Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

3. Сочетательное свойство относительно числового множителя

Ц а Ь ) = ЯаЬ = аЯЬ.		(2.23)
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Покажем, например,	что
A,(a-b) = Aa-b.		( 2 - 2 4 )
Пользуясь опять теоремой	1, имеем

Xab = I b I npb Àa.

Но проекция произведения вектора и числа на ось равна произ ведению числа и проекции вектора на эту ось. Следовательно

	ХаЪ -~ I b I ^прь а.
Замечая,	что
	I b I npb a =	a-b,
приходим к	равенству (2.24). Аналогично доказывается и другое
из равенств (2.23), т. е., что
	X(a-b) =	а-ХЬ.

З а м е ч а н и е . Из рассмотренных свойств скалярного произ ведения векторов следует, что векторные многочлены перемно жаются скалярно так же, как перемножаются многочлены в ал гебре чисел. Например,

(a + b)-(c + d) = a-c + a-d + b-c + b.d.

При помощи скалярного произведения можно формулировать условие перпендикулярности (ортогональности) двух векторов.

Теорема	2.	Для того,	чтобы	два	вектора	были	ортогональны,
необходимо	и	достаточно,	чтобы	их	скалярное	произведение равня
лось нулю.						а и b
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть					векторы	а и b	ортогональны.
Тогда			л
			л
			cos (а,	Ь) = 0

и, следовательно,

а-Ь = 0. Обратно. Пусть скалярное произведение

а-Ь = 0.

Если векторы а и b не нулевые (|а| нулю косинус угла между ними. Отсюда

Ф О, | b | Ф 0), то равен следует, что угол между

векторами а и b равен ~ - и, следовательно, они ортогональны.

Если же один из векторов нулевой (или оба нулевые), то их можно считать ортогональными, приписывая нулевому вектору направле ние, перпендикулярное направлению другого вектора.

2.6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Три вектора а, Ь, с, рассматриваемые в порядке их написания или перечисления (а — первый вектор, b — второй, с — третий), называются у п о р я д о ч е н н о й т р о й к о й в е к т о р о в или просто тройкой векторов. Приведем векторы а, Ь, с к общему началу.

Определение. Тройка	некомпланарных	векторов	а, Ь,	с	назы
вается правой (правой	ориентации), если	при наблюдении		с	конца
третьего вектора с поворот от первого вектора а			ко второму		век

Рис.

Рис .

тору

b на угол между ними

происходит

против

хода часовой

.стрелки.

Если

же указанный

поворот

происходит

по ходу

часовой

стрелки,

то тройка

векторов называется

левой

* (левой

ориентации).

На рис. 20 изображена правая тройка векторов а, Ь,

с, а

на

рис. 21 — левая тройка векторов а, Ь, с.

Отметим очевидные свойства троек векторов:

Ориентация

тройки

векторов не

меняется

при

циклической

(круговой)

перестановке векторов,

т. е.,

если тройка

а, Ь, с — пра

вая (левая,)

то и тройки

Ь, с, а и с, a,

b — тоже

правые

(левые).

Ориентация

тройки

векторов

меняется

при

перестановке

двух векторов, т. е., если тройка векторов, ab,

с — правая

(левая),

то тройки

Ъ, а, с; а, с, b и с, b, а — левые

(правые).

При

замене одного из векторов тройки

на противоположный,

также на любой вектор противоположного

направления,

получается

* Происхождение наименований «правая» и «левая» тройка

векторов

обычно объясняют тем, что они отвечают расположению

вытянутых

больших

указательных пальцев соответственно правой

и левой

рук

по

отношению

согнутым

под углом к ладоням средним

пальцам

этих

р у к

(указан

ные пальцы рассматриваются в следующем порядке: большой,

у к а з а т е л ь н ы й ,

средний). Можно дать и другое объяснение: правая тройка

соответствует

случаю, когда для наблюдателя,

расположенного

вдоль

третьего вектора

и смотрящего в направлении второго вектора, первый вектор

оказывается

справа от него, а левая тройка — случаю, когда, при таком

же

расположе

нии наблюдателя, первый вектор

оказывается

слева

от него.

тройка

противоположной

ориентации.

Так,

если тройка

а, Ь, с —

правая,

то тройка

— а, Ь, с — левая.

Определение. Векторным произведением

вектора

на

вектор b

называется вектор

с, который

имеет

длину,

численно

равную

пло

щади параллелограмма,

построенного

на

векторах а

и Ь,

перпенди

кулярен

плоскости

этого

параллелограмма

и направлен

так,

чтобы

тройка

векторов

а,

Ь, с была

правой.

Векторное произведение вектора а на вектор b обозначается символом а X b (иногда символом [а, Ь]). На рис. 22 изображено построение векторного произведения а X Ь.

Исходя из известной теоремы о площади параллелограмма, имеем выражение для длины векторного произведения

	л
\| a x b \| = \|a\|\|b\|sin(a,	b).	(2.25)
Рассмотрим основные свойства		векторного
произведения:
1. Сочетательное свойство относительно чис
лового множителя
Я ( а х Ь ) = Я а х Ь = а х Я Ь .		(2.26)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, например,	что
Я (a X Ь) = Яа х b.

Для этого установим, что векторы, стоящие в левой и правой частях этого равенства, имеют одинаковые длины и направлены в одну сторону. Имеем

			1Я (а X b) I == IЯ11 а X b \| =		\| Я \| [ а 11 b \| sin		(ab),
			л				л
		\| Яа х b \| = \| Яа 11 b \| sin (Яа, b) =			\| Я11 а 11 b \| sin (Яа, Ь).
	Но		Л		Л		0,		Л
		так как при Я > 0 (Яа, Ь) =		(а, Ь), при Я <				(Яа, Ь) =
=			Л					Л		=
	я — (а, Ь) (см. рис. 18 и 19), то в обоих случаях						sin (Яа, Ь)
=		Л	Ь) и, следовательно,
	sin (а,
			I Яа X b I = I Яа X b \|. "Л
	Далее,		при Я > 0 вектор Яа имеет направление				вектора а,			а
вектор		Я (а X Ь) — направление вектора				а х Ь. Поэтому,			так как
векторы a, b, а X b составляют правую						тройку, то		и	векторы
Яа, Ь, Я (а X Ь) составляют правую тройку. При Я <							0, вектор Яа
имеет		направление вектора — а, а		вектор Я (а X Ь) — направле
ние вектора — (а X Ь) и так как				ориентация тройки				векторов,

очевидно, не меняется при замене двух векторов, на противополож ные, то тройка векторов Яа, Ь, Я (а х Ь) и в этом случае будет пра вой.

2. Распределительное	свойство
a x ( b	+ c ) = a x b + a x c .	(2.27)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предварительно заметим, что век торное произведение единичного вектора е на произвольный век тор d, приведенных к общему началу О, можно построить следую

щим	образом (рис. 23): спроектировать конец		вектора d, точку А,
на плоскость, перпендикулярную		вектору е,	и повернуть вектор
О А а	в этой плоскости на прямой угол против хода часовой стрелки,
если	наблюдать с конца вектора е. Вектор О А 2 и будет векторным
произведением е х d. Действительно, длина			этого вектора
		л
	IОА 2 1 = I О А І I =	I d I sin (e, d) == \| e X d \|,

по построению он перпендикулярен векторам е и d и направлен так, что тройка векторов e, d, О А 2 правая.

Рис.	23	Рис. 24
Спроектируем	теперь треугольник ОАВ,	в котором OA = b,

AB = с, OB = b + с (рис. 24) на плоскость, перпендикулярную вектору а, и полученный треугольник ОА1В1 повернем в этой пло скости на прямой угол против хода часовой стрелки, если наблю дать с конца вектора а. Тогда будем иметь

O A 2 = -| а^/ - x b = - ^|-а(| a x b ) )

А 2 В 2	= —	х	с = — ( а X с),
	\| а \|		\| а \|

O B 2	= -Irаi\| r x ( b + c) = - î - a x ( b - t - c ) .		I а\|
Но	О В 2 = О А 2 + А 2 В 2 .
Следовательно,	О В 2 = О А 2 + А 2 В 2 .
Следовательно,
—!— а X (Ь 4- с) = -J— а X b H		— a x e ,
I a I	l a \|	\| a \|

откуда следует равенство (2.27).

Отметим, что векторное произведение не обладает переместительным свойством. При перестановке сомножителей векторное

произведение сохраняет длину, но меняет направление на проти воположное

а х Ь = —		( Ь х а ) .	(2.28)
Действительно, пусть
a x b = c	и	Ь х а = С!.
Так как оба вектора с и с х	перпендикулярны		векторам а и b

(т. е. плоскости, определяемой векторами а и Ь) и имеют одинако вые длины

\|c\| = \|a\|\|b\|sin(a,		Л
\|c\| = \|a\|\|b\|sin(a,		b),
		л
[ сх J = I Ь JI a I sin (b, а),
то они либо равны, либо	противоположны. Первое предположение
отпадает, так как если с х	= с, то тройки	векторов а, Ь, с и Ь, а, с
должны быть правыми, что невозможно		(вторая тройка получается

из первой перестановкой векторов а и Ь). Следовательно, должно быть

С= — Ci.

З а м е ч а н и е . Из рассмотренных свойств векторного произ ведения следует, что векторные многочлены можно перемножать векторно так же, как перемножаются многочлены в алгебре, с со блюдением лишь одного условия — сохранять порядок сомножи телей, например,

(a + b ) x ( c + d) = a x c + a x d - r - b x c + b x d .

При помощи векторного произведения можно формулировать

условие	коллинеарности двух		векторов.
Теорема. Для того,		чтобы	два вектора	были коллинеарны,			необ
ходимо	и достаточно,	чтобы	их векторное	произведение		равнялось
нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Если два вектора а и b коллинеарны,
то угол между ними равен либо нулю либо я . В обоих					случаях
			Л
		sin (а, Ь) = О
и, следовательно, а X b = 0. Обратно, если а X b =					0 и векторы

а и b не нулевые, то равен нулю синус угла между ними. Следова тельно, угол между векторами а и b равен либо нулю, либо л. В обоих случаях векторы коллинеарны. Если же один из векторов нулевой, то, приписывая ему направление, совпадающее с направ

лением	другого	вектора, опять получаем коллинеарные векторы.
	2.7. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
Определение.		Смешанным	произведением		тройки		векторов	а,
Ь, с называется		скалярное произведение		вектора	а	и векторного		про
изведения	вектора b на вектор		с, т.	е. выражение		a-(b	X с).

Для установления геометрического смысла смешанного произ ведения a ( b X с) построим на векторах а, Ь, с параллелепипед (рис. 25; предполагаем векторы не компланарными). Пусть Q — площадь его основания (параллелограмма, построенного на векто рах b и с), а Я — высота параллелепипеда. Тогда объем этого па раллелепипеда

V = QH.

Имеем теперь, исходя из определений скалярного и векторного произведений векторов,

mа • (b X с) = J b X с I п р ь х с а = Qnpb x c a.

Рис . 25

Если тройка векторов а, Ь, с правая (рис. 25), то вектор b X с расположен по ту же сторону от плоскости основания параллеле пипеда, что и вектор а. В этом случае

	п Р ь х с а = Я
и,	следовательно,
	а ( Ь х с ) =	У.
	Если же тройка векторов а, Ь, с левая (рис. 26), то векторы b X с
и	а расположены по разные стороны		от плоскости основания.
В	этом случае
	п Р ь х с а =	- Я	'
и,	следовательно,
	a (b X с) =	— V.

Таким образом, абсолютная величина смешанного произведения тройки некомпланарных векторов а, Ь, с равна объему параллеле пипеда, построенного на этих векторах, причем смешанное произ ведение равно указанному объему и, следовательно, положительно, если тройка векторов правая, и равно объему, взятому со знаком минус, и, следовательно, отрицательно, если тройка векторов левая.

Рассмотрим основные свойства смешанного произведения век торов:

1.	Смешанное	произведение	векторов	не меняется при	цикличе
ской	(круговой)	перестановке	векторов
		а • (b X с) =	b • (с X а) =	с• (а х Ь).

Действительно, при любой нумерации векторов а, Ь, с паралле лепипед, построенный на этих векторах, будет один и тот же, а значит, и объем его не изменяется. При циклической же переста новке векторов ориентация тройки также не изменяется; следова тельно, не меняется и знак смешанного произведения.

З а м е ч а н и е . Так как скалярное произведение векторов обладает переместительным свойством, то из равенства

a ( b X с) = с-(а X Ь)

следует что

a-(b X с) = (а X Ь ) с .

Таким образом, при составлении смешанного произведения тройки векторов а, Ь, с безразлично, какие рядом стоящие векторы

перемножать

векторно.

Это

позволяет . смешанное

произведение

векторов а, Ь, с обозначать

символом abc. Следовательно, рассмот

ренное свойство

означает,

что

abc = bca = cab.

(2.29)

Смешанное

произведение

векторов меняет

знак

на

противо

положный

при

перестановке

двух

векторов.

Действительно, при перестановке двух векторов тройки ее ори

ентация

меняется на противоположную. Поэтому, например,

abc = — bac.

(2.30)

При помощи смешанного произведения векторов можно форму

лировать условие компланарности трех векторов.

Теорема. Для

того,

чтобы

три

вектора

были компланарны, не

обходимо

и достаточно,

чтобы

их

смешанное

произведение

равня

лось

нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в Ч ) .

Если

векторы

а,

Ь, с

компланарны,

то вектор а X b перпендикулярен вектору с и, следовательно, их

скалярное произведение

равно нулю, т. е.

abc = 0.

Обратно,

если

abc

= 0, то,

например,

векторы

а X

и с

ортогональны; следовательно, вектор с лежит в плоскости

векто

ров а и Ь, т. е. векторы

а, Ь, с

компланарны.

З а м е ч а н и е

Теорема

имеет наглядный геометрический

смысл. Если

векторы а, Ь, с компланарны, то очевидно, что объем

параллелепипеда,

построенного на этих векторах, равен

нулю.

Значит,

смешанное

произведение

abc = 0.

Обратно,

если

сме

шанное

произведение

abc = 0, то равен

нулю объем

параллеле

пипеда,

построенного

на векторах

а, Ь,

с, а это возможно

лишь

в том случае,

если эти векторы лежат в одной плоскости, т. е. ком

планарны.

З а м е ч а н и е

Если среди векторов а, Ь, с, имеются кол-

линеарные, то смешанное произведение этих векторов равно

нулю.

Действительно, в этом случае векторы а, Ь, с компланарны

и, сле

довательно, их смешанное произведение

равно

нулю.

2.8. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Для осуществления связи между точками пространства и чис лами вводятся в пространстве системы координат. Простейшей и в то же время наиболее употребительной является прямоугольная декартова система координат. Эта система состоит из трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке и рассмат риваемых в определенном порядке.

Первая ось называется осью х, вторая — у, третья — z. Точка пересечения координатных осей называется началом координат и обозначается буквой О. Оси координат называются также: пер вая — осью абсцисс, вторая — ординат и третья — осью аппликат.

Орты координатных осей х, у, z принято обозначать через і,

ö)

j / O i

Рис. 27

j , k соответственно. Различают две ориентации прямоугольной системы координат соответственно двум возможным ориентациям тройки векторов i , j , k. Если эта тройка правая, то система коор

динат	называется	правой,		если она левая — система						координат
называется левой. На рис. 27					изображены		правая	(27, а) и левая
(27, б) системы прямоугольных					координат.
В	настоящем	пособии		принята		правая система				координат.
Оси координат х,		у,	z образуют 3 взаимно перпендикулярные пло
скости	ху, yz и zx,		которые называются				к о о р д и н а т н ы м и
п л о с к о с т я м и .
Прямоугольные			декартовы		координаты		точки	и		вектора
			в	пространстве
Пусть M — произвольная точка						пространства,		в	котором вве
дена прямоугольная			декартова		система координат х,				у,	z (рис. 28).

Вектор г = ОМ, начало которого находится в начале координат О,

а конец в данной		точке М,		называется		р а д и у с о м - в е к т о
р о м	точки М.
Определение 1.		Прямоугольными			декартовыми			координатами,
точки	в пространстве		называются		проекции		ее радиуса-вектора на
оси прямоугольной		декартовой		системы		координат.
Обозначим проекции вектора г на оси координат через х, у, z
соответственно. Тогда			(рис. 28) компонентой				этого	вектора по оси

X будет вектор ОР = х\, компонентой по оси у компонентой по оси z вектор OR = zk. Так как

r = OP + PN + NM,

PN = OQ,

NM = OR,

то

r = xi + y]+zk.

вектор OQ = у] и

(2.31)

Формула (2.31)

называется

ф о р м у л о й

р а 3 л

о ж е н и я

радиуса-вектора произвольной точки пространства по

координат-

ным ортам или по координатным осям. Так как

тройка векторов i , j ,

k не компланарна, то, как

было

показано

§ 2.3,

такое

представление

произвольного радиуса-вектора всегда возможно

и единственно.

Таким

образом,

каждой точке

пространства

данной

прямоугольной

системе

координат

соответствует только одна упорядоченная

тройка

вещественных

чисел — ее

координаты:

х (аб

сцисса), у

(ордината)

(аппликата).

С другой

стороны,

каждой

упорядоченной

Рис. 20

тройке

вещественных

чисел

х,

у,

z можно со

поставить

пространстве,

в котором введена

прямоугольная

декартова

система

координат,

только

одну

точку

с координатами

х,

у,

z, а именно

точку,

радиус-вектор

которой

r = xi +	yj +	zk.
Тот факт, что точка M	имеет		координаты х,
у, z записывается так: M (х, у,			z). Очевидно,
начало координат — точка		О имеет коорди
наты X = О, у = 0, z =	0.

Итак, при помощи прямоугольной декар товой системы координат в пространстве уста навливается взаимно однозначное соответ ствие между точками пространства и упоря доченными тройками вещественных чисел. Иначе: каждую точку пространства можно представить упорядоченной тройкой чисел и каждую упорядоченную тройку чисел можно изобразить точкой в пространстве.

"71

о j I ,

и*

Рис. 29

Пусть теперь а произвольный вектор в пространстве. Обозначим

через ах, ау, az	проекции вектора	на оси координат соответственно
X, у, z. Если	вектор а перенести	в начало координат (рис. 29), то

его можно рассматривать как радиус-вектор своего конца с проек циями ах, ау, аг. По предыдущему будем иметь

а.= ахі+аЛ + агк, (2.32)

где векторы axï, ау\, azk являются компонентами вектора а по осям координат X, у, г сответственно. Равенство (2.32) называется раз ложением вектора а по координатным ортам или по координатным


осям.	Ясно, что каждому вектору а в данной				прямоугольной си
стеме	координат	X, у, z соответствует		только	одна упорядоченная
тройка	чисел ах,	ау,	az — проекции	вектора	на оси		координат
и обратно, каждой упорядоченной тройке чисел ах, ау,							а2 отвечает
в пространстве в данной прямоугольной системе						координат х, у, z
только один вектор, именно вектор,				проекциями		которого на оси
координат являются			числа ах, ау, аг	соответственно.

Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответст вие между векторами в пространстве и упорядоченными тройками чисел.

Определение 2. Проекции вектора на оси прямоугольной			декар
товой	системы	координат х, у, z называются координатами	вектора
в этой	системе	координат.
Тот факт, что вектор а имеет координаты ах, ау, аг, записывается
так: а \ах, ау,		аг).

Вычисление длины и направления вектора, заданного координатами

	Для	вычисления длины вектора а, заданного координатами ах,
ау,	аг,	перенесем его в начало координат и построим			компоненты
ОА1 ; OAä и ОА3			вектора по осям координат (рис. 29). Из рисунка
ясно, что вектор			а является диагональю прямоугольного			паралле
лепипеда, построенного на его компонентах. Имеем
но	так как		[а\|2 = \|ОВ \|2 + \|ОА3 \|2 ,
но	так как
и			I OB I я = I OA! \|а + 1	ОАа I 2
и
		\|OA,\|» = tfx, \|ОА2 \|* = а*,		\|ОА3 \|2 = ф	х
то			\|а\|» = а+а + <&
откуда			\|а\|» = а+а + <&
откуда
			\|a\| = l / " o J + ^ + 4			(2.33)
	Направление		вектора определяется	углами, которые		он обра

зует с осями данной системы координат х, у, z. Эти углы называются

н а п р а в л я ю щ и м и	у г л а м и	в е к т о р а и обозначаются
через а, ß, у соответственно (рис. 30).
Имеем по теореме 1 § 2.4
a;c=\|a\|cosa,		\
а^ = I а\| cos ß,		(2.34)
az	~ I a I cos y,	J

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ