Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

î а 6 л и Ц a іі?

Л'	10	5		0		1	0,5		0,1
	1,224	1,358		1,517	1,627		1,731	1,950
При проверке гипотезы соответствия двух эмпириче
ских	распределении, представленных выборками							іц	и п2,
значение À вычисляют			по следующей				формуле:
		А, =	Dr,	У IIIііі	+•	'hИд			(4.2)
Проверку		критерием		к гипотезы		о соответствии			рас

пределений осуществляют для несгруппировапных в ин тервальный ряд признаков. Практически такая оценка возможна и для интервальных вариационных рядов, ког да величина интервала мала, а численность ряда не ме нее 50.

Пример 4.1. В табл. 28 приведены данные о распреде лении свинца в пробах, отобранных на двух соседних го

ризонтах рудника.
Максимальная	разность	накопленных		частостей в
табл. 28 составляет Z ) m a x = 0,151.				критерия К:
По формуле (4.2) определяем значение
	131-114
к —	0,151 У-131 + 114		1,170.
При уровне значимости в 5%		(7 = 5%)	Я-<7 = 1,358 — зна

чение критерия % меньше пятипроцентного уровня значи мости, следовательно, гипотеза о принадлежности распре делений свинца на разных горизонтах одной статистиче ской совокупности не отвергается.

Критерий согласия К. Пирсона. Если <р(л:)—плот ность вероятности теоретического закона, а рь р2,...,ри— вероятности, вычисленные согласно ф(х) для отдельных

разрядов	(строк)	вариационного ряда,		то	отклонение
Р — рі по	строкам	служат	выражением	соответствия эм
пирического .распределения			теоретическому.
В качестве критерия проверки принимают					величину
		X
		£/ = 2	с(Р-Ріу		(4.3)
		і

— ПО —

Содержа

ние свинца д-, к

Частота		Накопленная		Накопленная частость
		частота
гор.	гор.	гор.	гор.	гор. 270 м гор, 305 м
270 ц	305 м	270 м	305 м

Т а б л и ц а 23

Разность накоплен ных частотен

0,0-0,1	1		1	0	0,007	0,000	0,007
0,1—0,2	4	4	5	4	0,038	0,035	0,003
0,2—0,3	8	10	13	14	0,099	0,123	0,024
0,3—0,4	18	10	31	24	0,246	0,212	0,034
0,4—0,5	6	12	37 '	36	0,282	0,316	. 0,034
0,5—0,6	7	12	44	48	0,336	0,421	0,085
0,6-0,7	5	5	49	53	0,374	0,465	0,091
0,7—0,8	14	13	63	66	0,481	0,579	0,098
0,8—0,9	2	6	65	72	0,496	0,632	0,136
0,9—1,0	6	7	71	79	0,532	0,693	0,151
1,0—1,1	11	7	82	86	0,626	0,754	0,128
1,1—1,2	9	4	91	90	0,695	0,789	0,094
1,2—1,3	4	3	95	93	0,710	0,816	0,106
1,3-1,4	4	1	98	94	0,748	0,824	• 0,076
1,4—1,5	2	5	101	99	0,771	0,868	0,097
1,5—1,6	2	2	103	101	0,786	0,886	0,100
1,6—1,7	2		105	101	0,802	0,886	0,084
1,7—1,8	1	3	106	101	0,809	0,886	0,077
1,8-1,9	1	3	107	104	0,817	0,912	0,095
1,9-2,0	4	1	111	105	0,848	0,922	0,074
2,0—2,1	2	—.	113	105	0,863	0,922	0,059
2,1 - 2,2	1	—.	113	105	0,870	0,922	0,052
2,2 - 2,3		2	114	105	0,870	0,922	0,052
2,3—2,4		2	114	107	0.S70	0,948	0,078
2,4—2,5	2	2	116	109	0,886	0,956	0,070
2,5—2,6	1	2	117	Ш	0,894	0,974	0,080
2,6 - 2,7	2		119	111	0,908	0,974	0,066
2,7—2,8	2	1	121	111	0,924	0,974	0,050
2,8—2,9	3	1	124	112	0,947	0,983	0,036
2,9—3,0	1	1	125	113	0,954	0,992	0,038
3,0—3,1	1	—	125	113	0,954	0,992	0,038
3,1—3,2	1		126	113	0,962	0,992	0,030
3,2—3,3	1	1	127	114	0,970	1,000	0,030.
3,3—3,4	1		128	114	0,977	1,000	0,023
3,4—3,5	1		129	114	0,985	1,000	0,015
3,5—3,6	2		131	114	1,000	1,000	0,000
	131	114

где	с — веса,	вводимые для учета вероятностей появле
ния	в отдельных разрядах. Если за веса принять величи
ны,	обратно	пропорциональные вероятностям разрядов,

то по К. Пирсону распределение U приближается к рас пределению X2 независимо от вида ср(л-).

Плотность вероятности х2 имеет следующий вид: при х > 0

<Р*2 (х) =			î		X2	• е
		2 A	гі	—
при л < 0
Следовательно,
	^	=						(4.4)
где
	N =	^ ПІ	при		k — r— 1.
Степень свободы		i
Степень свободы		k =	г — с — 1.
		k =	г — с — 1.
Здесь с —число параметров				теоретического			распределе
ния.
Для сравнения теоретического и эмпирического рас
пределений по строкам, число /і* в каждом разряде								долж
но быть не менее 5. Если численность						некоторых		разря
дов менее 5, то их объединяют					в один.
Пример 4.2. Оценить			с помощью			критерия Пирсона
соответствие	эмпирического			распределения			свинца (см.
пример 3.7)	гамма-распределению.

Два последних класса, как малочисленные, объединя ем в один. Вычисления сведены в табл. 29.

Сумма строк последней графы табл. 29 позволяет

вычислить опытное значение %2 по				формуле		(4.4):	%2 =
= 4,85.
Затем определяем степень свободы. В нашем случае
число разрядов	г = 9. Число параметров				гамма-распреде
ления с равно двум		(а и ß).
Следовательно,		/г = 9 — 2—1 = 6.		В этом		случае	(при
/г = 6) предел	граничной		области	при	пятипроцентном
уровне значимости находим			по табл. 30:

				Т а б л и ц а 29
Соле ржание		Теоретические	УѴ-Р.	{п^-NPy-
	"і			n , - N . P l
РЬ, %		частости
				N-P.

0,01—0,40	118	0,215	117	1	0,01
0,41—0,80	176	0,304	166	10	0,60
0,81-1,20	104	0,190	104	0	0
1,21—1,60	66	0,145	79	13	2,14
1,61—2,00	34	0,069	37	4	0,43
2,01-2,40	25	0,37	20	5	1,25
2,41—2,80	11	0,020	11	0	0
2,81—3,20	11	0,011	6	1	0,17
3,21—3,60	5	0,007	4	1	0,25
3,61-4,00
	546				4,85
Вычисленное	по4	данным	опыта %2 = 4,85		значительно

меньше предела граничной области, следовательно, эм

пирическое			распределение свинца описывается гамма-
распределением с параметрами					а = 0,85; ß =		0,50.
Значения			%2q в зависимости от вероятности					P(x2>%2ç)
и числа		степеней свободы		k	приведены		в	табл. 30.
								Т а б л и ц а 30
			Вероятность			Р(х->*-д)
Число	степенен
свободы		к	0,10	0,05		0,02		0,01
			0,10	0,05		0,02		0,01
	1		2,7	3,8		5,4		6,6
	2		4,6	6,0		7,8		9,2
	3		6,3	7,8		9,8		11,3
	4		7,8	9,5		11,7		13,3
.	5		9,2	11,1		13,4		15,1
	6		10,6	12,6		15,0		16,8
	7		12,0	14,1		16,6		18,5
	8		13,4	15,5		18,2		20,1
	9		14,7 •	16,9		19,7		21,7
	10		16,0	18,3		21,2		23,2
	11		17,3	19,7		22,6		24,7
	12		18,5	21,0		24,1		26,2
	13		19,8	22,4		25,5		27,7
	14		21,1	23,7		26,9		29,1
	15		22,3	25,2		28,3		30,0
	16		23,5	26,3		29,6		32,0
	17		24,8	27.6		31,0		33,4
	18		26,0	28.9		32,3		34.8
	19		27,2	30,1		33,7		36,2
	20		28,4	31,4		35,0		37,Q

- ИЗ -

§ 2. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ РАВЕНСТВА И О Д Н О Р О Д Н О С Т И СРЕДНИХ И ГИПОТЕЗЫ; О РАВЕНСТВЕ ДИСПЕРСИЙ

Проверка гипотезы о равенстве средних. Произведены две независимых выборки объемами щ п п2 из двух ге неральных совокупностей. Пусть математические ожида ния средних Л'о и Уо н пх дисперсий ОО(А-) И ОО(У> Распре деления выборочных средних X и Y при достаточно боль ших объемах выборок подчиняются нормальному закону

спараметрами

Вкачестве нулевой гипотезы (гипотезы об отсутствии существенного различия между параметрами сравнивае мых генеральных совокупностей) принимают равенство генеральных средних X0=Y0.

Разность двух нормально распределенных величин также имеет нормальное распределение с параметрами

Zo = Хо — Уо,

В качестве критерия проверки обычно берут норми рованную разность

Здесь Gz вычисляют по несмещенным оценкам G X И ffy. Критической областью с уровнем значимости q яв

ляется область абсолютных значений Z, больших Zq. Значения Zq для разных q (в процентах) следующие:

Я	0,10	0,27	1,00	5,00	10,00
z „	3,29	3,00	2,58	1,96	1,64

Если вычисленное по данным выборок значение Z по падает в критическую область, то нулевая пшоте_за от вергается, и различие в выборочных средних X и У при знается существенным.

						f а б л н ц a Іі
l— . ...
Основ	Конт
Основ	роль
ной	роль
анализ	ный		у»			Примечание
никеля,	анализ
Xi , %	никеля
	Уі , %
0,62	0,72	0,3844	0,5184	_		8,53
0,62	0,72	0,3844	0,5184	Х = -=— = 0,341;
0,68	0,68	0,4624	0,4624			25
0,68	0,68	0,4624	0,4624
0,20	0,37	0,0400	0,1369
0,57	0,71	0,3249	0,5041	^ 2 =		0,116;
0,31	0,52	0,0961	0,2704
0,10	0.23	0,0100	0,0529	У_		1 1 , 7 8 _ 0.470;
0,09	0,20	0,0810	0,0400			25
0,09	0,20	0,0810	0,0400	>-2 =		0,221;
0,58	0.88	0,3364	0,7744	>-2 =		0,221;
0,43	0,69	0,1849	0.4761
0,40	0,46	0,1600	0,2116	о2	=	—!—(3,714—25 0,116) =
				х		25—1ѵ
0,15	0,25	0,0225	0,0625		=	0,0339;
0,49	0,69	0,2401	0,4761
0,36	0,61	0,1296	0,3721
0,25	0,42	0,0625	0,1764	с г	=	0.184;
0,25	0,42	0,0625	0,1764	0^ = ^(6,567 - 25 0.221) =
0,13	0,17	0,0169	0,0289		=	0,0435;
0,13	0,17	0,0169	0,0289
0,33	0,49	0,1089	0,2401
0,55	0,59	0,3025	0,3481	ау	=	0,208
0,18	0,22	0.0324	0,0484
0,20	0,16	0,0400	0,0256
0,27	0,33	0,0729	0,1089
0,50	0,69	0,2500	0,4761
0,38	0,54	0,144	0,2916
0,27	0,38	0,0729	0,1444
0,15	0,30	0,0225	0,0900
0,34	0,48	0,1156	0,2304
8,53	11,78	3.7138	6,5668

Пример 4.3. В табл. 31 приведены результаты основ ных и контрольных анализов на содержание никеля по одному из уральских месторождений.

Требуется проверить наличие систематических ошибок

вхимических анализах основной лаборатории.

—115 —

Задачу следует решать в следующей последовательности.

К По основным и контрольным анализам вычисляв ют Л", ох, У, ау. Для вычисления выборочных стандартов используют формулу

Вычисления приведены ів табл. 31.

2. Вычисляют
! /	4	о?-	-, f0,0339	0,0435
3. Определяют значение критерия				проверки
. _ .	Z - F		0,341 -0,470
Z	=	=	!	= 2,30.
1 1		az	0,056
4. Задавшись		предварительно уровнем значимости

</=5%, находят значение критической области критерия проверки Zq= 1,96.

При пятипроцентном уровне значимости только в пя ти случаях из ста при условии равенства средних Х0 и Уо вычисленное по опытным данным значение Z попадает в критическую область. В нашем примере Z, равное 2,30, попадает в критическую область, поэтому различие в вы борочных средних существенно. Следовательно, химиче ские анализы в лаборатории имеют систематические ошибки.

Проверка гипотезы об однородности средних. Иссле дуемые свойства полезного ископаемого и вмещающих пород (содержание компонентов, мощность, объемный Еес, прочностные характеристики и т. д.) в пределах от дельных участков или горизонтов обладают меньшей из менчивостью, чем в пределах всего месторождения или рудного (шахтного) поля. Выборку по отдельным участ кам называют выборкой по группам.

При изучении особенностей эмпирического распреде ления (размещения) исследуемых свойств недр, напри мер размещения компонентов полезного ископаемого, возникает необходимость установить различия между значением содержания компонентов по отдельным участ кам и по всему месторождению.

—116 —

Здесь нулевой гипотезой является равенство средних по всем группам. Проверку этой гипотезы производят с

помощью критерия				I . Пусть совокупность признака X со
стоит	из /• групп:
X — среднее			значение		признака		для	всей	совокуп
ное™;	_	_
Хі,	Хг,	Хг	— средние		значения		признака		по	груп
пам;
Щ\, пі2,		тг	— объемы выборок по группам;
ах	— стандарт,			вычисленный		для	всей	совокупности.
Относительное				отклонение		средней в		группе		имеет
вид						_		•

Ох

Величину / определяют из выражения

У/г — піі — іПіу^

Критерий t распределяется по закону Стыодента с k = = п — 2 степенями свободы. Критерий t позволяет прове рить гипотезу об отсутствии существенного различия между общей средней X и наиболее отличающейся от нее средней по группе.

Критическую область составляют значения t, большие определенных, для распределения Стыодента при задан ном уровне значимости и п — 2 степенях свободы.

При определении границы критической области поль зуются табл. 32.

Пример 4.4. Разрабатываемая полиметаллическая за лежь, представленная микрокварцптами с вкраплением сульфидов, разделена горноподготовительными выработ ками на шесть выемочных блоков.

Каждый блок	опробован, и по данным			химических
анализов проб определено		среднее	содержание цинка
(табл. 33).
Общее число проб /і=488; среднее содержание цинка
по шести блокам	Х = 0,96%'; "стандарт, вычисленный по
всем пробам, a^ = 0,81%.
Значение у для блока, у которого среднее				содержание
больше всего отличается от общего среднего, таково:
ХІ	— X	1,25 — 0,96	л п п	п
У	=	п п \ '—	= 0.387.

J	Ох	0,81
J

степеней

свободы

ft 10

6,31

2 92

2,35

2,13

2,01

1,94

1,89

1,86

1,83

1,81

1,78

1.76

1,75

1,73

1,72

1,71

1,70

1,64

Т а б л и ц а ЗУ *

	Уровень	значіііМости q\	%
5	2,5	1,0	0,5	0,1

12,71	25,45	63,66	127,30
4,30	6,20	9,92	14,09
3,18	4,18	5,84	7,45
2,78	3,50	4,60	5,60
2,57	3,16	4,03	4,77
2,45	2,97	3,71	4,32
2,36	2,84	3,50	4,03
2,31	2,75	3,36	3,83
2,26	2,68	3,25	3,69
2,23	2,63	3,17	3,58
2,18	2,56	3,06	3,43
2,14	2,51	2,98	3,33
2,12	2,47	2,92	3,25
2,10	2,44	2,88	3,19
2,09	2,42	2,84	3,15
2,07	2,40	2,82	3,12
2,06	2,39	2,80	3,09
2,06	2,38	2,78	3,07
2,05	2.37	2,76	3,05
2,04	2,36	2,75	3,03
1,96	2,24	2,58	2,81

*	Таблица	заимствована		из	книги:		Д у н и и-Б а р к о в с-
к и й	И. В., С м и р н о в		II. В. Теория			вероятностей		и математиче
ская	статистика	в технике.		М.,	Гостехтеорепиздат,			1955.
								Т а б л и ц а 33
	M блока		31		32	33	34	35	35
Число проб по блоку			105		78	69	81	96	59
Среднее содержание			1,25		0,89	0,94	0,92	0,73	0,86
цинка	по блоку, %

По формуле	(4.5) определяют значение критерия t:
t	0,358У105(488-2)	_ ^
~~	Y488 — 105 — 105-0.3582

Т а б л и ц а 34*

Значение пятипроцентных пределов отклонения

Число степеней свободы для большей дисперсии kt

10 12 14 20 24 30 40 75 100

6,39	6,16	6,04	5,96	5,91	5,87	5,84	5,80	5,77	5,74	5,71	5,68	5,66
5,19	4,95	4,82	4,74	4,68	4,64	4,60	4,56	4,53	4,50	4,46	4,42	4,40
4,53	4,28	4,15	4,06	4,00	3,96	3,92	3,87	3,84	3,81	3,77	3,72	3,71
3,84	3,58	3,44	3,34	3,28	3,23	3,20	3,15	3,12	3,08	3,05	3,00	2,98
3,48	3,22	3,07	2,97	2,91	2,86	2,82	2,77	2,74	2,70	2,67	2,61	2,59
3,26	3,00	2,85	2,76	2,69	2,64	2,60	2,54	2,50	2,46	2,42	2,36	2,35
3,11	2,85	2,70	2,60	2,53	2,48	2,44	2,39	2,35	2,31	2,27	2,21	2,19
3,01	2,74	2,59	2,49	2,42	2,37	2,33	2,28	3,24	2,20	2,16	2,09	0,07
2,87	2,60	2,45	2,35	2,28	2,23	2,18	2,12	2,08	2,04	1,99	1,92	1,90
2,78	2,51	2,36	2,26	2,18	2,13	2,09	2,02-	1,98	1,94	1,89	1,82	1,80
2,71	2,44	2,29	2,19	2,12	2,06	2,02	1,96	1,91	1,87	1,81	1,75	1,72
2,67	2,40	2,25	2,14	2,07	2,02	1,97	1,91	1,86	1,82	1,76	1,69	1,67
2,63	2,36	2,21	2,10	2,03	1,98	1,93	1,87	1,82	1,78	1,72	1,65	1,62
2,61	2,34	2,18	2,07	2,00	1,95	1,90	1,84	1,79	1,74	1,69	1,61	1,59
2,58	2,31	2,16	2,05	1,98	1,92	1,88	1,81	1,76	1,72	1,56	1,58	1,56
2,56	2,29	2,13	2,02	1,95	1,90	1,85	1,78	1,74	1,69	1,63	1,55	1,52
2,52	2,25	2,10	1,99	1,92	1,86	1,81	1,75	1,70	1,65	1,59	1,50	1,48
2,48	2,21	2,05	1,95	1,89	1,82	1,77	1,70	1,65	1,60	1,54	1,45	1,42
2,46	2,19	2,03	1,92	1,85	1,79	1,75	1,68	1,63	1,57	1,51	1,42	1,39
2,43	2,16	2,00	1,89	1,82	1,76	1,71	1,64	1,59	1,54	1,47	1,37	1,34
2,41	2,14	1,98	1,87	1,80	1,74	1,69	1,62	1,57	1,52	1,45	1,35	1,32

* Таблица заимствована из книги: Д ж . Э д н н Юл., М. Д ж . К е н д е л . Теория статистики. М„ Госстатиздат, I960.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.18 Mб18Рыбаков, К. В. Заправка автомобилей в полевых условиях.pdf
#
19.10.20237.4 Mб73Рыбаков, К. В. Фильтрация авиационных топлив.pdf
#
19.10.20237.46 Mб11Рыбаков, С. Н. С фотоаппаратом под водой и льдами.pdf
#
19.10.20232.13 Mб11Рыбинский, О. А. Пассивные элементы гибридных интегральных схем.pdf
#
29.10.20233.6 Mб18Рыдник В.И. Четвертое состояние вещества.pdf
#
19.10.20237.54 Mб25Рыжов, П. А. Математическая статистика в горном деле учеб. пособие.pdf
#
19.10.20235.6 Mб12Рыжов, Э. В. Раскатывание резьб.pdf
#
29.10.20231.34 Mб6Рылов В.Н. Техника безопасности гидромелиоративных работ.pdf
#
19.10.20236.39 Mб11Рындин, Н. И. Краткий курс теории упругости и пластичности учебное пособие.pdf
#
23.10.20238.2 Mб7Рысс Ю.С. Поиски и разведка рудных тел контактным способом поляризационных кривых.pdf
#
24.10.20238.93 Mб50Рытвин Е.И. Платиновые металлы и сплавы в производстве стеклянного волокна [учеб. пособие].pdf