книги из ГПНТБ / Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие
.pdfформуле
г - 1
о |
о |
г— 1 |
(5.5) |
|
Необходимые суммы берем из табл. 40. Окончательно имеем
5—Л |
25 / |
= —(3996,9 - 3956,4) = 10,12.
Найдем значение критерия F:
Границу области возможных значений F находим из табл. 34. При степенях свободы k{= (г—1)=5—1=4; * 2 = (N—г) = (25—5) =20 значение F = 2,87 (уровень зна чимости <7 = 5% ).
Вычисленное по данным опыта значение F попадает в область допустимых значений критерия. Следователь но, подтверждается гипотеза о том, что глубина шпура не влияет на скорость бурения его первого метра.
§ 3. ДВУХФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Изложенная при описании однофакторного анализа идея сравнения дисперсий используется для установле ния влияния нескольких факторов на изучаемое явление.
Рассмотрим влияние факторов |
А .и В на случайную |
|
величину X. Пусть |
фактор А встречается в r„, а фактор |
|
В в Гь вариантах. |
Схема записей |
при двухфакторном |
анализе представлена в табл. 41. |
|
|
Наблюдаемые |
X заносят в табл. 41 в соответствии |
|
со значениями вариантов факторов А и В.
Кроме отмеченных факторов, на варьирование X мо жет влиять еще ряд неучтенных причин. Варьирование
—130 —
Т а б л и ц а 41
Результаты наблюдений над признаками А и В
Фактор А
Фактор В
А, |
Аг |
Ві
Во
проявляется в изменении X по отдельным клеткам таб лицы.
Пусть ст2сл характеризует случайные вариации X. При установлении влияния факторов А и В на изучаемое явление сравнивают средние квадраты по факторам аа2 и оь2 с дисперсией, отражающей влияние неучтенных при
чин а2 сл-
При определении ст2сл используют разложение общей вариации иа случайную и обусловленную совместным влиянием факторов А и В
S" = SQU -)- Sai).
Общую вариацию определяют по формуле
1
где ХІ — наблюдаемые значения величины X; п — общее число наблюдений; Л" — среднее значение величины X.
Вариацию, обусловленную совместным влиянием фак торов А и В, определяют по формуле
Sab = 2п Х а * — № '
где Хаъ — среднее значение |
(берется из табл. 41). |
||||
Практику анализа рассмотрим на примере 5.1, срав |
|||||
нивая результаты разведки |
месторождения |
скважинами |
|||
с результатами |
разведки шурфами. |
|
|
|
|
Исходными |
материалами |
являются |
данные |
развед |
|
ки, записанные |
в ведомость, |
начало которой |
(в |
качестве |
|
примера) приведено в табл. |
42. |
|
|
|
|
Напомним, что задача заключается в установлении |
|||||
влияния глубины скважины |
и качества |
руды |
на |
ошибки |
|
5" |
- |
131 |
- |
Т а б л и ц а 43
Ведомость результатов разведки.
|
|
Содержание никеля, % |
|
|
>S скважины |
Глубина скважины |
|
|
|
( ш у р ф а ) |
(шурфа), м |
скважине |
по шурфу |
разность |
|
по |
Д |
||
|
|
|
|
|
1343 |
0— 1 |
0,74 |
0,61 |
+0,13 |
|
1—2 |
0,21 |
0,30 |
—0,09 |
|
2— 3 |
0,75 |
0,68 |
+0,07 |
определения содержания никеля ото скважинам. При ана лизе глубина (фактор А) разбита на интервалы 2 м, а содержание никеля (фактор В) на интервалы 0,2%.
На основании данных табл. 42 составлена табл. 43 двухфакторного дисперсионного анализа.
В последней строке табл. 43 приведены суммы по ва риантам фактора А, а в последней графе — суммы по ва риантам фактора В.
Для облегчения дальнейших вычислений составлены табл. 44, 45, 46 и 47. В табл. 44 приведены значения Д2 . Общая сумма НА2 равна 3,1571.
В табл. 45 содержатся данные, необходимые для вы числения варьирования А,-, обусловленного совместным влиянием обоих факторов. В каждую клетку этой табли
цы |
вписаны: сумма |
A; = 2.v |
(верхняя строка клетки) и |
||||
число наблюдений |
(цифра |
в скобах). Среднее значение |
|||||
X |
приведено во второй строке, произведение х"2,х = |
п-х2— |
|||||
в |
нижней |
строке. В последней графе приведены |
суммы |
||||
п-х2 |
по |
вариантам |
факторов А и В. Общая |
сумма |
|||
ПІ-Х2 |
по всем клеткам |
равна |
1,3207. |
|
|||
|
|
Дальнейшие вычисления выполняем в такой последо |
|||||
вательности. |
|
|
|
|
|||
|
|
1. Находим общее |
варьирование: |
|
|||
п
S2^,£x2~n-x2,
где 1,Хі2 = 3,1571 — сумма квадратов всех значений слу чайной величины X (из табл. 44) ; п — общее число наблю дений (n = 200); X2 — квадрат среднего значения.
— 132 —
Фактор А ( глубина шурфа, м)
1
0—2
2—4
4—6
6—8
|
Схема двухфакторного |
дисперсионного анализа данных разведки |
|
|||
|
|
|
Фактор В (содержание никеля , %) |
|
||
0—0,2 |
0,2 - 0,4 |
0,4 -0,6 |
0,6 - 0,8 |
0,8 - 1,0 |
1,0—1,2 |
па |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
+0,01 |
+0,04+0,16 +0,08+0,01 |
|
|
20 |
||
|
+0,15 |
+0,10—0,02 —0,10+0,13 +0,06—0,25 —0,27 |
||||
|
|
—0,13—0,06 —0,02 |
—0,02—0,06 |
|
|
|
|
|
+0,14—0,11 |
|
|
|
|
— |
+0,32—0,03 +0,04—0,02 +0,01—0,10 |
|
|
20 |
||
|
|
+0,02—0,01 —0,07+0,04 +0,02—0,05 —0,04 |
||||
|
|
+0,14—0,03 —0,10+0,01 |
|
|
|
|
|
|
+0,02 |
—0,04+0,02 |
|
|
|
|
—0,22+0,33 —0,41+0,10 —0,04—0,20 |
0,00—0,10 —0,17+0,02 |
|
|||
+0,42 |
|
+0,01—0,13 —0,10+0,04 +0,04 |
|
20 |
||
+0,01 |
4-0,01 |
+0,03 |
|
|
—0,09 |
|
|
—0,10+0,11 +0,04+0,01 +0,02+0,01 |
—0,05+0,04 |
|
|
||
+0,18 |
+0,21—0,05 |
0,00 |
—0,03—0,06 —0,08—0,01 —0,38 |
20 |
||
|
|
+0,05 |
—0,12+0,06 |
|
|
|
Т а б л и ц а 43
ÏJT. t
9
+0,06
+0,14
—0,45
—0,14
Фактор А (глубинглубина шурфа, м)
I
8—10
10—12
0 - 0,2
2
+0,22
—0,12
+0,11
+0,18
+0,04
—0,03
|
|
|
|
|
Продолжение |
табл. 43 |
|
Фактор В (содержание никеля, %) |
|
|
|||
0,2-0,4 |
0,4 -0,6 |
0,6 - 0,8 |
0,8 - 1,0 |
1,0-1,2 |
[па |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
+0,12+0,28 |
+0,20—0,06 |
—0,10+0,10 |
— |
—0,18—0,24 |
20 |
|
+0,01—0,13 +0,10—0,05 |
—0,04—0,02 |
|
+0,23 |
|||
|
+0,15 |
—0,06—0,06 |
|
|
|
|
+0,03+0,02 —0,20+0,07 |
—0,21—0,01 |
|
|
|
|
|
|
+0,10ч - 0,10 |
—0,10+0,01 —0,06 |
+0,04 |
20 |
—0,29 |
|
—0,01+0,03 —0,11—0,02 —0,16
|
— |
|
+0,04+0,30 +0,18+0,01 |
—0,02—0,20 |
|
|
|
|
12—14 |
+0,14—0,06 +0,10+0,02 —0,06+0,04 |
—0,11—0,13 —0,01—0,04 |
|
|
||||
|
|
|
—0,20 |
—0,11 |
+0,02 |
|
20 |
—0,18 |
|
|
+0,21+0,10 +0,01—0,02 —0,02—0,14 |
—0,05—0,06 —0,01+0,06 |
|
|
|||
14—16 |
+0,20 |
+0,10 |
—0,04—0,06 —0,42+0,13 |
+0,10 |
+0,21 |
20 |
+0,36 |
|
|
|
|
+0,07 |
-0,01 |
|
|
|
|
Фактор |
А |
|
|
( глубина |
0 - 0,2 |
0,2 - 0,4 |
|
шурфа, |
м) |
||
1 |
|
2 |
3 |
16—18 —0,15+0,21 —0,01
+0,02
18—20 +0,31
+0,07
пЬ . . . |
14 |
28 |
|
|
|
|
Продолжение |
табл. 43- |
|
Фактор В (содержание никеля, %) |
|
|
|
|
0,4—0,6 |
0 . 6 - 0,8 |
0,8—1,0 |
1,0-1,2 |
па |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0,03+0,12 +0,10+0,06 —0,01—0,14 —0,08+0,01 —0,21+0,01 —0,08+0,03 +0,04+0,10 20 —0,28 —0,04 —0,06-0,21
+0,02+0,01 |
+0,01—0,04 |
|
— |
|
|
+0,10+0,21 +0,21—0,20 +0,05—0,10 |
20 |
+0,24 |
|||
+0,02+0,10 —0,06—0,12 —0,10—0,07 |
|
|
|
||
55 |
55 |
32 |
16 |
200 |
—0,31 |
Ъх . . . |
+ 1,59 |
+ 1,81 |
+0,86 |
—2,14 |
—1,26 |
—1,17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
44* |
Квадраты |
разностей |
в содержаниях металла, |
определенных |
по скважинам и шурфам |
(Д2 ) |
|
|||
|
|
|
|
|
Фактор В, % |
|
|
|
|
Фактор Л, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 - 0, 2 |
0,2 - 0,4 |
0,4 - 0,6 |
0,6 - 0,8 |
0,8 - 1,0 |
1,0-1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
0—2,0 |
|
0,01 |
4,97 |
6,91 |
2,73 |
7,01 |
7,29 |
28,92-10-2 |
|
2,0—4,0 |
|
— |
10,33 |
2,34 |
2,87 |
0,29 |
0,16 |
15,99-10-2 |
|
4,0—6,0 |
|
17,65 |
15,74 |
19,60 |
5,32 |
1,16 |
3,74 |
63,21-10-2 |
|
6,0-8,0 |
|
3,24 |
6,87 |
0,17 |
0,75 |
2,86 |
14,44 |
28,33-10-2 |
|
8,0—10,0 |
|
7,49 |
10,98 |
7,86 |
2,92 |
— |
9,00 |
38,25-10-2 |
|
10,0—12,0 |
3,49 |
0,13 |
6,59 |
9,24 |
0,36 |
0,16 |
19,97-10-2 |
||
12,0—14,0 |
— |
2,33 |
14,20 |
4,98 |
6,98 |
0,17 |
28,66-10-2 |
||
14,0—16,0 |
|
4,00 |
6,41 |
1,06 |
21,34 |
1,61 |
4,78 |
39,20-10-2 |
|
16,0—18,0 |
6,66 |
0,01 |
6,11 |
6,88 |
3,13 |
0,65 |
23,42-10-2 |
||
18,0—20,0 |
9,61 |
0,53 |
6,50 |
10,38 |
2,74 |
|
29,76-10-2" |
||
^4лі |
|
52,15-10-2 |
58,30-10-2 71,34-10-2 |
67,39-10-2 |
26,14-10-2 40,39-10-2 |
315,71-10-2 |
|||
* Значения |
разностей в клетках |
таблицы |
всюду увеличены в 100 раз, поэтому |
итоги в |
последнем столбце |
и последней |
строке- |
||
умножены на 10 |
*, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Та 6 л и ц а 45 |
|
|
|
Фактор В, % |
|
|
|
|
Фактор А, |
м |
|
|
|
|
1,01-1,20 |
а |
|
0,0—0,20 |
0,21—0,40 |
0,41-0,60 |
0,61-0,80 |
0,81-1,00 |
||
|
|
||||||
1 |
2 |
3 |
•1 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0,0—2,0
2,1-4,0
4,1—6,0
6,1—8,0
8,1—10,0
+ 0,01 (1) |
+0,35 (3) |
0,0 |
+0,117 |
0,01-10-2 |
4,10-10-2 |
—+0,28 (2)
+0,14
3,92-10-2
+0,43 |
(2) |
+0,12 |
(3) |
+0,215 |
|
+0,04 |
|
9,25-10-2 |
0,48-10-2 |
||
+0,18 |
(1) |
+0,17 |
(4) |
• +0,18 |
|
+0,062 |
|
|
1,05-10-2 |
||
3,24-10^-2 |
|||
+0,21 |
(3) |
+0,28 |
(4) |
+0,07 |
|
+0,07 |
|
1,44-10-2 |
1,96-10-2 |
||
+0,23 |
(8) |
+0,01 |
(3) |
—0,27 (4) |
—0,27 (1) |
||
+0,029 |
|
+0,003 |
|
—0,068 |
|
—0,27 |
13,90-10-2 |
0,67-10-2 |
0,00 |
|
1,84-10-2 |
7,28-10-2 |
|||
+0,16 |
(7) |
—0,23 (8) |
—0,03 (2) |
- 0,0 4 |
(1) |
||
+0,023 |
|
—0,029 |
—0,015 |
|
—0,04 |
5,16-10-2 |
|
0,37-10-2 |
0,67-10-2 |
0,04-10-2 |
0,16-10-2 |
||||
—0,40 (5) |
- 0,3 0 |
(4) |
—0,06 (3) |
—0,24 (3) |
|||
—0,08 |
|
—0,075 |
—0,02 |
|
—0,08 |
37,37-10-2 |
|
3,20-10-2 |
22,48-10-2 |
0,12-10-2 |
1,84-10-2 |
||||
+0,05 |
(3) |
—0,01 |
(5) |
—0,16 |
(6) |
0,38 |
(1) |
+0,01/ |
|
—0,002 |
—0,027 |
|
0,38 |
19,22-10-2 |
|
0,08-10-2 |
0,00 |
|
0,43-10-2 |
14,42-10-2 |
|||
+0,34 (5) |
—0,18 (6) |
— |
|
—0,42 (2) |
|||
+0,068 |
—0,03 |
|
|
|
0,21 |
15,13-10-2 |
|
2,37-10-2 |
0,54-10-2 |
|
|
8,82-10-2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение |
табл. 45 |
|
|
|
|
|
|
|
Фактор В, % |
|
|
|
|
|
|
|
|
Фактор А, м |
0,0—0,20 |
0,21—0,40 |
0,41—0,60 |
0,61-0,80 |
0,81-1,00 |
1,01 — 1,20 |
|
а |
||||||
|
|
|||||||||||||
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
|
8 |
|
+0,19 |
(3) |
+0,05 |
(2) |
+0,09 |
(6) |
—0,60 |
(7) |
—0,06 |
(1) |
+0,04 |
(1) |
|
|
10,1—12,0 |
+0,063 |
+0,025 |
+0,015 |
0,086 |
|
0,06 |
|
+0,04 |
|
7,14-10-2 |
||||
|
1,20-10-2 |
0,12-10-2 |
0,14-10-2 |
5,16-10-2 |
0,36-10-2 |
0,16-10-2 |
|
|
||||||
|
— |
|
+0,07 |
(3) |
+0,26 |
(5) |
—0,02 |
(5) |
—0,44 |
(5) |
- 0 , 0 5 |
(2) |
|
|
12,1 — 14,0 |
|
+0,023 |
+0,052 |
—0,004 |
|
—0,088 |
|
—0,025 |
|
5,51-10-2 |
||||
|
|
|
0,16-10-2 |
1,35-10-2 |
0,01-10-2 |
3,87-10-2 |
0,12-10-2 |
|
|
|||||
|
+0,20 |
(1) |
+0,41 |
(4) |
—0,04 |
(5) |
—0,46 |
(5) |
—0,01 |
(3) |
+0,26 |
(3) |
|
|
14,1—16,0 |
+0,20 |
|
+0,102 |
—0,008 |
—0,092 |
|
—0,003 |
|
+0,086 |
|
14,68-10-2 |
|||
|
4,00-10-2 |
4,18-10-2 |
0,03-10-2 |
4,23-10-2 |
0,00 |
|
2,24-10-2 |
|
|
|||||
|
+0,06 |
(2) |
—0,01 |
(1) |
—0,09 |
(5) |
—0,15 |
(6) |
—0,01 |
(4) |
—0,07 |
(2) |
|
|
16,1—18,0 |
+0,03 |
|
—0,01 |
|
—0,018 |
|
—0,025 |
|
—0,002 |
|
—0,035 |
|
0,96-10-2 |
|
|
0,18-10-2 |
0,01-10-2 |
0,16-10-2 |
0,37-10-2 |
0,00 |
|
0,24-10-2 |
|
|
|||||
|
+0,31 |
(1) |
+0,09 |
(2) |
+0,26 |
(6) |
—0,20 |
(6) |
—0,22 |
(4) |
— |
|
|
|
18,1—20,0 |
+0,31 |
|
+0,045 |
|
+0,043 |
|
—0,033 |
|
—0,055 |
|
|
13,00-10-2 |
||
|
9,61-10-2 |
0,40-10-2 |
1,12-10-2 |
0,66-10-2 |
1,21-10-2 |
|
|
|
|
|||||
|
28,93-10-2 |
1 16,38-10-2 |
J 9,49-10-2 |
| 34,12-10-2 | |
7,87-10-2 |
| |
35,28-10-2 | |
132,07-10-2 |
||||||
|
|
|
|
|
f a б л іі ц а 48 |
А, м |
"а |
|
ï/1-Jf |
*а |
хаѴпх |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
0 - 2 |
20 |
|
+0,06 |
+0,003 |
0,02-10-2 |
2—4 |
20 |
|
+0,14 |
+0,007 |
0,10-10-2 |
4—6 |
20 |
|
—0,45 |
—0,0225 |
1,01-10-2 |
6—8 |
20 |
|
—0,14 |
—0,007 |
0,10-10-2 |
8—10 |
20 |
' |
• 1-0,23 |
+0,0115 |
0,26-10-2 |
10—12 |
20 |
|
—0,29 |
—0,0145 |
0,42-10-2 |
12—14 |
20 |
|
—0,18 |
—0 ,009 |
0,16-10-2 |
14—16 |
20 |
|
+0,36 |
+0,018 |
0,65-10-2 |
16—18 |
20 |
|
—0,28 |
—0,014 |
0,39-10-2 |
18—20 |
20 |
|
+0,24 |
+0,012 |
0,29-10-2 |
S / г - a ^ = 3 , 4 0 - 1 0 - 2 .
Среднее значение
.г = 2Х і ~п х % ' i
где 2 х ; 2 = —0,31 (из табл. 43).
После подстановки исходных данных получим
5 2 = |
|
/ |
0,31 \ 2 |
|
3,1571 - 2 0 0 I — _ 1 — ) = 3,1566. |
||||
|
|
\ |
200 i |
|
2. Определяем |
варьирование по фактору А: |
|||
|
|
SA — ^Па-Ха |
— fix2, |
|
где па — число |
наблюдений в |
варианте; |
х — среднее |
|
значение X по варианту фактора А. |
Та б л и ц а 47 |
|||
|
|
|
|
|
в, % |
пь |
|
~хь |
хьъпь-х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0—0,2 |
14 |
+ 1,59 |
+0,1135 |
0,1805 |
0,2—0,4 |
28 |
+ 1,81 |
+0,0647 |
0,1171 |
0,4—0,6 |
55 |
+0,86 |
+ 0,0156 |
0,0134 |
0,6—0,8 |
55 |
- 2,14 |
—0,0389 |
0,0832 |
0,8—1,0 |
32 |
— 1,26 |
—0,0394 |
0,0496 |
1,0-1,2 |
16 |
- 1,1 7 |
—0,0732 |
0,0856 |
S/i4 .i-2= 0,5294
—139 —