книги из ГПНТБ / Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие

Сравнение данных последних двух строк показывает, что прямая, полученная из условия наибольшей близости к точкам корреляционного поля, оказалась в наибольшей близости к эмпирической линии связи. Эта прямая вырав­ нивает наилучшим образом эмпирическую линию связи (рис. 48).

В предпоследней нижней строке табл. 50 приведены значения уі, необходимые для построения ломаной эмпи­ рической линии связи.

На рис. 48 изображены эмпирическая и теоретическая линии связи, построенные по данным предпоследней и по­

Из табл.50 имеем: п= 199; 2t/-m = 217,5; S*-m = 384,5, St/2 -m = 411,75; Б * 2 - т = 598,25. Система нормальных урав­ нений запишется так:

Разделив каждое из этих уравнений на коэффициенты при а', получим

а ' + 1,096'= 1,93, \ а' + 1,896' = 2,75. >

Вычитая из второго уравнения первое, имеем 0,8&'= 0,82; 6' = 1,03, откудд а' = 0,81.

Следовательно, Zy = 0,81 + 1,03 у.

Теснота связи между двумя взаимозависимыми при­ знаками характеризуется линейным коэффициентом кор­ реляции г, который показывает, существует ли и насколь­ ко велика связь между показателями.

Значение коэффициента корреляции может изменять­

Коэффициент корреляции определяется по формуле

Погрешность коэффициента корреляции определяют

—162 —

При функциональной связи между 7 м X обе прямые связи совпадают и поэтому b x / v = l b v / x , следовательно, г = ± 1 .

Чем больше угол между прямыми связи, тем меньше коэффициент корреляции (рис. 49).

Статистические характеристики распределения свин­ ца Y и цинка Л' по данным тех же 199 проб были выше

(цифры в скобках).

—164 —

Затем составляется таблица 51.

Отметим, что знак произведений г|-і| положителен в верхнем левом и нижнем правом квадрантах таблицы (на квадранты таблица разделена графой и строкой, для ко­ торых і ] - | = 0) и отрицателен в двух остальных.

Числа в графе 4 табл. 51 получены вычитанием чисел, стоящих в графе 3 из чисел, стоящих в графе 2. Получен­ ные значения разностей умножают на произведение т)-£ (из графы 1),и эти значения заносят в графы 5 и 6.

— 165 —

В примере 1.6 были получены следующие значения:

= 0,72 + 0,43-0,41 = 0,90.

Коэффициент корреляции определяется по формуле

Вычисление параметров уравнения линейной связи. При изучении статистического материала по одному варь­

Ox

Применив эти формулы для примера 6.1, имеем:

а = F - by/x • X = 1,09 - 0,55 • 1,93 = 0,03; y = 0,03 + 0 Д О .

Квадратическая ошибка, с которой вычислено значе­ ние содержания свинца по содержанию цинка, составит:

Oy У1 — г2 = 0,94-0,66 = ± 0 , 6 % .

— 166 —

Коэффициент детерминации равен квадрату коэффи­ циента корреляции:

d = г2 = 0,752 = 0,56.

Коэффициент детерминации измеряет долю тех эле­ ментов вариации в У, которые содержатся также и в вари­ ации X. Если известно, что зависимая переменная нахо­ дится в отношении причинной связи с независимой переменной, то коэффициент детерминации определяет долю, которая может быть рассмотрена как причинно обусловленная изменениями факториального признака.

Пример 6.2. В табл. 52 приведены значения удельного веса каменного угля и зольности в 18 бороздовых пробах, отобранных из различных участков по одному и тому же пласту.

Рассматривая первые две графы табл. 52, замечаем, что зольность (X) увеличивается, при увеличении значе­ ния удельного веса. Однако эта связь не всегда сохраня­ ется. В одном случае значение У увеличивается при неиз­ меняющемся X, в другом случае изменение X не вызывает изменения У. Объясняется это тем, что удельный вес угля

и зольностью прямолинейная, определим угловой коэффи­ циент линии связи по формуле

— 167 —

ние связи, уравнение регрессии), определенное но всем 18 парам наблюдений, имеет вид

2 ХУ

XY

где

527,1

29,28.

— 169 —