книги из ГПНТБ / Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие
.pdf§ 3. УРАВНЕНИЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИИ
Если известны квадратические отклонения и коэффи циенты корреляции, то можно составить все 12 уравне нии связи второго порядка. Найдем наиболее важное уравнение, выражающее зависимость между производи тельностью рабочего лавы и изменением мощности пла ста (2), скоростью подвигания забоя (4) и изменением длины лавы (3) (см. табл. 72):
/•> 12.34 = |
Па.» = |
= 0 , 6 8 2 « |
|
0,77; |
|
|
02.134 |
|
1,19 |
|
|
.021.34 = |
гм.34 = — |
= 0 , 6 |
8 2 ^ - « |
0,05; |
|
|
0"3.124 |
|
17,51 |
|
|
081.24 = |
г з , . 2 4 — - |
0,023 = |
^ |
« |
0,04; |
|
СГ4.123 |
|
9,23 |
|
|
а - 6 , 5 - 0 , 7 7 - 1 2 - 0 , 0 5 - 1 5 5 - 0 , 0 4 - 3 8 5 = - 1 2 .
Корреляционное уравнение, выражающее зависимость между производительностью рабочего струговой лавы, и мощностью угольного пласта Y (2), скоростью подвига ния лавы V (4) и длиной лавы Z (3) [см. табл. 72], имеет вид:
.Y = — 12 + 0,77;/ + |
0,05? + 0,04t<. |
(1) |
||
Квадратическая |
ошибка, допускаемая |
при |
расчетах |
|
по этому уравнению, |
составит: |
|
|
|
о г = аУ 1 - г?2.з4 = 2,23 V 1 - 0,6822 « +_ 1,6 |
фмену. |
|||
При мощности пласта у=\2 |
дм, скорости подвигания |
|||
лавы и = 40 м/мес и при длине лавы Z=150 м производи |
||||
тельность рабочего очистного забоя составит: |
|
|||
Х = — 12 + 0,77-12 + 0,05-150 + 0,04-40 « |
6,3 |
т/смену. |
||
При"*г/=15 дм, ѵ=Ъ0 м'и |
Z= 170 м, |
|
|
|
Х = — 12 + 0,77-15 + 0,05-170 + 0,04-50 = |
10,1 |
т/смену. |
||
Корреляционное уравнение позволяет дать более под робное истолкование коэффициентов корреляции.
Корреляционное уравнение, выражающее зависи мость между производительностью рабочего лавы (X),
— 222 —
мощностью угольного пласта (у) и скоростью подвигания забоя (и) имеет вид:
Х = а + Ьу + сѵ. |
(7.7) |
В уравнении (7.7) значения коэффициентов a, b я с определяют по следующим формулам:
b = 2l/JlZJjb^t |
|
(7.8) |
||
02 |
|
1 — Г2 |
|
|
|
|
|
2/4 |
|
с = ^ " Г |
2 |
/ 4 > |
(7-9) |
|
0 4 |
1 |
- |
''2/4 |
|
а = Х — ЬУ — сѵ. |
(7.10) |
|||
В рассматриваемом примере
= |
2 ^ |
0,59-0,55-0,01 _ |
? g |
|
|
1,7" |
1 - 0 . 0 1 2 |
~ ' |
' |
|
2,2 0,55-0,59-0,01 |
|
|
|
с |
• |
. « |
0,096, |
|
12,5 |
1 - 0,01 2 |
|
|
|
с = 6,5 - |
0,76 - 1 2 - .0,096 • 38,5 « |
— 6,32. |
||
Следовательно, уравнение связи (7.7) принимает вид
X = — 6,3 + О,7б0 + О,1і>. (II)
Например, при мощности пласта 1,5 м и скорости по двигания лавы 50 м/мес производительность рабочего лавы (в среднем)
Х = — 6,3 + 0,76-15 + 0,1-50 = 10,1 ± 1 , 3 т/смену.
Тесноту связи при множественной прямолинейной корреляции характеризует коэффициент множественной корреляции, определяемый по формуле
п 2 |
rf/2 + П/і + 2/-1/2• П/і.• Г2/4 |
. _ 1 . . |
H I 2 I = = |
Г Г Т І |
( 7 Л 1 ) |
|
2/4 |
|
В рассматриваемом примере коэффициент множест венной корреляции между производительностью рабоче-
— 223 —
го струговой лавы, мощностью угольного пласта и скоро стью иодвпгапня забоя
|
0,592 + |
—г |
|
|
|
|
/ ? 1 2 4 |
0,552 - 2,059 • 0,55 • 0,01 |
ta 0,80. |
||||
= у |
|
' |
|
|
||
|
|
|
1 —0,01 |
2 |
|
|
Стандартная |
ошибка коэффициента |
корреляции |
||||
|
1 — jR2 |
1 - 0,802 |
0,36 |
|
|
|
а л |
= |
— = |
- — = |
— = |
± 0,04. |
|
|
}'п |
У86 |
9,3 |
|
|
|
Надежность |
коэффициента |
|
|
|
||
йа,- 0,04 ~
Коэффициент детерминации = /?2 = 0,802 = 0,64. Следовательно, на 64% изменение производительно
сти рабочего лавы причинно обусловлено факториальными признаками у, Z, ѵ и 36% приходится на долю дру гих, неучтенных факторов.
Стандартная ошибка, допускаемая при определении
производительности |
рабочего лавы |
по уравнению ( I I ) , со |
ставит: |
|
|
оп = о ѵ у і — Rz = |
2,2 У1 —0,80 = |
2,2-0,6 = 1,3 м/смену. |
Основными при линейной корреляционной связи яв ляются следующие три показателя :
1) стандартная ошибка оценки, указывающая, на сколько близко оцененные признаки совпадают с наблю даемыми величинами этого признака. Выше было пока зано, что этот показатель измеряется в тех же величи нах, что и значение самого признака, и, следовательно, его величина сравнима с значением признака;
2)коэффициент детерминации (г2 ), оценивающий ту долю изменений в результативном признаке, которая объ ясняется влиянием изменений факториального признака;
3)коэффициент корреляционного уравнения, опреде ляющий угол наклона линии связи и указывающий сред нее число единиц, на которое увеличивается или умень шается результативный признак при изменении факто риального признака на единицу его измерения. Этот па раметр иногда выражают для каждого факториального признака в единицах его стандартного отклонения:
ty = |
, tv = |
и т. д. В этом случае параметр |
|
Oy |
Оѵ |
называют стандартизованным или стандартным коэффи
циентом корреляции, а иногда |
ß-коэффициентом. |
|
|||
Уравнение множественной прямолинейной связи в |
|||||
стандартизованном масштабе имеет следующий вид: |
|||||
|
|
t i = |
ß 2 f e + ß s f s |
+ . . . + ßfcfc, |
(7.12) |
где |
ti — значение |
(в среднем) результативного |
лриз- |
||
нака |
при данных |
значениях факториальных признаков; |
|||
tu |
h — стандартизованные |
значения факториальных |
|||
признаков; |
ßj —стандартизованные коэффициенты |
.мно |
|||
жественной |
связи. |
|
|
|
|
В условиях прямолинейной |
корреляции стандартизо |
||||
ванные коэффициенты оказываются коэффициентами кор реляции.
Следовательно, |
уравнение |
(7.12) в |
рассматриваемом |
|||
примере можно записать, |
не |
вычисляя |
стандартизован |
|||
ные коэффициенты: |
|
|
|
|
|
|
tx |
= |
0,59іу + |
0,16k + 0,55f„. |
(7.12') |
||
Из уравнения |
і(7.12') видно, что наибольшее |
влияние |
||||
на производительность рабочего струговой лавы оказыва ет мощность угольного пласта и скорость подвигания за
боя. С увеличением |
мощности на один ее стандарт (на |
|||||
1,7 дм) |
производительность |
рабочего |
изменится, в сред |
|||
нем, на 0,6 стандарта |
производительности (на |
2,2-0,6 = |
||||
= 1,3 |
т/смену). |
|
|
|
|
|
При изменении скорости подвигания лавы, на один |
||||||
стандарт скорости |
(на 12,5 м/мес) |
производительность |
||||
рабочего лавы X увеличится |
на 0,55 стандарта |
произво |
||||
дительности (на 0,55-1,2 = 1,2 т/смену) |
при прочих посто |
|||||
янных условиях. |
|
|
|
|
|
|
Для |
практического |
использования |
установленные за |
|||
висимости лучше выражать в натуральном масштабе (как это сделано в уравнении ( I ) ) .
Множественный коэффициент корреляции определяют
по формуле |
|
|
|
R = Ѵгіг-Рг + гіа-ра + |
ріГи. |
(7.13) |
|
В рассматриваемом |
примере |
|
|
R = У0,59 • 0,58 + 0,16 • 0,016 + |
0,55 • 0,544 |
= |
|
= |
У0,644 « 0,80. |
|
|
8—1924 |
— 225 — |
В общем случае стандартизованные коэффициенты множественной корреляции находят нз условия
|
|
2 [ ' і - |
?і . 2 з ] 2 = |
т і п . |
(7.14) |
||||
Условие (7.14) приводит к следующей |
системе нор |
||||||||
мальных уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|||
''12 |
= |
ß-2 |
+ |
Рз • ''.32 + |
ß4 • ^42 + |
. . . + |
ß/i • ГUZ, 1 |
||
r i 3 |
= |
pY'M + |
ß 3 |
+ |
fa-ru |
+ |
• • • + |
ßfc-глз, j (715) |
|
/•l.ft |
= ß 2 ' / " 2 h + |
ßs - ГзЛ-Т- . . . |
+ |
. . . + ßft |
J |
||||
Для рассматриваемого примера принимает вид: |
|||||||||
|
0,59? = |
ß, |
+ 0,27ß3 |
+ 0,0 lß 4 , |
\ |
||||
|
|
0,16 = |
0 , 2 7 ß 2 + ß 3 |
- 0 , 0 2 ß 4 , |
\ |
||||
|
|
0,55 = |
0,01 ß 2 - 0 , 0 2 ß 3 + |
ß4 . |
j |
||||
Разделим каждое из уравнений системы на коэффициен ты при ß2 :
0,59 |
= |
ß 3 |
+ |
0,27ß |
3 + |
0,0 lß4 , |
(1) |
) |
0,60 |
= |
ß 2 |
+ 3 , 7 0 ß 3 - 0 , 0 7 4 ß 4 ) |
(2) |
> |
|||
55 = |
ß 2 - 2 ß 3 |
+ |
100ß4 , |
(3) |
j |
|||
а затем вычтем |
из |
уравнения |
(2) уравнение (1) и из |
|||||
уравнения (3) уравнение (1), в результате получим: |
||||||||
0,01 = |
|
|
3 , 4 3 ß |
3 - |
0,084ß4 , |
(Г) |
\ |
|
54,41 = |
— 2,27ß3 |
+ 100,01ß4 . |
(2') |
/ |
||||
Последние уравнения разделим на коэффициенты при ße:
0,003 = |
- 0 , 0 2 4 ß 4 , |
( 1 " ) | |
23,97 = |
+ 44,06ß4 |
(2'0 > |
и вычтем йз уравнения (2") уравнение (1"): 23,967 = 44,084ßb
откуда |
23,967 |
|
|
|
Р>і = |
« |
п е л л |
||
— |
|
0,544. |
||
н |
44,0684 |
|
|
|
Подставляя значения |
ß 4 |
в уравнение (10. имеем: |
||
0,01 = |
3,43ß3 -0,084-0,544, |
|||
|
— 226 — |
|
||
откуда
0,054 ß 3 = 3,43 = 0,016.
Подставляя значения ß4 и ß3 в уравнение (1), получим:
ß 2 = 0,59 - 0,27-0,016 - 0,01-0,544 = 0,58.
Решение можно проверить подставив найденные значения ß2 , ß3 > ß4 в систему (7.15) :
0,58 + 0,27-0,016 + 0,01 -0,544 = 0,59, 0,27-0,58 + 0,016 — 0,02-0,544 = 0,16, 0,01 -0,58 - 0,02-0,016 + 0,544 = 0,55.
Следовательно, корреляционное уравнение в стандарти зованном масштабе имеет вид:
tx = 0,59*,, + 0,02*z + 0,ШѴ.
Коэффициенты ß2 , ß3 , ß 4 определяют, на какую часть стандарта изменялось бы среднее значение результатив ного признака, если бы соответствующий факториальный признак увеличился на свой стандарт, а прочие факториальные признаки остались бы без изменения.
Коэффициенты ßi выражают скорость изменения сред него значения результативного признака по каждому из факториальных признаков при постоянном значении дру гих факториальных признаков, а также показывают срав нительную силу влияния изменения каждого факториального признака на изменение результативного признака, поскольку все факториальные признаки выражены в срав нимых единицах измерения (сигмах).
Ответим на вопрос о том, что нового |
в исследовании |
|
взаимозависимости между отдельными |
признаками вно |
|
сит уравнение множественной корреляции по |
сравнению |
|
с уравнением парной корреляции (корреляции |
нулевого |
|
порядка).
Коэффициент в уравнении парной корреляции рассчи тывается по формуле
(а)
С Помощью этого коэффициента можно сказать, на сколько в среднем изменится результативный признак
— 227 —
при изменении факториального признака на единицу при условии, что другие факториальные признаки останутся на том же уровне.
Коэффициент корреляционного уравнения множест венной связи рассчитывается по формуле
<5х rxl у |
|
fx/v'fy/v |
Ѵу |
1 |
(б) |
- Г 2 , |
С его помощью можно ответить на вопрос о том, на сколько единиц изменится в среднем результативный признак с увеличением факториального признака на еди ницу, если бы у не изменялся, а прочие факториальные признаки оставались на одном и том же уровне.
Уравнение множественной связи позволяет элимини ровать (устранить) влияние фактора у , корреляционно связанного с X .
§ 4. УРАВНЕНИЕ ЧИСТОЙ КОРРЕЛЯЦИИ (ЧИСТОЙ РЕГРЕССИИ)
Уравнение чистой корреляции получают из уравнения множественной корреляции заменой значений ряда фак ториальных признаков их средними значениями.
В корреляционном уравнении в стандартизованном масштабе члены уравнения с закрепленными признака ми опускаются:
Ï1.23, ...л = ß 2 * 2 + ß 3 * 3 + . . . + ßftfc. |
(7.16) |
Найдем для нашего примера чистую линию связи про изводительности рабочего лавы с мощностью угольного пласта при постоянных средних значениях длины лавы
искорости подвигания забоя.
Встандартизованном масштабе
|
|
ïi.2(34) |
= |
|
0,59г/. |
|
|
В натуральном |
масштабе |
|
|
|
|
||
|
^1.2(34) = |
Ьф+і,к+2,...р) |
|
+ |
& 2 * 2 + . . . + |
bhXh, |
(7.17) |
где Ь\,_р2, |
Ьз—коэффициенты |
|
|
уравнения |
множественной |
||
связи Хі |
по признакам Х2, |
Х |
3 |
, X k . |
|
|
|
Из уравнения |
(7.7) имеем |
|
|
|
|
||
^ 1 . 2 ( 3 4 ) = (1,7 +0,10-38,5)+ 0,08у = 5,6+ 0,08і/. ' '
—228 —
Сравним это уравнение с уравнением простой парной корреляции ^=5,6 — 0,76«/, параметры которого таковы:
Ьх/у = гх/у = — = |
0,59 Щ- = 0,76; |
Oy |
1,7 |
а = Х— 6У = 6 , 5 - 0,76-1,2 = 5,6,
Хѵ = 5,6 - 0,76г/.
Впервом из уравнений, по сравнению со вторым, зна чение коэффициента корреляционного уравнения умень шилось.
Вуравнении простой корреляции влияние признака у на результативный признак X было осложнено влиянием корреляционно связанных с у признаков Z и ѵ (оно было несколько преувеличено за счет сопутствующего совмест ного влияния длины лавы и скорости ее подвигания).
Вуравнении чистой корреляции от этого влияния ос вободились, закрепив длину лавы и скорость подвигания на среднем уровне, в результате чего и уменьшилось значение коэффициента корреляционного уравнения.
Уравнение чистой корреляции целесообразно исполь зовать, если исключаемые переменные признаки не сильно связаны с признаками, оставшимися в уравнении
[как |
это имеет |
место в рассматриваемом |
примере, где |
|||
мощность |
пласта (остающийся |
признак) слабо связана |
||||
с длиной |
лавы |
(rv /z = 0,27) и со скоростью |
подвигания |
|||
лавы |
(^/« = 0,01)]. |
|
|
|
||
§ |
5. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ А Н А Л И З |
ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ |
||||
|
|
РАБОЧЕГО КОМБАЙНОВЫХ |
ЛАВ |
|
||
Пример 7.2. |
В приложении |
X I I I |
приведены сведения |
|||
о производительности рабочего очистного забоя по уголь ным лавам, оборудованным широкозахватным комбай ном.
В табл. 77 приведены основные показатели работы этой группы лав.
Рассчитаем уравнения прямолинейных парных кор реляций.
а) Уравнение производительности рабочего лавы по
— 229 —
длине лавы |
|
=а + Ьу> |
|
|||
|
|
х ѵ |
|
|||
|
b = гх/у— |
= |
0,329 - ^г т = 0,02; |
|||
|
|
оу |
|
|
24,4 |
|
|
a = X — bY = 5,5 — 0,02-119 = 3,12, |
|||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
Z = |
3,12 + 0,02y. |
(А) |
|||
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 77 |
1 |
Производительность |
|
Oj.=l,49 т/смену |
Гі |
||
|
рабочего лавы' |
|
|
|
|
|
|
А = 5 , 5 т/смену |
|
|
|
|
|
2 |
Длина лавы Т = 119 |
м |
|
оу =24,4 |
Г] 2=0,329 |
|
3 |
Мощность пласта |
|
|
аг =0,32 |
г 1 3 =0,461 |
|
Z=l,02 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Скорость подвигашш |
0^=13,2 м |
Г і 4 = 0 , 5 і 9 |
|||
|
лавы Ѵ'=44,7 м |
|
|
|
|
|
|
/"23=—0,301; |
|
|
/-2 4=—0,338; |
/-34=—0,120 |
|
|
б) Уравнение производительности рабочего лавы по |
|||||
мощности пласта |
|
|
|
|
|
|
|
|
X = |
a + |
bz, |
|
|
|
b = r x l z |
^ = |
0,461 i^Ü- = 2,15, |
|
||
|
|
az |
|
|
0,32 |
|
|
a = X — 2.15Z = |
5,5 - |
2,15-1,02 = |
3,31; |
||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
X = 3,31 + |
2,152. |
(Б) |
|||
|
в) Уравнение производительности рабочего лавы по |
|||||
скорости подвигания лавы |
|
|
|
|||
|
|
Х = а + Ьѵ, |
|
|||
|
Ь = Гх/ѵ— |
= 0 , 5 1 9 = 0,06, |
|
|||
|
оѵ |
|
|
10,1 |
|
|
|
, a |
==5,5— 0,06-44,7 « 2 , 8 2 , |
||||
|
|
|
— 230 -~ |
|
||
следовательно,
X = 2,82 + 0,06о. |
(В) |
г) Уравнение множественной корреляции производи тельности рабочего лавы по длине и мощности пласта одновременно
|
|
|
X |
= a-f- |
by-\-cz, |
|
|
b_=°x |
г*у — гы-гуг |
_.. 1,49 0,329 —0,461 (—0,301) |
_ |
||||
~~ Oy |
1 - |
г*уг |
~ 24,4 |
1 - ( - 0.301)2 |
~~ |
||
|
|
|
|
0,697 |
|
|
|
|
|
|
— — |
« |
0,03: |
|
|
|
|
|
|
22,20 |
' ' |
|
|
_ |
а«/х» — гхуГуг_ |
1,49 |
0,461 -0,329 (—0,301) |
_ |
|||
С ~ |
Ох |
1 |
— ~ |
0,32* |
|
1 - ( - 0 , 3 0 1 ) 2 .' ~~ |
|
"_ 2 Д 6 2 _
~0 , 2 9 1 ~ " 7 , 4 d '
а = X — Ь7—СЕ=: |
5,5 — 0,02-119 — |
|
-7,43-1,02 = —4,46, |
|
|
следовательно, |
|
|
Х а = — 4,46 + |
О.ОЗг/ + 7,43г. |
(Г) |
д) Уравнение множественной корреляции производи тельности рабочего лавы по мощности пласта и скорости подвигания лавы
|
X = |
о -J- bz -J- cv, |
|
||
|
|
Ox |
t'xz |
fxv'fzv |
|
|
Ь |
Oz |
1 — Г 2 |
|
|
|
|
|
|
zv |
|
|
1,49 0,461 - 0,519 - ( - 0,100) |
|
|||
|
0,32 |
1 - ( - 0 , 1 2 0 ) 2 |
= 2,46, |
||
ox |
Гц — г1 3 -гз4 |
|
1,49 |
0,519 — 0,461 (—0,120) |
|
Ov |
1 - r 2 ^ |
13,2 |
1 - ( - 0 Д 2 0 ) 2 |
||
0,855
0,07,
13,07
a = Z — 6Z - cV = 5,5 - 2,46 • 1,02 - 0,07 • 44,7 = 0,14, следовательно,
Хм = 0,14 + 2,46z + 0,07o. |
( Д) |
— 231 — |
|