книги из ГПНТБ / Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие

Sy

=

0,0225 - 0,0043 = 0,0182.

Эта разница

равна

дисперсии

величии у', оцененных

по линии связи,

и

представляет долю вариации

У, обу­

словленную влиянием X, согласно установленному

прямо­

линейному отношению зависимости.

Отношение S^2

к оѵ2

определяет долю

вариации У,

обусловленную влиянием X,

Sy2/Sy=

0,0182/0,0225 =

0,81 =

dv/x.

аг =

1 _ Г 2

і _ о , 8 1

0,19

;— =

: — = — = 0,04.

Уп

у 18

4,25

Следовательно, г ,,Л-. = 0,90±0,04.

Мадежность коэффициента

корреляции

= И - У "=

° ' 9 У ^

^0,9-4,25 = 2 о

^ 1 - "

1 - г2 ~~ 1-0,81

0,19

вид связи затем получил подтверждение на рис. 47.

Из рисунков 43 H 47 видно, что корреляция

между ис­

следуемыми

признаками описывается

уравнением пара­

болы второго

порядка

(6.3).

Для

определения

параметров

уравнения

параболы,

индексов

корреляции и детерминации, а также для опре­

деления коэффициента

корреляции

и

коэффициента де­

рые производят обычно на корреляционной

решетке, до­

полняя ее H справа

н снизу рядом

колонок

и строк (см.

табл. 53).

MJM.ec, hx = 2Q м/мес,

Су =

В табл. 53 принято: С ѵ = 1 3 0

= 26 см/смену,

Ііу = 4 см/смену.

ХІ

Сх

УІ

Су

;

=

ь,

:

= Л-

h x

hy

Предварительно находят уравнение параболы в коор­

динатах I и и:

^ ^ a '

+ b'l

+

c'g.

(6.17)

Параметры

этого уравнения

находят по способу

наи­

меньших квадратов, решая систему уравнений

2 цт = а'• а +

6' 2 Im + с' 2 1"т,

2і-Ц-'п

= а' 2 | m + ö'2s2 'n +c ' 2 ^ С6 -1 8 )

— 20 =

226а' -

1096' + 963с',

312 = — 109а' +

9636' — 205с',

(а)

— 572 =

963а' — 2056' — 10083с'.

- 0,0885

= а' — 0,48236' +

4,211с',

2,8624

=

- а' + 8,83496" - 1,8807с',

(б)

— 0,5940 =

а' - 0,21296' +

10,4704с'.

— О-И (^22^33 — #32^2з) — ß 2 l ( а 1 2 а 3 3 — Д 3 о Я 1 3 ) - ( -

+ а 31 (а 12Я 23 —

а22аіз)-

По данным

табл. 53

составляют

определитель

сис­

темы:

226

- 109

963

- 109

963

- 20 5 =

226 [(963-10083)-

963

- 2 0 5

10083

_

( 205) ( - 205)] - ( - 109) [( -

109) • 10 083 -

- ( -

205) 963] + 963 [( - 109) ( -

205) - 963 • 963]

=

- 2 0

- 1 0 9

963

Д 1 = = 312

963

- 2 0 5 = - 2 0 [963-10 0 8 3 -

- 5 7 2

205

10 083

+

( -

572) [( -

109) ( -

205) - 963 • 963] =605 624 832,

226

-

20

963

д , =

- 1 0 9

312

- 2 0 5

:226 [312-10 0

8 3 -

963

-

572

10 083

- ( -

572) ( - 205)] -

( — 109) [( -

20) • 10 083 - ( -

572) X

X 963] + 963 [( - 20) ( — 205) - 3 1 2 - 963] = 437 141 092,

226

- 1 0 9

- 2 0

д 3

=

- 109

963

312 = 226[963 - ( - 572) -

963

— 205

- 572

А'

605 624 832

а

= Д

=

.215 ,30 304

= ° ' 4 9 8

4

° '

А2

437 141092

Ь' = — =

=

0,35975,

А

1 215 130 304

,

Аз

117 887 486

С = 7 \

=

12,5 130 304 = - ° ' ° 9

7

0 2 -

ц = 0,498 +

0,360£ -

0,097^.

Заменим переменные:

_ // — 26

_ Л ' — 1 3 0

Ч — 4

1 1

S —

go '

Определение параметров

уравнения

параболической

регрессии с помощью полиномов Чебышева.

Этот метод

применяют в том случае, если степень

параболы

заранее

неизвестна, а

определяется

наряду с

коэффициентами

уравнения по заданной выборке

(X\Yi),

(X2Y2),...,

(XnYn)

и когда все значения Х{ отстоят друг от друга

на величи­

ну hx, а значения Y{ — на величину //у.

уточне­

Уравнение

находят путем

последовательных

ний. Запишем

уравнение параболической

регрессии /г-го

порядка через многочлены Чебышева в общем виде:

Y

= ß0Po(X)

+ ßi • Pi (X) + .. . +

ßf t • Ph

(X).

(I)

Коэффициенты

ßi

находят

по

следующим

формулам

(формулы

найдены

способом

наименьших

квадратов):

2 *

ро =

п

,

ßl = —

,

ß 2 = —

,

(II),

S

p * (*<)

Многочлены Чебышева имеют вид:

Р0(Х)=

1;

Р1(Х)

= Х

/ і +

1

2

'

Р2(Х)

=

Хг-(п+1)Х

+ (я + ! ) • ( « +

2)

ѵ

'

2

^

10

( я + і ) . ( я + 2 ) - ( я + 3)

20

gr t 2 _і_ 21 —I—

Рк(Х)

=

Хь — 2{п+

l)X3-\

4

J-—J—X*

—

( я + 1 ) - ( 2 я 2 + 7 я + 1 0 )

7

л -+-

+

( я + 1 ) - ( я + 2 ) - ( я + 3 ) - ( я + 4)

80

Многочлены высшего порядка вычисляют по формуле

р

ш

(X)

=

р, (X) • pk(X)

-

• ^ - і ( X ) - ( n i )

скорости их проходки

(данные табл. 53).

X 3Q

н а X' яТ — 16,4 на у'.

Заменим — — —

Результаты, полученные после замены, запишем в гра­

фы 3 и 4 табл. 54.

.

Предварительно

Найдем

корреляцию между X'

и У\

В примере п = 1 0 (количество

строк в табл. 54), следова­

тельно,

Р,{Х')

=

X' -

=

Х>-

5,5,

Я 2 ( 0 = ( А ' ) 2

-

И Х ' + 22,

Я 3 ( 0 =

(А")3 — 16,5(Л")2

+ 7 6 , 1 Х - 8 5 , 8 .

Подставляя

вместо X'

і=\,

2, 3

10, найдем все зна­

чения

Рі(і),

Р2(і)

и /'з(і)

и запишем

их соответственно в

графы 5, 7 и 9. В б, 8 и 10-й графах

записаны соответст­

венно значения: Yi'Pi(i),

Yi'P2(i)

и } у Р 3 ( і ) .

Знаменатели дробен в формулах

бэта-коэффициентов

определим по сокращенной формуле:

2

( 6 ! ) 2 - П ( Д 2 - 1 ) ( / 1 * - 4 ) . . . ( « * - Л2) _

^

* U

[ ( 2 f t — l ) ! ] 2 - 2 2 " - ( 2 f c + 1 )

2

^

(0 = -

^ -

^

-

=

82,5,

(IV)

,

=

n ( n 2 - l ) - ( n 2 - 4 )

=

10^9 _ 4 =

^

w

180

180

2

п ( д 2 — 1) (?і2

— 4) (/i2 — 9)

V, У

91,18

У'Рі(і)

83,99

P l =

1,018,