книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

откуда

cos а =

и тождество (2.36) выражает тот факт, что длина орта вектора а

70

и, так как угол а острый, то

1 cos а = — —

УЗ

Прямоугольные декартовы координаты точки и вектора на плоскости

Если рассматривать точки на плоскости, то, располагая в этой плоскости координатные оси х и у (рис. 31), получим, что все точки плоскости имеют аппликату z, равной нулю (ось z направлена пер­ пендикулярно плоскости). Следовательно, по формуле (2.31) будем иметь для радиуса-вектора произвольной точки M плоскости (рис. 31)

рядоченной паре вещественных чисел х, у можно сопоставить на плоскости, в которой введена прямоугольная декартова система координат, только одну точку с координатами х, у, именно точку, радиус-вектор которой

Итак, при помощи прямоугольной декартовой системы коор­ динат на плоскости устанавливается взаимно однозначное соответст­ вие между точками плоскости и упорядоченными парами вещест­ венных чисел. Иначе: каждую точку плоскости можно представить упорядоченной парой чисел и каждую упорядоченную пару чисел можно изобразить точкой на плоскости.

На плоскости правой системой координат будет та, в которой поворот от оси X к оси у на угол между ними происходит против хода часовой стрелки (ось z считаем направленной на наблюдателя). На рис. 31 изображена правая система координат. Оси координат X и у делят плоскость на 4 части, называемые четвертями. Приня­ тая нумерация четвертей указана на рис. 31.

71

Пусть теперь а произвольный вектор на плоскости. Очевидно, что координата вектора по оси г равна нулю, и следовательно, по формуле (2.32) будем иметь следующее разложение вектора по ко­ ординатным осям X и у:

Таким образом, на плоскости каждый вектор а в данной системе координат определяется двумя координатами ах, ау, являющи­ мися проекциями вектора на оси координат соответственно х и у.

Тот факт, что вектор а на плоскости имеет координаты ах и ау, записывается так: а {ах> ау]. Ясно, что каждому вектору а на пло­ скости в данной системе координат х, у соответствует только одна

и выражает известную теорему Пифагора. Направление вектора на плоскости, определяется, очевидно, направляющими углами а и ß, которые он образует с осями координат х и у (рис. 32). Формулы для вычисления направляющих косинусов вектора в этом случае можно получить из первых двух формул (2.35), полагая в них, az = 0 (третья формула дает очевидный результат, что

cos у = 0 или у = — 2

cos а = •

Va 2 + а 2

(2.41)

cos у-- к:4 + 4

Из формул (2.41) получаем основное тождество, которому удов­ летворяют направляющие косинусы вектора на плоскости:

Это тождество можно получить также из тождества (2.36), по­ лагая в нем у = -у- (cos Y = 0).

72

2.9. ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ, ЗАДАННЫМИ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ

КООРДИНАТАМИ

В параграфах 2.2; 2.5; 2.6; 2.7 были определены основные дейст­ вия с векторами: сложение и вычитание векторов, умножение век­ тора на число, скалярное и векторное произведения двух векторов и смешанное произведение трех векторов.

Введение координат векторов позволяет выполнять эти дейст­ вия аналитически, что и определяет возможность использования векторной алгебры в аналитической геометрии. Установим соот­ ветствующие формулы.

Выражение суммы и разности векторов через координаты векторов

то, пользуясь переместительным свойством действия сложения векторов и распределительным свойством действия умножения век­

непосредственно, исходя из теоремы 2 § 2.4: проекция суммы векто­

73

Равенство (2.44) позволяет сразу получить формулы для вычис­ ления координат вектора, заданного координатами начала и конца.

Таким образом, координаты вектора, заданного координатами начала и конца, равны разностям соответствующих координат конца и начала; разложение вектора а по координатным ортам і,

[, k имеет вид

а = (х2—хх) і + (у2—ух) ] + (z2—zx) к. (2.48)

аг = 3 — 2 = 1.

Следовательно,

а = — 3i + 2j + k.

Выражение произведения вектора на число через координаты вектора

Используя распределительные свойства операции умножения вектора на число относительно векторного множителя, будем иметь

74

Таким образом, координаты произведения вектора на число равны произведениям этого числа на соответствующие координаты вектора.

З а м е ч а н и е . Правило умножения вектора на число можно получить непосредственно, исходя из теоремы 3 § 2.4: проекция на

а • b = (ахі + ау) + azk) • (bx\ + by] + bzk) = axbx\ • i + axbyi • j + aKbz\ • k - f

Таким образом, скалярное произведение векторов; заданных координатами, равно сумме произведений одноименных координат векторов.

75

Вычисление длины вектора, заданного координатами. Выраже­ ние длины вектора через его координаты было получено в § 2 . 1 3 [формула ( 2 . 3 3 ) ] . Ту же формулу можно получить, исходя из рас­ смотрения скалярного произведения вектора а [ах, ау, аг] на са­ мого себя.

л

Так как (а, а) = 0, то

а-а = I a I j а I — | а |2

и, следовательно,

| а | = уТа~.

Используя теперь формулу (2.52), сразу получаем формулу

2.33)

Вычисление угла между векторами, заданными своими коорди­ натами. Так как очевидно, что

Аналитическое выражение условия ортогональности двух век­ торов. Согласно теореме 2 § 2.5 необходимым и достаточным усло­ вием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Таким образом, исходя из формулы (2.52), это условие для век­

Вычисление проекции вектора на направление другого вектора

76

Для вычисления проекции вектора а на ось /, определяемой ортом е = і cos а + j cos ß + k cos у, имеем

Найдем векторные произведения координатных ортов, входящих в правую часть равенства (2.59). Так как векторное произведение коллиниарных векторов равно нулю, то сразу получаем

Рассмотрим векторное произведение i X j - Имеем

| i x j | = | i | j | s i n - £ - = 1 Х І Х І = 1,

т. е. вектор i X j единичный. Далее, так как он перпендикулярен векторам і и j и составляет с ними правую тройку векторов i, j ,

i X j , то его направление совпадает с направлением оси z. Следо­ вательно,

Аналогичным образом получим, что

Теперь из равенств (2.61), (2.62) и (2.63) получаем

апользоваться, например, следующим приемом. Выписывается последовательность координатных ортов

—<

і 3 k i j ,

->+

77

плюс, а в обратной последовательности — следующий орт со зна­ ком минус.

Подставляя теперь значения векторных произведений коорди­ натных ортов по формулам (2.60) — (2.64) в правую часть равенства (2.59), получим

а X b = {aybz — агЬу)\— (ахЬг—azbx) j + (axby—aybx) k, (2.65)

откуда

и рассматривать это выражение как результат разложения опреде­ лителя:

і І k I ax ay az bx by bz

по элементам первой строки. Тогда получим *

Таким образом, векторное произведение двух векторов может быть записано в виде определителя третьего порядка, элементами первой строки которого являются координатные орты, а второй и третьей строками — координаты первого и второго вектора соот­ ветственно. Координатами векторного произведения являются ал­ гебраические дополнения соответствующих координатных ортов этой матрицы.

78

Выражение смешанного произведения векторов через координаты векторов

Будем рассматривать смешанное произведение abc как скаляр­

Таким образом, смешанное произведение тройки векторов равно определителю матрицы третьего порядка, элементами первой, второй и третьей строк которой являются координаты первого, второго и третьего векторов тройки. Отметим некоторые приложе­ ния формулы (2.69).

I. Аналитическое выражение условия компланарности трех век­ торов. Согласно теореме § 2.7 необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их сме­ шанного произведения. Таким образом, исходя из формулы (2.69),

2. Вычисление объема параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах. Искомая формула получается непосредст­ венно из геометрического смысла смешанного произведения векто-

79