
78 |
— 1 |
0 |
—78 |
0 |
78 |
0 |
— 78 |
0 |
78 |
|
0 |
|
1,01—1,50 |
1,25 |
• 53 |
|
0 |
1 |
0 |
53 |
0 |
53 |
0 |
53 |
0 |
|
53 |
1,51—2,00 |
1,75 |
37 |
|
1 |
2 |
37 |
74 • |
37 |
148 |
37 |
296 |
37 |
|
592 |
2,01—2,50 |
2,25 |
19 |
|
2 |
3 |
38 |
57 |
76 |
171 |
152 |
513 |
304 |
|
1 539 |
2,51—3,00 |
2,75 |
13 |
|
3 |
4 |
39 |
52 |
117 |
208 |
351 |
832 |
1 053 |
|
3 328 |
3,01—3,50 |
3,25 |
9 |
|
4 |
5 |
36 |
45 |
144 |
225 |
576 |
1125 |
2 304 |
|
5 625 |
3,51—4,00 |
3,75 |
7 |
|
5 |
6 |
35 |
42 |
175 |
252 |
875 |
1512 |
4 375 |
|
9 072 |
4,01—4,50 |
4,25 |
2 |
|
6 |
7 |
12 |
14 |
72 |
98 |
432 |
686 |
2 592 |
|
4 802 |
4,51—5.00 |
4,75 |
1 |
|
7 |
8 |
7 |
8 |
49 |
64 |
343 |
512 |
2 401 |
|
4 096 |
263 |
+ 38 |
-+•301 924 |
1263 |
+2336 + 5485 13 848 29 151 |
Сумму графы |
10 проверяем по формуле бинома Нью |
|||||||||||
тона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 m l 4 |
+ 4mg3 |
+ 6 2 т £ 2 |
+ |
\т% + п = |
Em ( | + |
1)* = |
||||||
= 13 848 + 4 • 2336 + |
6-924 + |
4-38 + |
263 = |
29 151. |
||||||||
Находим значения условных моментов |
|
|||||||||||
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
263 = |
°Л4; |
(ai')2 |
- 0 , 0 2 ; |
( a ï ) 3 = |
0,003; |
||||||
|
|
|
|
(o'i)4 |
= |
0,0004; |
|
|
|
|||
|
, |
= |
924 |
= |
r |
|
|
, |
2336 |
= |
8,9; |
|
|
a2 |
|
3,5; |
а з ' = |
263 |
|
||||||
|
|
|
263 |
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
13 848 |
r n |
|
|
|
||
|
|
|
a4 |
= |
|
263 |
= |
52,7. |
|
|
|
|
Определяем значение средней: |
|
|
|
|||||||||
X = |
Aai + С = 0,5-0,14 + 1,25 = |
1,32%. |
||||||||||
Определяем значение дисперсии: |
|
|
|
|||||||||
a2 °=: a2 = |
/ j 2 [ a ^ _ |
( a |
; ) 2 ] = |
|
o,52(3,5 - |
0,142) = |
0,87. |
Принимаем a2 = 0,9%.
Вычисляем центральные моменты третьего и четвер
того порядков: |
|
|
|
al = Л8 [аз - За2 ' • (aï ) + 2 (а4 ) 3 ] |
= |
||
' = 0,53 -[8,9-3,35 -(0,14) |
+ |
2(0,14)3 ] = 1,1. |
|
Принимаем а°з=1,0, тогда |
|
|
|
а° = A4 [al — 4аіаз + 6 (ai ) 2 |
• а 2 — 3 (aï ) 4 ] = |
||
= 0,06 • [52,7 — 4 • 0,14 • 8,9 + 6 |
• 0,02 • 3,5 - |
3 • 0,0004] = 2,9. |
Для уменьшения ошибок, возникающих от округления цифр, значения центральных моментов можно вычислять
по формулам |
(1.30) : |
|
|
|
о |
, |
|
263-924 - 382 |
п п |
а2° = |
а2 |
= 0,25 |
— |
= 0,87 « 0,9; |
|
|
|
2632 |
|
2—1924 |
— 33 — |
2 3 |
3 6 _ 3-38-924 + |
2,383 |
|
ссз = 0,125 |
263 |
2632 |
= 0,9; |
263 |
|
||
|
|
|
|
13 848 • |
4-38-2336 , 6-382-924 |
38'1 |
|
а^ = 0,06 |
263 |
2632 |
2633 |
263 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2,9. |
|
|
Зная центральные моменты третьего и четвертого по рядков, вычисляем асимметрию и эксцесс вариационного ряда:
о0,9
О^б3" 1,1.
Положительное значение асимметрии свидетельствует о правой асимметрии вариационного ряда:
Е — |
о |
_ |
2 , 9 _ - |
0,6. |
|
||||
|
|
|
Положительное значение эксцесса указывает на то, что кривая вариационного ряда (рис. 6) в окрестности моды имеет более высокую и более острую вершину, чем кривая симметричного ряда с той же дисперсией.
Пример 1.7. На одном из полиметаллических рудни ков в забоях горных выработок взято 199 бороздовых проб, равномерно расположенных на площади залежи. Данные химических анализов этих проб на свинец (У) и цинк (X) в виде Интервальных вариационных рядов при ведены соответственно в табл. 9 и 10 (графы 1, 2 и 3), в которых также приведены расчетные строки и графы для вычисления статических характеристик распределений свинца и цинка.
Контроль вычислений:
118 — (— 81) = 199; 244 —207 — 2 ( — 8 1 ) = 199.
По данным табл. 9 вычисляем
_ |
tym |
_ |
217,5 |
= 1,09 « 1,1. |
1 = |
2 т |
~~ |
199 |
|
— 34 -
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 9 |
|
Значение |
Значение |
Ч а с |
|
|
|
|
|
|
|
середины |
|
|
|
m -т| |
Ш(Т| + 1) |
тг)1 |
|
||
интервалов, |
тота |
у-т |
1 |
1+1 |
|
||||
интервала |
|
||||||||
И |
V. !і |
гп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0,0—1,0 |
0,5 |
121 |
60,5 |
— 1 |
0 |
— 121 |
0 |
121 |
0 |
1,0—2,0 |
1,5 |
53 |
79,5 |
0 |
1 |
0 |
53 |
0 |
53 |
2,0—3,0 |
2,5 |
16 |
40,0 |
1 |
2 |
16 |
32 |
16 |
64 |
3,0—4,0 |
3,5 |
5 |
17,5 |
2 |
3 |
10 |
15 |
20 |
45 |
4,0 - 5,0 |
4,5 |
2 |
9,0 |
3 |
4 |
6 |
8 |
18 |
32 |
5,0—6,0 |
5,5 |
2 |
11,0 |
4 |
5 |
8 |
10 |
32 |
50 |
|
|
199 |
217,5 |
|
|
- 8 1 |
118 |
207 |
244 |
Значение дисперсии находим по следующей формуле:
|
0„<= Л Л ^ 1 _ ( ^ ! ) 2 ] , |
|
( u 9 ) |
||||||
|
у |
L |
2m |
ѵ |
Em |
/ J ' |
л |
' |
|
где — - |
= F - |
С= |
1,1 - |
1,5 = |
— 0,4. |
|
|
||
У-m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
1,5 — значение |
середины интервала, |
принятого |
||||||
в табл. 9 за условный |
(ложный) нуль: |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= [ ^ 7 - ( - ° ' 4 ) 2 ] - 1 2 |
= 0 ' 8 8 = |
|
|
|||||
|
|
Oy = У0,88 = ± 0,94. |
|
|
|||||
Контроль вычислений, произведенных в табл. 10: |
|
||||||||
285 — 86 = 199; |
737 — 366 — 2-86 = 199. |
|
|||||||
По данным табл. 10 вычисляем: |
|
|
|
|
|||||
Х = |
^ І 1 г = І , 9 ; |
|
Х ~ С = |
1.9 — 1,5 = 0,4; |
|
||||
2È2 m |
366 |
|
|
а |
|
|
|
|
|
- 5 — |
= |
=1,84; |
ах = 1,84— (0,4)2 = |
1,68; |
|||||
2 т |
199 |
|
|
|
|
ѵ |
; |
|
|
|
|
<гя = |
У1,68 = îfc 1,3. |
|
|
||||
2* |
|
|
|
- |
35 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 10 |
||
Значение |
Значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
середины |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
интервалов, |
х-m |
і |
Ш |
Іт |
m ( £ + 1 ) |
I'm |
m (Ê-l-l)' |
||||
интервала, |
|||||||||||
|
-V, »о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
о |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
' 10 |
|
0,0—1,0 |
0,5 |
41 |
20,5 |
— 1 |
0 |
—41 |
0 |
41 |
0 |
||
1,0—2,0 |
|
1,5 |
91 |
136,5 |
0 |
1 |
0 |
91 |
0 |
91 |
|
2,0—3,0 |
2,5 |
33 |
82,5 |
1 |
2 |
33 |
66 |
33 |
132 |
||
3,0—4,0 |
3,5 |
18 |
63,0 |
2 |
3 |
36 |
54 |
72 |
162 |
||
4,0—5,0 |
4,5 |
9 |
40,5 |
3 |
4 |
27 |
36 |
81 |
144 |
||
5,0—6,0 |
5,5 |
4 |
22,0 |
4 |
5 |
16 |
20 |
64 |
100 |
||
6,0—7,0 |
6,5 |
3 |
19,5 |
5 |
6 |
15 |
18 |
75 |
108 |
||
|
|
|
199 |
384,5 |
|
|
+86 |
285 |
366 |
737 |
|
Пример |
1.8. Систематизируем |
статистические |
данные |
||||||||
о четырех |
признаках (производительность |
проходчика, |
мощность угольного пласта, состав проходческой брига
ды и скорость проведения |
выработки), |
зафиксированных |
|||||
на шахтах Донбасса при проходке откаточных |
штреков |
||||||
(приложение V ) . |
|
|
|
|
|
|
|
Шахты отобраны с более или менее одинаковыми гор |
|||||||
ногеологическими |
условиями |
(пологое |
падение |
пластов |
|||
до 25°; мощность |
пластов |
0,5—1,1 м; крепость |
боковых |
||||
пород 3—6) и с одинаковой |
механизацией, |
технологией |
|||||
и организацией работ |
(сечение штреков в свету 5—7 м2, |
||||||
в проходке 6—12 м2\ средства |
механизации |
проходческих |
|||||
работ: по породе ЭБК-2м, |
ЭБР-19, по углю — ЭБР-19, |
||||||
СЭР-19; проходческо-погрузочиая |
машина |
ЭПМ-1, |
|||||
ППМ-4; откатка |
вагонеток электровозная и машинная — |
||||||
лебедкой; суточный |
состав |
проходческих |
бригад И— |
||||
60 чел. Всего наблюдений |
было 166 штреко-месяцев по |
||||||
46 выработкам на разных шахтах. |
|
|
|
Возьмем один из варьирующих признаков, например скорость проходки откаточных штреков, составим для не го интервальный вариационный ряд и вычислим его ста
тистические |
характеристики. |
|
|
|
Прежде |
всего определим |
по формуле |
(1.1) величину |
|
интервалов вариационного |
ряда: |
|
||
|
50,1 — 6,2 |
_ |
43,9 |
^ |
|
~~ 1 +3,2 lg п ~ |
1+3,2 lg 166 = |
— 36 —
Формула (1.1) определяет порядок величины интервала.
Полученное значение |
интервала |
необходимо |
округлить |
||
до ближайшего |
числа |
кратного |
пяти, тогда |
получим |
|
9 строк интервального |
вариационного |
ряда. Все 166 зна |
|||
чений признака |
(скорость проходки |
штреков) |
разносим |
по строкам интервального вариационного ряда и подсчи тываем частоты по каждой строке.
Далее, по значениям частот и значениям середины ин тервалов находим сначала условные, затем центральные моменты и по ним вычисляем статистические характери стики полученного вариационного ряда. Все вычисления записываем в табл. 11.
Т а б л и ц а 11
X
t. £
«§
І 5
Зна' и н те
1
öj S* |
|
|
|
ю |
|
|
|
|
|
|
|
о. ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ol ' |
|
|
Е |
h- |
|
|
|
|
|
|
|
о л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
О |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
* £ |
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
+ |
+ |
|
«s. * |
f- |
|
|
|
|
||||||
- & |
|
|
CJ |
в |
+ |
и/ |
|
|
я |
|
|
|
|
га |
е |
S S и/ |
s Е 5 |
||||||
m ^ |
0 |
|
|
S |
|||||||
s к о |
К |
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
СО = |
|
о, |
4 5 |
6 |
7 |
8 |
п |
12 13 |
|||
2 |
|
|
9 10 |
-.
5,0—10,0 |
7,5 |
41 |
—2 |
— 1 - 8 2 |
—41 164 |
41 - 328 —41 |
656 |
41 |
||||
10,0—15,0 |
12,5 |
78 |
—1 |
0 - 7 8 |
0 |
78 |
0 |
—78 |
0 |
78 |
0 |
|
15,0—20,0 |
17,5 |
28 |
0 |
1 |
0 |
28 |
0 |
28 |
0 |
28 |
0 |
28 |
20,0—25,0 |
22,5 |
10 |
1 |
2 |
10 |
20 |
10 |
40 |
10 |
80 |
10 |
160 |
25,0—30,0 |
27,5 |
1 |
2 |
3 |
20 |
3 |
4 |
9 |
8 |
27 |
16 |
87 |
30,0—35,0 |
32,5 |
6 |
3 |
4 |
18 |
24 |
54 |
96 |
162 |
384 |
486 1536 |
|
35,0—40,0 |
37,5 |
0 |
4 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
40,0—45,0 |
42,5 |
1 |
5 |
6 |
5 |
6 |
25 |
36 |
125 |
216 |
625 1296 |
|
45,0—50,0 |
47,5 |
1 |
6 |
7 |
6 |
7 |
36 |
49 |
216 |
343 1296 2401 |
||
|
|
166 |
|
|
-119 |
47 371. 299 |
115 1037; }167{ Ï543 |
|||||
Правильность произведенных в табл. 11 вычислений |
||||||||||||
проверяем |
соответствующими |
тождествами: |
|
|
|
|||||||
2gm + n = |
2 m ( g + l ) ; |
- 119+ 166 = |
47; |
|
|
|||||||
|
2 £ 2 т + 22£m + п = 2m Ц + 1 )2 ; |
|
|
|
371 + 2 ( - 119)+ 166 = 299;
2mg3 + 32m|2 + 32m£ + n = 2m (5 + 1 ) »;
115 + |
3-371 + 3 ( — 119)+ 166 = |
1037; |
|||||||||
2mg4 + 42ml 3 |
+ 62m£2 |
+ 4ml + л = |
S/n (g + 1 ) *; |
||||||||
3167+ 4-115 +6 - 371 + 4 ( - |
119)+ 166 = |
5543. |
|||||||||
Подставляя в формулу (1.15) соответствующие |
значения, |
||||||||||
полученные в |
табл. 11, определяем |
значения |
условных |
||||||||
моментов: |
|
|
|
|
119 |
|
|
|
|
|
|
ai = |
|
= |
|
— 0,72; |
|
||||||
2т |
— = |
~ |
|
||||||||
|
|
|
|
166 |
|
|
|
|
|||
az |
- |
2m £ 2 |
|
371 |
|
|
|
|
|
||
S m |
|
І66 "~ |
|
|
|
|
|||||
а3 |
= |
2 m | 3 |
|
115 |
|
|
|
|
|
||
2m |
|
166 |
~ |
|
|
|
|
||||
04 |
|
2m|* |
|
3167 |
|
|
|
|
|
||
|
2 m |
|
Тб(Г ~ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Находим среднее значение |
признака |
|
|
||||||||
J = /iai' + C = |
5,0( - 0,72) + |
17,5= |
13,9 |
или |
Шм/мес. |
||||||
Вычисляем значение центральных |
моментов |
|
|||||||||
al = а2 = |
ft2[a2'-(аі')2] |
|
= |
5 , 0 2 [ 2 , 2 4 - ( - 0,72)2 ] = |
= 5,02-1,72 = 43;
а= У43 = 6,6 дес. м.
Правильность вычисления дисперсии проверяем по
формуле |
(1.16) |
|
|
|
|
|
о |
, |
и,пІг-і\ |
|
|
166-371 - ( - 119)2 |
|
а2 = а2 |
= /і2 ' |
—• = 52 |
— |
|||
|
|
|
|
|
|
1662 |
|
|
- |
25 |
47 425 = |
43; |
|
|
|
|
|
27 556 |
|
|
а |
з ° = Аз[а з ' - З а 2 |
' а 1 ' + 2 ( а Г ) 3 ] = 5 3 [0,70 - |
||||
|
- |
3 • 2,24 ( - |
0,72) + |
2 ( - |
0,72)3 ] = 598,8; |
|
eu = |
h'1 [aî — 4(а/аз + |
баг • ai)2 — 3(ai)4 ] = |
||||
= 5 4 [ 2 7 , 3 - 4 ( - 0 , 7 2 ) -0,70+ 6(— 0,72)2 -2,24- |
||||||
|
• |
- 3(— 0,72)4 |
] = |
20687,5. |
—38 —
З а м е н а і-і и е. Дисперсию и среднеквадратйческое от клонение (называемое иногда стандартным отклонением) при большой численности (более 1000) вариационного ряда и при симметричном или умеренно скошенном не прерывном распределении, а также при величине интер вала (h) не более '/го вариационного размаха вычисляют с поправкой Шеппарда на сгруппированность по следую щей формуле:
п |
\ 2 т / 1 2 |
Ѵ |
Если общая численность невелика, то поправка Шеп парда имеет второстепенное значение по сравнению со случайными колебаниями выборки и ею пренебре гают.
Подставляя величины, приведенные в табл. 11, в фор мулу (1.20), получим
1/371 |
/ — 119 \ 2 |
, |
|
= |
|
У 1,72 = 1,31 интервала. |
|
Вычисленное |
среднеквадратическое отклонение для |
интервального ряда должно быть выражено в тех же единицах, в которых выражена |. В табл. 11 каждая еди ница | — один классовый интервал соответствует 5 еди ницам X, т. е. 5 дес. М.
При расчетах по формуле (1.20) в качестве условной средней может быть принято значение середины любой строки интервального ряда и отклонения значений дру гих строк (| і ) от нее будут приниматься в единицах клас сового интервала (h). При этом предполагается, что все отдельные показания в каждой строке группируются око ло среднего значения этой строки.
При большой вариации со склонностью к симметрич ному (или умеренно скошенному) распределению сред няя каждой строки будет располагаться несколько бли же к центру распределения, чем к середине строки, так что при вычислении а2х по формуле (1.20) проявляется тенденция преувеличения дисперсии и среднеквадратиче*
— 39 —