книги из ГПНТБ / Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие
.pdfПрием, который здесь использован для вычисления
среднего |
значения мощности залежи по результатам |
всех |
||
замеров, |
называется взвешиванием., а |
частоты интерва |
||
лов — статистическими весами |
признака. |
|
||
Средняя, которая получается в результате примене |
||||
ния взвешивания, называется |
средней |
взвешенной. |
Ни |
|
какой принципиальной разницы между средней взвешен ной и средней арифметической нет. Нетрудно заметить, что взвешенная средняя не меняет своей величины, если все веса пропорционально увеличить пли уменьшить.
Среднее значение признака вариационного ряда мож но также получить как сумму произведений значений се редин интервалов па их частости. Например, для вариа ционного ряда, приведенного в табл. 3, среднее значение
признака |
(среднее |
значение |
прочности |
образцов |
песча |
||
ника па сжатие в |
кГ/см2) |
|
|
|
|
||
w = |
49-0,150 + |
51 -0,225 + |
53-0,325 + |
55-0,175 + |
|||
|
+ |
57 • 0,100 + 59 • 0,025 = |
52,9 |
кГ/см*. |
|
||
|
|
§ 3. М Е Д И А Н А И М О Д А |
|
|
|||
Медиана. |
Медиана — значение |
признака, соответст |
|||||
вующего |
середине |
упорядоченного |
вариационного |
ряда. |
|||
Одной из характеристик вариационного ряда служит медиана Me, т. е. такое значение варьирующего призна ка, которое приходится на середину упорядоченного ва риационного ряда.
При нечетном числе |
вариантов медиану определяют |
|
по формуле |
|
|
Me = |
xm+i. |
|
При четном числе вариантов медиану определяют по |
||
формуле |
|
|
, , |
х т -{- |
ХТ+І |
Me = |
|
2 |
|
|
|
Если численность вариационного ряда 2 / и + І , то зна чение признака для случая /п+1 будет медианным. Если в ряду четное число (2т) случаев, то медиана равна средней арифметической из двух срединных значений признака.
— 20 —
Пример І.І. Девять образцов известняка из карьера испытывались на растяжение методом раскалывания ци линдров (бразильский метод). Результаты испытаний представлены в табл. 5.
Т а б л и ц а 5
Д и а м е тр |
ци |
Длина |
цилинд Площадь плоскос |
Разрушающая |
к / р а с т , нгісм-- |
||
линдра d, |
мм |
ра |
м |
ти раскола S, см' |
нагрузка Р , кГ |
||
|
|||||||
30 |
10 |
3,0 |
130 |
43,3 |
30 |
10 |
3,0 |
140 |
46,7 |
30 |
9,7 |
2,0 |
140 |
48,1 |
30 |
10,1 |
3,0 |
146 |
48,2 |
30 |
10,2 |
3,1 |
148 |
48,4 |
20,1 |
9,9 |
2,1 |
ПО |
52,9 |
20,1 |
20,2 |
2,1 |
115 |
53,7 |
20,1 |
10,3 |
2,2. |
120 |
55,3 |
20,1 |
10,1 |
2,1 |
120 |
56,6 |
|
|
|
|
453,2 |
Здесь число вариантов нечетное, т. е. 2т+1 =9; 2/л = 8; m = 4. Тогда Ме = д.'4+і = х 5 = 48,4.
Пример 1.2. В табл. 6 приведены результаты испыта ний 10 образцов породы габбро на растяжение методом
раскалывания |
цилиндров (бразильский |
метод). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 6 |
|
|
|
Д и а м е т р |
Площадь |
Р а з р у ш а ю щ а я |
|
||
Длина |
образца |
|
плоскости |
|
||||
|
образца |
нагрузка |
^ р а с т ' к Г І с м " |
|||||
1, |
мм |
|
раскола |
Id, |
||||
|
d, мм |
Р , |
кГ |
|
||||
|
|
|
см- |
|
|
|||
68,7 |
|
49,5 |
34,0 |
|
5 |
700 |
168 |
|
30,0 |
|
22 |
6,6 |
|
1 |
160 |
176 |
|
37,0 |
|
42,5 |
15,7 |
|
2 |
810 |
179 |
|
33,0 |
|
69,0 |
22,8 |
|
3 |
920 |
172 |
|
60,0 |
|
71,0 |
42,6 |
|
8 |
300 |
195 |
|
129,1 |
|
71,0 |
91,6 |
|
18 |
300 |
200 |
|
65,1 |
|
71,0 |
46,2 |
|
9 |
250 |
200 |
|
34,5 |
|
69,0 |
23.8 |
|
4 |
980 |
205 |
|
40,0 |
, |
42,5 |
17,0 |
|
•3 |
880 |
228 |
|
30,0 |
|
42,5 |
12.8 |
|
3 |
020 |
236 |
|
|
|
|
|
— 21 — |
|
|
|
|
Поскольку здесь число вариантов четное, то 2т = 10,
т = 5 и M e - ^ 1 І |
6 = 197,5. |
2 |
|
Если вариационный ряд представлен в интервальном виде, то при определении медианы вначале находят ин тервал, содержащий медиану, используя для этого накоп ленные частоты или накопленные частости. Медианным интервалом является интервал, для которого накоплен ная частота превышает половину всего объема совокуп ности.
При постоянстве плотности внутри интервалов (клас сов) значение медианы определяют по формуле
|
У, m |
|
|
|
— |
-Mmed-l |
|
Me = xmed(mta) + h |
|
, |
( 1.2) |
где xmed(min) — нижняя граница |
медианного ряда; |
h — ин |
|
тервальная разность; M — накопленная частота |
интерва |
||
ла, предшествующего медианному; //im c d — частота меди анного интервала.
Пример 1.3. Вычислим значение медианы по данным, приведенным в табл. 4, в которой сумма частот равна 40:
2/л |
40 |
-ïmed(min) = 52,1 ; h — 2; — |
= — = 20; |
•Mmed-l = 15; /»med = 13.
Отсюда |
|
20—15 |
|
Me = 52,1 + 2 |
: 52,9. |
13 |
|
Графическое определение медианы. При графическом |
|
определении медианы последнюю |
ординату кумуляты, |
пропорциональную сумме всех частот или частостей, де лят пополам. Из полученной точки (точка А на рис. 3, а) проводят перпендикуляр до пересечения с кумулятой в точке В. Абсцисса точки В (на рис. 3, а равна 52,8) и будет медианой.
Мода. Модой называют вариант, наиболее часто встречающийся в данном вариационном ряду. В дискрет ном вариационном ряду моде соответствует вариант с наибольшей частотой.
В интервальном ряду интервал, содержащий моду (модальный интервал), определяют по наибольшей час-
— 22 —
тоте (когда интервалы равны) или по наибольшей плот ности (когда интервалы не равны). Вычисляют моду по формуле
Mo = -V'mod(mln) + |
|
/"mod — '"mod—i |
(1.3) |
+ А- ('"mod — tfîmod-l) + ('"mod — >Птой+і) |
|
где ,Vmod(mm) — нижняя граница модального |
интервала; |
/"mod — частота модального интервала. |
|
Плотность интервала — отношения частоты |
интервала |
к его величине. |
|
m |
|
Рис 4
Пример 1.4. В табл. 4 наибольшая частота, равная 13, соответствует интервалу 52,1—54. Этот интервал и будет модальным:
•%iod(mm) = 52,1; h = 2; /"mod — 13; m m 0 d - i = 9; /"niod+1 = 7.
Подставляя эти значения в формулу (1.10), получим
1 3 - 9
Mo = 52,1 + 2- (13 —9) + (13 —7) = 52,9.
Симметричными вариационными рядами называют та кие, в которых частоты вариантов, равноотстоящих от средней линии, равны между собой (рис. 4).
Особенностью симметричных вариационных рядов яв ляется равенство трех характеристик:
X = Me = Mo.
Если частоты в вариационном ряду по обе стороны от средней изменяются по-разному, то такие ряды назы вают асимметричными, пли скошенными.
Различают правостороннюю и левостороннюю асим метрию. Показателем отклонения вариационного ряда от симметрии служит коэффициент асимметрии
kA = |
. |
(1.4) |
а
При /г.л>0 вариационный ряд имеет левостороннюю асим метрию, при & а < 0 — правостороннюю асимметрию. Сим метричный вариационный ряд характеризуется значени ем &д = 0.
§ 4. МЕРЫ ВАРИАЦИИ (КОЛЕБЛЕМОСТИ) ПРИЗНАКА
Степень вариации признака характеризуют несколь кими способами. Для приблизительной оценки степени вариации признака пользуются вариационным размахом R, который равен разности между крайними (экстремаль ными) значениями признака.
Простое среднее отклонение представляет собой сред нюю арифметическую абсолютных значений отклоне ний вариантов от средней и вычисляется по одной из сле дующих формул:
А |
- |
ХІ |
— Х |
(1.5) |
|
|
|||
|
|
ХІ |
|
m |
А = • |
Em |
(1.6) |
||
|
|
|
||
В формулах (1.5) |
и (1.6) |
в прямых скобках заключе |
||
ны разности между вариантами .и средней. Здесь непо средственное суммирование и суммирование после взве шивания производится без учета знаков.
Дисперсия о2 (средний квадрат отклонения) является наиболее распространенной характеристикой степени ко леблемости признака.
— 84 -
Определяют дисперсию по следующим формулам:
п
1 |
(1.8) |
|
|
|
2 m |
Формула (1.7) пригодна для несгруппированных данных, а формула (1.8)—для данных, сгруппированных в ин тервальные ряды.
Корень квадратный из дисперсии а называют среднеквадратическим отклонением, или стандартом. Значения А и а представляют собой абсолютные величины, выра женные в тех же единицах измерения, что и варианты. При достаточно большом объеме совокупности и распре делении признака в вариационном ряду, близком к нор мальному, между а и А имеет место следующая взаимо связь:
сг=1,25Д.
Для характеристики степени вариации признака ча ще используют относительные показатели — коэффициен ты вариации, вычисляемые по формулам:
1 / д = 4 - 1 0 0 ' |
( L 9 ) |
А. |
|
Основные свойства дисперсии
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:
ас = 0.
2)Если все значения вариантов признака уменьшить
—25 —
На постоянную величину, то дисперсия не изменится:
Z |
2 |
Ох-С |
==• Ох • |
3) Если все значения вариантов (х,-) уменьшить в к раз, то дисперсия уменьшится в /г2 раз:
22
ОѴ/і = Oxlh • Ii2-
§5. МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Моментом k-ro порядка называют среднее из k-x сте пеней отклонений вариантов от некоторой постоянной, величины С:
ah = fa — С)
Если при вычислении средней в качестве весов исполь зуют частоты или частости, то моменты называют эмпи рическими; при использовании вероятностей — теоретиче скими.
Эмпирический момент /г-ro порядка вычисляют по формуле
2 (ХІ |
— С) >чп |
|
||
* - |
|
ът |
• |
(1-П> |
Различают следующие моменты: |
|
|
||
1) Начальные моменты |
(С = 0): |
|
|
|
а л = |
— |
. |
|
(1.12) |
Начальный момент нулевого порядка (А = 0):
ао = |
Sx; |
• Oh |
1, |
— |
= |
||
|
1,/ПІ |
(k—l): |
|
начальный момент первого порядка |
|||
ai = |
ЪХІ-ГПІ |
_ |
|
— г |
= |
X |
|
и т. д.
2) Условные моменты (С — произвольная величина). В целях упрощения вычислений в выражении (1.11) зна чение С берут близким к предполагаемому среднему арифметическому. В этом случае значение С называют ложным нулем.
— 26 —
Условные моменты относительно ложного нуля нахо дят из выражения
|
|
|
|
2(*j — |
C)h-im |
|
|
|
|
п |
= л ± ъ £ — • • |
• |
(,-,з>. |
||
3) |
Центральные |
|
моменты |
(С — Х). |
Между |
централь |
|
ными |
и условными |
моментами существует следующая |
|||||
связь; |
|
|
|
|
|
|
|
|
cte° = |
|
ft*te'-(ai')a], |
|
|
|
|
|
а3 ° = |
/і3 [а3 ' - |
За/ • а2 ' + |
2 ( а / ) 3 ] , |
|
(1.14) |
|
|
а4° = |
hk[a[ |
— 4а/аз + ба2 ' (al)2— |
3(аі ) 4 ] . |
|||
Обозначим в выражении (1.11) х—С = |, тогда фор мула для вычисления условного момента А-го порядка примет вид
а к = - ^ г - |
( 1 Л 5 ) |
Условный момент первого порядка (А=1)
ai |
2 £ - m |
|
2 m " |
||
|
Условный момент второго порядка (А = 2)
,2g2 -m
a2 == —
2 m
и т. д.
Пример 1.5. Вычислим условные и центральные мо менты для вариационного ряда, приведенного в табл. 3. Все вычисления расположим в табл. 7.
Подставляя соответствующие значения, полученные из табл. 7, в выражение (1.15), находим значения условных моментов:
ai = — 1,1; |
02 = 2,8; |
а3 |
= |
— 5,9; |
= 16,6. |
|
Определяем значение |
X |
: |
|
|
|
|
X = haï |
+ С = 2(— |
1,1) + 55 = |
52,8, |
|||
где h — шаг интервала |
(класса) |
в табл. 7, |
а С —значе |
|||
ние ложного нуля |
(в примере С = |
55). |
|
|||
Т а б л и ц а 7
Границы |
Значение |
|
Частота |
л - , - 5 5 |
|
|
|
|
|
|
|
середины |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|||
интервалов, интерпала |
, |
m |
|
mi. |
ml* |
|
|
|
|||
ХГ см' |
кГІся* |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
48-50 |
49 |
|
6 |
|
- 3 |
- 1 8 |
54 |
—162 |
486 |
||
50-52 |
51 |
|
9 |
|
—2 |
- 1 8 |
36 |
—72 |
144 |
||
52—54 |
53 |
|
13 |
|
—1 |
—13 |
13 |
- 1 3 |
13 |
||
54—56 |
55 |
|
7 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
56—58 |
57 |
|
4 |
|
1 |
|
4 |
4 |
|
4 |
4 |
58—60 |
59 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
4 |
|
8 |
16 |
|
|
|
40 . |
— • . |
—43 |
111 |
—247 |
663 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
h |
h |
's |
U |
|
Вычисляем значения центральных |
моментов: |
|
|
||||||||
а2° = |
а2 = /і2 [а2 - |
(аі ) 2 ] = |
22 • [2,8 - |
( - |
1,1 ) 2 ] = |
6,4; |
|||||
|
а3° = |
Аз [аз - |
За2 ' (аі' ) + |
2 ( а і ' ) 3 ] = |
|
|
|
||||
_ = 8 - [ - 5 , 9 — 3 - 2,8( - 1,1)4- 2(— 1,1)3] = |
5,6; |
|
|||||||||
al |
= Л4 [а4 — 4(аз -аГ ) + |
баг'- ( а [ ) 2 — 3(аГ)4 ] |
= |
|
|||||||
= |
16-[16,6 — 4(— 1 , 1 ) - ( - 5 , 9 ) + 6 ( - |
1,1)2.2,8- |
|
||||||||
|
|
- 3 ( - |
1,1)*]= Ю5,6. |
|
|
|
|
||||
Для уменьшения ошибок, возникающих от округления |
|||||||||||
цифр, при вычислении а", а3 |
и al |
пользуются |
форму |
||||||||
лами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
а § = А 3 | /, |
|
|
|
2Й |
|
|
|
|
|
(1.16) |
|
|
/г |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а^ = А4 |
|
/г |
|
/г2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 4 = 2 т ^ 1 '
Д ля рассматриваемого примера имеем:
О |
|~ 140U •-111 —- (I —- 4t 3O J)" 2 |
1 |
6,5; |
|||||
а 2 = 4 - |
|
|
|
— |
|
|
J: |
|
|
|
|
|
40* |
|
|
|
|
— 235- |
3( —43)-111 |
, |
|
2 ( - 4 3 ) 3 |
||||
а°з = 23 . |
|
|
40 |
|
|
40 |
2 |
|
|
|
|
40 |
|
|
|
=4,7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
3 |
4 ( - 4 3 ) . ( - 235) |
|
||||
щ - 2 4 . |
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 J - 4 3 J M U |
( - 43)* |
|
||||||
Г |
|
лг\п2 |
|
— 3 |
40 |
3 |
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
106. |
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная центральные моменты третьего и чтвертого по рядков, вычисляют асимметрию и эксцесс вариационного ряда.
Мерой асимметрии вариационного ряда служит нор мированный момент третьего порядка, определяемый из выражения
о
А = а 3 (1.17)
Показатель асимметрии для симметричного ряда ра вен нулю. Если в одномодальном_ряду большая часть ва риантов расположена справа от X (правая асимметрия), то значение А будет положительным; если большая часть вариантов расположена слева от X, то значение А отри цательно (левая асимметрия).
В примере 1.5
4 7
Следовательно, вариационный ряд имеет незначительную правую асимметрию (см. рис. 2).
Сглаженность кривой вариационного ряда характе ризуется эксцессом, который определяется по формуле
Е = |
о |
(1-18), |
—29 —