Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Для доказательства этого свойства построим ломаную ОА ВС (рис. 8) векторов а, Ь, с. Из рисунка видно, что вектор ОС является

замыкающим ломаной ОВС, т. е. суммой векторов а +			b	и с и за
мыкающим ломаной ОАС, т. е. суммой векторов	а	и b +		с. Из ри
сунка видно также, что суммой трех векторов а	+	b -f-	с	является

замыкающий вектор ломаной, построенной из этих векторов. Оче видно, что сказанное справедливо для сложения любого числа век

торов: суммой векторов а ь а2 , . . . ,	а„	является замыкающий век
тор многоугольника, построенного	из	этих векторов. Очевидно

также, что так как сумма двух векторов обладает переместительным свойством, то этим свойством обладает и сумма любого количества векторов. Заметим, что если при построении ломаной векторов ко нец последнего вектора совпадает с началом первого, то это озна чает, что замыкающий вектор, а следовательно и сумма векторов, равна нулевому вектору.

Вычитание векторов

Вычитание векторов определяется как действие, обратное сло жению.

Определение 2. Разностью а—b векторов а и b называется век тор с, который в сумме с вектором b дает вектор а. Таким образом,

по определению, равенство

означает, что

с + Ь

Из рис. 9 видно, что разность векторов а и Ь, приведенных к общему началу О, есть вектор, начало которого совпадает с концом

вектора b, а конец с концом вектора а. Из рисунка видно также, что вектор а—b совпадает со второй диагональю параллелограмма,

построенного на векторах а и b (как было показано, вектор-диаго наль с началом в точке О является суммой этих векторов).

Разность а—b можно рассматривать как сумму вектора а с век тором, длина которого равна длине вектора b, а направление про тивоположно направлению вектора Ь. Такой вектор называется п р о т и в о п о л о ж н ы м вектору b и обозначается через — b (соответствующее построение показано на рис. 9 пунктирными ли ниями).

Таким образом,

a—b = a + ( —Ь).

Умножение вектора на число

Пусть даны произвольные вектор а и число Я.

Определение 3. Произведением Ха или аА, вектора а на число X называется вектор, коллинеарный с вектором а, длина которого

равна	IКI -\| а \|, а		направление	совпадает с направлением		вектора а,
если Я > 0 ,		и противоположно,		если Х < 0 .
На рис.		10 показано умножение вектора OA на число 2 и					— :
			ОВ = 20А,	ОС=	- O A .
					2
Очевидно, что произведение любого вектора на число,							равное
нулю,	является		нулевым вектором.		Очевидно также,	что	вектор

— а, противоположный вектору а, можно рассматривать как про

изведение вектора а на число		— 1
	_ а	= ( - 1 ) - а .
Умножение вектора на число обладает следующими				свойствами:
1)	сочетательным — относительно			^
числового множителя		С	О	А	в
	Я(иа) = (Ѵ)а;	(2.3)	Р и с	ш
2)	распределительным — относительно векторного			и	числового
множителей
	Я(а +	Ь) = Аа + Я,Ь,			(2.4)
	(А1 + Х2 )а = Х1а + Я2 а.				(2.5)

Частное -j- от деления вектора а на число X, отличное от нуля,

определяется как произведение вектора а на число — . Таким образом, по определению,

т = т >

<2 -6 >

С помощью умножения вектора на число можно любой вектор выразить через единичный вектор, имеющий одинаковое с вектором направление.

Определение		4.	Ортом	вектора а называется единичный вектор,
совпадающий	с	ним	по направлению.			Орт вектора	а обозначается
символом а°. Очевидно,
				а° =	- 4 - .		(2.7)
Отсюда				а =	\| а \| а ° .		(2.8)
				а =	\| а \| а ° .		(2.8)
Действия	с	суммами		векторов		и векторными	равенствами

Из свойств линейных операций с векторами следует, что выра жения, представляющие суммы векторов с числовыми множите лями (векторные суммы), и равенства таких выражений (векторные равенства) можно преобразовать по тем же правилам, по которым

преобразуются аналогичные выражения и равенства в алгебре чи сел. В векторных суммах можно раскрывать скобки и выносить за скобки скалярный и векторный множители. Например,

(а + 2b) (m + я) — та + па + 2mb -\|-	2nb,
Ха—тЬ—па-\-тс — (Х— п)а — т(Ь	—с).

В векторных равенствах можно любой член переносить из од ной части равенства в другую с изменением знака у числового мно жителя на противоположный, а также обе части равенства умно жать на одно и то же число и делить на число, не равное нулю.

2.3.ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ

ВЕКТОРОВ

Выражение

Я1 аі + ^ 2 а 2 + • • •

+Кап>

где

Ях ,

Х2, . . . ,

Хп — числа,

называется линейной

комбинацией

векторов

а 1 (

а2 ,

. . . ,

а„.

Определение. Векторы

а 1 ; а 2 ,

. . а„

называются

линейно зави

симыми,

если существуют

числа Хъ

Х2,

. . . Хп,

из которых хотя бы

одно отлично

от

нуля,

такие,

что имеет место

равенство

Ѵ і

+ Я2 а2 -Ь

• • • +

А,па„ =

(2.9)

Если же такое равенство возможно только тогда, когда все числа

Хъ

Х2, . . . ,

Хп равны

нулю, то векторы al f

. . . ,

а„

называются

л и н е й н о

н е з а в и с и м ы м и .

Из определения следует, что в случае линейной зависимости

векторов, по

крайней

мере один

из них может быть

представлен

в виде линейной комбинации остальных. Действительно, если в ра

венстве (2.9), например,		Хп	=f= О, то из него находим
	Art		Ага	Ап
Очевидно	обратное: если		хотя бы один из векторов		. . . ,	а„
может быть	представлен	в	виде линейной	комбинации	остальных,
то эти векторы линейно		зависимы. Пусть, например,
	а„ = Ххах -f- À2 a2 + • • • + X„_ia„.
Тогда имеем
	X1a1 + X2a2+		. . . + À „ _ 1 a n — a „ = 0
и, следовательно, существуют числа Хи Х2,				. . . , Хп_ъ	Хп, из	ко

торых по крайней мере одно отлично от нуля (Хп = — 1), обращаю щие линейную комбинацию векторов в нуль. Ясно, что при линей ной независимости векторов ни один из них не может быть пред ставлен линейной комбинацией остальных.

З а м е ч а н и е . Если	векторы	а2 , . . . , ап линейно неза
висимы, то среди них нет	нулевых.

Действительно, допустим, что		один из векторов,	например
а„ =	0. Тогда, выбирая К1 = 0, Я 2	= 0, . . . , % п - х = 0,	%п = 1,
будем	иметь

Ѵ і + Ѵ 2 + • • • і Ѵ а - і + Ѵ ^ 0 -

что противоречит условию линейной независимости векторов.

Теорема 1. Два вектора линейно

зависимы, тогда и только

тогда,

когда

они

коллинеарны.

а и b

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

векторы

коллинеарны.

Тогда можно найти такое число X, что будет

иметь место равенство

а = Мі,

(2.10)

а это и значит, что векторы а и b линейно

зависимы.

Пусть

теперь

векторы

линейно

зависимы,

между

ними

должна

иметь

место

зависимость

вида

а это

значит,

что

векторы

коллинеарны.

С л е д с т в и е .

Если

векторы

и b не

коллинеарны,

то равенство

Ях а +

А,2Ь = 0

возможно только тогда, когда %г = К2

= 0. .

тогда,

Теорема 2. Три вектора линейно зависимы

тогда и только

когда

они

компланарны.

векторы а,

Ь, с

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

компланарны.

Если

какие-нибудь

два из них коллинеарны,

то линейная

зависи

мость векторов очевидна. Например, если а и b коллинеарны, то они линейно зависимы и, следовательно, существуют числа Хх и À2 , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что имеет место равенство

Àx a + Х2Ъ = 0. Но тогда очевидно, что

А,ха + К2Ь + 0с = 0,

т. е. векторы а, Ь, с линейно зависимы.

Предположим поэтому, что никакие два вектора не коллинеарны. Приведем векторы к общему началу О (рис. 11) и из конца вектора с проведем прямые, параллельные векторам а и Ь. В результате будем иметь

с = ОА + ОВ.

Но вектор OA коллинеарен вектору а, а вектор OB коллинеарен

вектору Ь, следовательно,
OA = h1a,
OB = À2b,
где К1 и Я2 — некоторые числа.
Таким образом, имеем
с ^ а + ЯаЬ,	(2.11)

т. е. вектор с выражается линейной комбинацией векторов а и Ь.

Пусть теперь векторы а, Ь, с линейно зависимы. В этом случае один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных. Пусть это будет, например, вектор с; тогда приходим к равенству (2.11). Так как векторы Я\а и Я2 Ь лежат в плоскости векторов а и Ь, то и вектор с, являющийся их суммой, тоже лежит

в этой плоскости,	а это значит,	что векторы	а,	Ь, с	компланарны.
С л е д с т в и е . Если три		вектора a, b	и с не		компланарны,
то равенство
	Ях а + Я2 Ь + Я3 с = О
возможно только	тогда, когда	Лх = Я2 = Л3	=	0.
Формула (2.11)	представляет разложение			произвольного век

тора с по двум неколлинеарным векторам а и Ь, компланарным с ним.

Векторы	и À2 b называются с о с т а в л я ю щ и м и вектора с
по векторам	соответственно а и Ь.

Покажем, что такое разложение единственно. Действительно, пусть кроме разложения (2.11) имеется другое разложение вектора с по векторам а и b

с = Х[а-{-К'2Ь.

Тогда будем иметь

я ; а + я ; ь = я 1 а + я 2 ь

или

(Ä,;-X1 )a + (>4 + X2 )b = 0,

откуда, по следствию из теоремы 1 (векторы а и b не коллинеарны), заключаем, что

К[—Я, = 0; К'2—Я2 = 0,

т. е.
A,; = Àj;		А2 = Х2.
Теорема 3. Четыре (и более)		вектора всегда линейно	зависимы.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Рассмотрим произвольные		четыре

вектора а, Ь, с и d. Если какие-нибудь два из них коллинеарны или какие-нибудь три компланарны, то линейная зависимость векторов очевидна. Например, если векторы а, Ь, с компланарны, то они ли нейно зависимы и, следовательно, существуют числа Я1 ( Я2 , Х3, из которых хотя бы одно отлично' от нуля, такие, что имеет место равенство

Ях а + Я2 Ь + Я3 с = 0. Но тогда очевидно, что

Ях а + Я2Ь + Я3 с + Od = 0, т. е. векторы а, Ь, с, d линейно зависимы.

Предположим поэтому, что никакие три вектора не компла нарны. Приведем их к общему началу О (рис. 12) и сделаем следую щие построения: из конца вектора d проведем прямую, параллель ную вектору с, затем из точки M пересечения этой прямой с пло скостью векторов а и b проведем прямые, параллельные векторам а и Ь, наконец, из конца вектора d проведем прямую, параллель ную вектору ОМ. В результате будем иметь

d = OA + OB + OC.

Но векторы OA, OB и ОС коллине-
арны	векторам	а,	Ь, с	соответственно.		" — -"А
Следовательно,						" — -"А
ОА=А,а а,		OB = À2 b,		ОС =	^ з С	Рис. 12
где	кх, к2 и	к3	— некоторые		числа.	Таким образом, имеем
			А = к1а + к2Ь + к3с,			(2.12)

т. е. вектор d выражается линейной комбинацией векторов а, Ь, с.

Формула (2.12)				представляет	разложение	произвольного			век-
jj				Q тора d по трем другим		не	компланарным
				векторам a, b и с.
				Векторы куЛ, к2Ъ,		к3с называются со
				ставляющими вектора d по векторам со
				ответственно a, b и с.		Легко видеть,			что
				такое разложение единственно.
				Пример. Доказать, что диагонали				паралле
		ABCD		лограмма	делятся точкой	пересечения		пополам.
	Пусть	ABCD	— параллелограмм		(рис. 13). Введем в		рассмотрение		век
торы	а =	AB и b =		AD. Тогда
				АС =	а + Ь ,
				DB =	a — b.
	Рассмотрим		треугольник АОВ; имеем
				АО + ОВ + ВА = 0.
	Но вектор АО коллинеарен вектору АС, а вектор OB коллинеарен век
тору	DB. Следовательно,
				АО =	(a - f Ь),
				DB = X 2 ( a — b),

где Xj и Я 2 — некоторые числа. Н у ж н о показать, что каждое из этих чисел равно — . Учитывая, что

ВА = — а,

будем иметь

Хі (а + Ь) + Я2 (а — Ь) — а == О

ИЛИ

(к1 + кг—\)л + (к1 — кі)Ъ = 0.

Т ак как по смыслу задачи векторы а и b не коллинеарны, то последнее равенство возможно только, если

^-1 + ^ 2 — 1 = 0 и l j —• К2 = 0,

откуда следует, что

%\ : = А<2 :— .

2.4.ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЕКЦИЙ ВЕКТОРОВ

Определение 1. Компонентой

вектора

по

оси

называется

вектор AjB-!,

лежащий на

оси,

началом

которого

является

проек

ция

на

ось начала

вектора

AB, а

кон

цом —

проекция

на

ось

конца

этого

вектора

(рис.

14).

Определение 2.

Проекцией

вектора

AB на

ось

называется

число,

равное

длине

его

компоненты

А1В1

по

оси,

если

направление

компоненты

совпа

дает

с направлением

оси,

и длине

ком

поненты

со

знаком

минус,

если

оно

противоположно

направлению

оси.

Проекция

вектора AB на ось / обозначается

символами:

пр/АВ-

(АВ)/. Если вектор обозначается одной буквой, например а, то его проекция на ось / обозначается еще так: at.

В векторной алгебре рассматриваются также компонента век тора по другому вектору и проекция вектора на другой вектор.

Определение		3.	Компонентой			вектора		а по вектору	b	называется
компонента этого			вектора	по	оси, определяемой вектором Ь.
Определение		4.	Проекцией		вектора		а	на вектор	b	называется
проекция	этого		вектора	на		ось,	определяемую		вектором Ь.
Проекция вектора а на вектор b обо
значается так: прй а.
Выражение компоненты вектора
по оси через орт оси
Пусть	А х В г	— компонента				вектора
AB по оси	/ (рис. 15), покажем,					что

	AiB^np ^AB. e,			(2.13)
где е — орт		оси /.
Действительно,			если	направление
компоненты		kj^i	совпадает с направ
лением	оси	/ (рис.	15, а),	то орт оси е
вектора	А 1 В 1 . Так		как при	этом пр,АВ —
(2.8) имеем

А!ВХ = пр/АВ-е.

Рис. 15

является	также ортом
I A J B J I ,	ТО ПО формуле

Если направление компоненты А1В1 противоположно направ лению оси / (рис. 15, б), то ортом вектора А ^ будет вектор — е

Так	как в этом случае пр/ AB = — \| АХ ВХ \|, то по той же формуле
(2.8)	получаем
	А 1 В 1 = —прг АВ (—е) = пр/АВ-е.
З а м е ч а н и е .		Равенство (2.13) справедливо,	очевидно, и
в том случае, когда		вектор AB лежит на оси /
		АВ = пр,АВ е.	(2.14)

В этом случае проекция вектора на ось равна длине вектора, если его направление совпадает с направлением оси, и длине век тора со знаком минус, если оно противоположно направлению оси.

	Основные теоремы о проекциях
Теорема 1.	Проекция вектора а на ось I	равна произведению
длины вектора	на косинус угла между вектором	и осью, т. е.
	А
	пр,а = \| а \| cos (а,/) .	(2.15)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Отложим вектор а от произвольной точки А на оси I и обозначим через ф угол между вектором и осью (рис. 16). Если угол ф острый (рис. 16, а), то

пр; а = \ AB I = I а | cos ф, если же угол ф тупой (рис. 16, б), то

п р ; а = — I AB I = — I a I cos (я — ф ) = | a | cos ф.

З а м е ч а н и е . Очевидно, что аналогичная формула справед лива и для проекции вектора а на другой вектор b

А
пр„а = I а\| cos (а, Ь).	(2.16)

А,

В,

С/

Рис. 16

Рис. 17

Теорема 2. Проекция суммы векторов а + b на ось I равна сумме проекций векторов на ту же ось, т. е.

пр; (а +	Ь) = пр,а + пр;Ь.	(2.17)
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Пусть (рис. 17) AB = а,	ВС = Ь.
Тогда

АС = АВ + ВС = а + Ь.

	Выразим по формуле			(2.13) компоненты векторов AB, ВС и АС
по	оси / через орт оси е:
		А1 В1 = пр;АВ-е,		BiCj = пр;ВС-е,		A J C J = пр;АС-е.
Но	так	как
то			А А ^ А І В Х + В А ,
то
		пр;АС • е = пр;АВ • е + пр;ВС • е = (пр;АВ + пр,ВС) е.
	Отсюда следует, что
			пр;АС = пр; АВ + пргВС.
	Возвращаясь к первоначальному обозначению векторов, полу
чаем равенство (2.17).
	З а м е ч а н и е .		Очевидно		теорема справедлива		для	суммы
любого		конечного числа		векторов.
	Теорема 3. Проекция			на ось I произведения		Яа вектора	а на	число
Я равна		произведению	этого числа на проекцию вектора				на ту же
ось,	т.	е.		пр,Яа =	Япр/а.
				пр,Яа =	Япр/а.

Рис .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По теореме

1 имеем

прг (Яа) = | Яа | cos (Яа,

/).

/) = | Я |• j а | cos (Яа,

Если

Я > 0 ,

то

|Я,| = Я; направление

вектора

Яа

совпадает

с направлением вектора а (рис.

18),

потому (Яа, /) = (а, /).

Следовательно,

ЯI a I cos (а,

пр; (Яа) =

/) = Я пр/а.

Если

Я < 0 ,

то

|Я | = — Я ;

направление

вектора

Яа

противо-

положно

направлению

вектора

(рис. 19),

потому

(Яа, 7) =

= л — (а,

/). Следовательно,

пр; (Яа) =

/)=Япр;а .

— Я | а | [ — c o s (а,

/)]=Яасоэ(а,

При

Я = 0 теорема

очевидна.

З а м е ч а н и е .

Из теорем 2 и 3 следует,

что

пр/(Я1 аІ + Я 2 а 2 +

. . . +Я„а„) =

Я1 прг а1 +

Я2 пр/ а2 -|- . . . +Я„пр2 а„.

(2.18)

2.5. СКАЛЯРНОЕ

ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ВЕКТОРОВ

Определение. Скалярным

произведением

двух

векторов

и b

называется

число,

равное

произведению

длин

этих

векторов

коси

нуса угла

между

ними.

векторов а и b обозначается символом

Скалярное

произведение

a b

(иногда символом (а, Ь)).

Таким образом, по определению

a-b = |a||b|cos(a,A b).

(2.19)

Теорема 1.

Скалярное

произведение

двух

векторов равно

произ

ведению

длины

одного из векторов и

проекции

на его

направление

другого

вектора.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как

прь а = I a I cos (а, Ь)

npa b =

I b|cos(a, b),

то,

исходя

из формулы

(2.19), имеем

а-Ь = I b I прь а.

а-Ь = |а |пр а Ь .

(2.20)

Рассмотрим

основные

свойства скалярного

произведения:

1. Переместительное

свойство

(2.21)

a b = b a .

Это свойство вытекает непосредственно из определения

скалярного

произведения

векторов.

2. Распределительное

свойство

a ( b + c) = a b + a c

(2.22)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По теореме 1 имеем

а-(Ь + с) = | а | п р а (Ь + с).

Но проекция суммы векторов равна сумме проекций. Следова тельно

а-(Ь + с) = )а| (пра Ь + пра с).

Замечая теперь, что

|a[npa b = ab,

| а | п р а с = ас,

приходим к равенству (2.22).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ