Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 195 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

В этом случае говорят, что имеет место линейное преобразова ние переменных х1г х2, х3 к переменным ух и у2. Очевидно, что пре образование (1.72) полностью определяется матрицей

* и

'12

* і з

(1.73)

* г з

Матрица

(1.73)

называется

м а т р и ц е й

л и н е й н о г о

п р е о б р а з о в а н и я

(1.72),

а само преобразование

(1.72) на

зывается линейным преобразованием с матрицей (1.73).

Пусть теперь наряду с линейным преобразованием (1.72) дано

линейное преобразование двух переменных уг,

у2,

скажем,

к че

тырем

переменным

г ъ

гг,

z3, z4

ацУі

a12y2,

а2ІУі

~Ь

«22#2>

(1.74)

« з і # і +

а32у2,

с матрицей

аііУі

"Т~

«4 2^2

«12

«21

Cl22

(1.75)

«31

«32

Û41

«42

Ясно, что последовательное выполнение указанных

преобразо

ваний

определяет

некоторое

преобразование

переменных х ъ х2,

х3 к переменным гг, z2, z3,

z4. Найдем это преобразование. Подстав

ляя

в формулах (1.74) вместо ух и уг

их выражения

по формулам

(1.72),

получим

2 1 =

( « 1 1 * 1 1 "Г « 1 2 * 2 l ) Х1 Ф ( « 1 1 * 1 2 + « 1 2 * 2 г ) Х2 '

Г" ( « 1 1 * 1 3 +

-Г «12* 2 з)

х3>

2о

( « 2 1 * 1 1

~Г « 2 2 * 2 l ) Х1

~Т~ ( « 2 1 * 1 2

~ІГ «22 * 2 г ) Х2

Г ( « 2 1 * 1 3

~Г «22* 2 з) Х,3і

(1.76)

( « 3 1 * 1 1

~Г « 3 2 * 2 l ) Х1

+ ( « 3 1 * 1 2

«32 * 2 г) Х2

~Г «32*2з) ^Зі

( « 3 1 * 1 3

~і~

г,

( а 4 1 о 1 х

+ а 4

* 2

і ) х і

(«41*12 +

«42*22) х2

~Т

«42*2з)

Хі-

( « 4 1 * 1 3

Таким

образом,

результатом

последовательного выполнения

двух линейных преобразований является также линейное преобра зование с матрицей

« 1 1 * 1 1	+	« 1 2 * 2 1	«1 1 *и 2	+	«12"22 2 2	« 1 1 * 1 3	« 1 2 * 2 3
			11 12
с = «21*11	Т	«22*21	« 2 1 * 1 2	+	^22*22	« 2 1 * 1 3	« 2 2 * 2 3	(1,77)
«31*11	+	а 32*21	« 3 1 * 1 2	+	^32*22	« 3 1 * 1 3	« 3 2 * 2 3
«41*11		« 4 2 * 2 1	« 4 1 * 1 2	+	Z 42*22	« 4 1 * 1 3	« 4 2 * 2 3

Вычисление матрицы С, произведения двух линейных преоб разований с матрицами А и В принято в качестве правила умно жения матрицы А на матрицу В

С = AB.

Умножение матриц обладает следующими основными свойст вами, которые мы примем без доказательства:

1. Сочетательным свойством относительно числового и матрич ного множителей

{AB) к = А (ВХ) = (АХ) В,

	(AB)		С =		А	(ВС).
2. Распределительным		свойством
	(А + В) С = АС +						ВС.
В теории матриц вводится понятие единичной матрицы, играю
щей роль единицы в алгебре чисел.
Определение	2. Единичной		матрицей				п-го порядка		называется
квадратная матрица, у		которой			все элементы			главной	диагонали
равны единице,	а все остальные			элементы			равны	нулю.	Единичную
матрицу п-го порядка будем обозначать * символом Еп.									Таким об
разом,
			1	0 .	.	0
			0	1 .	.	0			(1.78)
									(1.78)
			0	0 .	.	1
Очевидно, что
			1	О
	D(En)	=	О	1					(1.79)
			О	о		1

Непосредственной проверкой легко установить, что произведение

произвольной		матрицы А размера			п х	m на единичную матрицу
Ет	справа и на единичную матрицу Еп					слева дает матрицу Л, т. е.
			АЕт	= А			(1.80)
			ЕпА	=	А.

	В частности, для любой		квадратной матрицы п-го порядка
		АЕп	= ЕпА		= А.		(1.81)
Е	* В некоторых руководствах единичная					матрица	обозначается буквой
	без указания	на ее порядок.

Апі АП2 • •

Отметим еще без доказательства следующую теорему об опреде

лителе	произведения квадратных матриц.
Теорема. Определитель		произведения	квадратных	матриц А
на В	равен произведению определителей		этих матриц,	т. е.
	D (AB)	= D {A)-D	(В).	(1.82)

1.12.ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Определение.	Квадратная матрица				В	называется		обратной
для квадратной	матрицы	А	п-го	порядка,		если
		AB	=	Еп.
Не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу.
Теорема. Для	того чтобы матрица А				имела обратную			матрицу,
необходимо и достаточно,		чтобы ее определитель					не равнялся		нулю.
Н е о б х о д и м о с т ь .		Пусть		квадратная			матрица	А	имеет
обратную матрицу В. Так		как	по определению
		AB	=	Еп,

то, пользуясь теоремой об определителе произведения квадратных матриц и тем, что D (Е) = 1, получаем

D	[A)-D (В)			= 1,
отсюда и следует, что
	D	(А)	ф 0.
Д о с т а т о ч н о с т ь .	Пусть
				. аIn
А	«21				12п
и D (А) ф 0.	ni	in2 ,
и D (А) ф 0.
Рассмотрим матрицу
		Ац	•	• •	А1п
С = А 21		А 22 •		• •	А2п	(1.83)

• ™пп

составленную из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А, и вычислим произведение АС, где С — мат рица, транспонированная по отношению к матрице С:

	\Ац	A2і . . .	Ап1
С' =	Al2	А 22 • • •	А,	(1.84)
С' =			1п2	(1.84)
	Ain	АоП . . .	Ann

Составим	выражение	для элемента	матрицы, находящегося
в і-той строке	и в k-том столбце. По правилу умножения матриц
это будет
	ai\Aki +	anAk2	ainAkn.

Но из теории определителей известно, что сумма произведений эле ментов любой строки матрицы на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы, а сумма произведений этих же эле ментов на алгебраические дополнения соответствующих элементов

другой строки равна нулю. Поэтому полученное выражение									равно
D (А) при і = k и нулю				при і Ф		k.
Таким	образом,
		\D		(А)	0		. . .	О
	АС	=		О	D	(А) . . .		О	(1.85)
	АС	=							(1.85)
				О		О		D(A)
или			AC' =		D(A)Ea.			(1-86)
			AC' =		D(A)Ea.			(1-86)
Из равенства		(1.86)	делением			на	D (A)	(D (А) ф 0) получаем
				1
			А — ! — С
				\D(A)
Отсюда видно,		что	матрица			1
				В:		1	•С		(1.87)
				В:	D(A)		•С		(1.87)
					D(A)
является	обратной для матрицы					А. Точно так же, как было			уста
новлено	равенство (1.86),			можно показать, что и
			C'A		- D (А) Еп.			(1.88)

Используя это равенство, найдем произведение ВА. Имеем

ВА - D(A) •C'A	1	D{A)En	= En.
	D(A)

Таким образом, матрица А является обратной для матрицы В. Матрица, обратная матрице А, обозначается символом А-1. Сле довательно,

A ц	A 2і	Ат
D{A)	D(A)	D(A)
А-1 = D (A)	D(A)	D(A)	(1.89)
D (A)	D(A)	D(A)

Итак,

	АА-1 = А~1А	= Е„
Очевидно, что
	і-Гі — 1	А.	(1.90)
З а м е ч а н и е .	Матрица, определитель которой		отличен от
нуля, называется н е о с о б е н н о й		матрицей (в противном слу
ч а е — о с о б е н н о й	матрицей). Таким	образом: всякая	неособенная

матрица и только такая матрица имеет обратную, которая вычис ляется по формуле (1.89).

Пример. Вычислить обратную	матрицу для матрицы
А = '
Вычисляем определитель матрицы
D	(А)	= 11.
Д а н н а я матрица неособенная,		следовательно, имеет обратную	А~1.

Составляем матрицу из алгебраических дополнений соответствующих эле ментов данной матрицы

— 3 — 2	6
С = II — 1	3 2

—7 — 1 3

ипо формуле (1.89) вычисляем обратную матрицу

— 3	—		3	1	7
— 3	—		11	11	11
			11	11	11
		— 1	2	3	1
11		— 1	11	11	11
11			11	11	11
			6	2	3
			11	11	11

1.13. ЗАПИСЬ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ МАТРИЦ

Пусть дана система п уравнений с п неизвестными

а11Х1	Г	Й12*2	~Г	•	"Т" alnxn	~	)
&21Х1		&22Х2	~Т~	•	"Т а2пХп	= ^2>	(1.91)
ап1Х1	Ь	ап2Х2

Будем рассматривать эту систему как систему п равенств, экви валентную равенству двух одностолбцовых матриц

11П	11	"Ь	12		2л	~Ь		1п		п	Ьі
а Х	Л	а		Х			а		Х
а21Х1			12 2
а21Х1			&22Х2				а2пХп				(1.92)
ап1Х1							ап2Хп

Замечая теперь, что в равенстве (1.92) левая матрица является произведением матрицы системы (1.91)

41	42
А =	1 22	12п

*ПІ *П2

на одностолбцовую матрицу из неизвестных

	л і
Х =	х2	(1.93)
Х =		(1.93)

и обозначая правую матрицу из свободных членов системы через В

В =

(1.94)

заключаем, что система п линейных уравнений (1.91) с п неизвест

ными может быть записана в виде одного	матричного уравнения
АХ = В		(1.95)
относительно одной неизвестной матрицы X.	Решая это уравнение,
т. е. определяя матрицу X, находим сразу значения всех		неизвест-
Решим уравнение (1.95). Допустим, что определитель		матрицы
А системы (1.91) отличен от нуля. (По теореме Крамера		при этом

условии система (1.91) совместна и имеет единственное решение.) Тогда, умножая обе части уравнения (1.95) на Л - 1 слева и замечая,

что А-ХА = Еп, а ЕпХ = X,			получаем
		Х =		А~ХВ.		(1.96)
Пример. Решить систему		уравнений
	— х% ~~~ Зл^з — 3,
*1	+	* 2	+	2*з =	1.
Хх	+	2х2	— 4*з =		9.

Записываем систему в виде одного матричного уравнения

АХ	= В,
где	— 1	—3
	— 1	—3
	1	2
матрица системы, а		3
*1		3
X =	и В	= 1
х3	;	9

одностолбцовые матрицы, составленные соответственно из неизвестных и свободных членов уравнений системы. Д л я решения этого уравнения с по мощью обратной матрицы вычисляем определитель матрицы А

2 — 1 —3

D(A)

= — 25 .

Так как D (А) Ф 0, то матрица А имеет обратную А~х и, следовательно, матрица X находится по формуле (1.96). Вычисляем матрицу Л - 1

				- 8	— 10	1
	Л - 1	=	—	6	— 5	— 7
			25	1	— 5	3
				1	— 5	3
и затем	матрицу X
	1	10		3			- 25	1
	1	— 5		1		1	- 5 0	— 2
X	=					1
X	=
	25	— 5		9			25	— 1
		— 5		9			25	— 1
Таким образом,
		Х\ — 1,	# 2	— 2,	х$ —

ГЛАВА 2

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2.1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.Вектор. Вектором называется отрезок прямой, которому приписано определенное направление. При этом одна из точек, ог

раничивающих отрезок,	называется	началом,	а	другая	концом	век
тора. Направление вектора определяется от начала к					концу.
Вектор обозначается	либо одной	буквой	с	чертой	наверху,	на

пример а, Ь . . . либо двумя буквами, также с чертой наверху (на пример AB, CD), из которых первая указывает точку расположе

ния начала вектора, а вторая — конца.

В печатных изданиях векторы набираются жирным шрифтом, без черты сверху. На чертеже направление вектора изображается стрелкой на конце отрезка. На рис. 1 изображены вектор а и век-

тор AB с началом в точке А и концом в точке В.							Начало вектора на
зывают также т о ч к о й				п р и л о ж е н и я			в е к т о р а .
Расстояние между			началом		и концом вектора			называется д л и
н о й ,	или	м о д у л е м	вектора.		Длина	вектора		AB	обозначается
символом		j AB J или AB		аналогично,		длина	вектора		а — симво
лом	I а \|или а.

Векторы находят широкое применение в физике, механике и других прикладных науках. С их помощью изображаются и изу чаются физические величины, характеризующиеся числовым зна чением и направлением.* Такие величины называются векторными,

например,

скорость,

ускорение,

напряженность

электрического

и магнитного

полей.

Векторное

исчисление,

возникшее

вначале

для

удовлетворения потребностей прикладных наук, очень

скоро

оказалось

весьма

полезным и в самой матема

тике.

В частности,

векторная алгебра

используется

в аналитической геометрии как очень

удобный

аппа

рат для

геометрических

исследований.

Равенство

векторов. Векторы

называются

рав

ными,

если они

лежат

на

одной

прямой

или

на

параллельных

прямых,

направлены

в одну

сторону и

имеют

одинаковые

длины.

Если векторы а и Ь,

равны,

то это

записывается

так:

а = Ь.

Из определения равенства векторов следует, что

точка приложения

вектора

может быть

выбрана

в любой точке пространства. В

этом смысле

та

кие векторы

называются

с в о б о д н ы м и .

На

ряду со свободными векторами рассматривают

так

же

н е с в о б о д н ы е

векторы,

которые

делятся

на с к о л ь з я щ и е

и с в я з а н н ы е .

Точку

приложения

скользящего

вектора

можно

выбирать

произвольно,

но

только

на

той

прямой,

на которой он расположен; свя

занный

вектор

не допускает

никакого

изменения точки приложе

ния. Примерами физических величин, изображаемых несвобод ными векторами, могут служить силы, приложенные к абсолютно твердому телу и к деформируемому телу. В первом случае имеем дело со скользящим вектором, во втором — со связанным.

В данном курсе изучается алгебра свободных векторов; в даль нейшем под словом вектор всегда будет подразумеваться свобод ный вектор.

* Напомним, что физические величины, характеризующиеся только числовым значением, называются скалярными. К таким величинам относятся, например, температура, время, масса, длина, площадь, объем. Числа, ха рактеризующие скалярные величины, называются скалярами.

Построение вектора, равного данному и приложенному в дан ной точке, называется параллельным переносом (или просто — переносом) вектора в данную точку. На рис. 2 показан перенос трех данных векторов a, b и с в точку О.

3.Нулевой вектор. Вектор, конец которого совпадает с началом, называется нулевым вектором и обозначается символом О или 0. Оче видно, длина нулевого вектора равна нулю, и направление неопре деленно. Нулевому вектору можно приписать любое направление.

4.Единичный вектор. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Таким образом, вектор а — еди

ничный, если	I а I — 1.
5. Ось. Осью называется		прямая, которой приписано определен
ное направление.	На чертеже	направление	оси обозначается	стрел
	кой.	Ось можно	задавать любым	векто-

АJ. ром, направление которого совпадает с на

правлением оси. В частности, ось можно

задавать единичным вектором; в этом слу

чае единичный вектор

называется

о р т о м

оси. На

рис. 3 ось Іх

задана вектором AB,

р и с

а ось / 2

— ортом

е.

Коллинеарность

компланарность

векторов. Векторы,

лежащие на

одной

прямой

или

на

параллельных

прямых,

называются

коллинеарными.

Если коллинеарные векторы привести к общему

началу,

то

они расположатся

на одной прямой.

Векторы, параллельные

одной

плоскости,

назы

ваются

компланарными.

Если

компланарные

векторы привести к общему началу, то они

расположатся

в одной

плоскости.

Очевидно,

два вектора

всегда компланарны. Три и

боль

шее число векторов могут уже образовывать си
стему		некомпланарных			векторов.
7.		Угол. Углом между двумя векторами				называется наимень
ший	угол между направлениями этих векторов,						приведенных		к об
щему	началу.		Угол между двумя векторами а и b обозначается сим-
		л
волом		(a, b),	а также		одной буквой: а, ß,	у, .	. .	Очевидно, угол
между		векторами		может принимать значения			в	пределах	между
0 и я .		На рис. 4		показано построение угла		а	между векторами а

и Ь. Углом между двумя осями называется угол между ортами этих осей; углом между вектором и осью называется угол между этим вектором и ортом оси. Обозначение этих углов аналогично обозна

чению	угла между двумя		векторами:	/
		л		/
символ	( / 1 ;	/ 2 ) означает угол между осями / х		и /2 ,
символ	(а,	/) — угол между	вектором а и осью	/.

2.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ

Линейными операциями с векторами называются действия: сло жение векторов и умножение вектора на число.

	Сложение	векторов
Пусть даны	п векторов ах , а2 ,	а„. Произведем следующее
построение. Из	произвольной точки пространства О, как из начала

Рис. 6

проведем вектор ах ,

к его концу приложим вектор а2 , к концу

век

тора а 2 приложим вектор а3

и т. д.,

наконец,

к концу вектора

а п _ ,

приложим

вектор

а„.

Полученная

фигура

назы

вается м н о г о у г о л ь н и к о м ,

или

л о м а н о й

в е к т о р о в

а 1 ;

а2 ,

. . . ,

а„.

Вектор

с началом

в начале

первого

вектора и концом в

конце по

следнего

вектора

называется

з а м ы к а ю щ и м

вектором.

На

рис.

показано

построение

лома

ной четырех векторов ах , а2 , а3

и а4

и их замы

кающего

вектора

OA.

Определение

Суммой

а +

векторов

а и b

называется

вектор,

замыкающий

ломаную

этих

векторов.

На

рис.

6 показано построение суммы векторов а

и Ь.

Отметим основные свойства сложения векторов:

1. Переместительное свойство

b =

b + a.

(2.1)

Действительно, как видно из рис. 7, замыкающий вектор ОС ломаной ОАС, построенной на векторах а и Ь, является замыкаю щим для ломаной ОВС, построенной на векторах b и а. Из рис. 7 видно также, что сумма двух векторов а и b равна вектору, начало которого совпадает с общим началом векторов а и b, а конец —- с противоположной вершиной параллелограмма, построенного на этих векторах. Это правило сложения двух векторов называется

пр а в и л о м п а р а л л е л о г р а м м а .

2.Сочетательное свойство

(a + b) + c = a + (b + c).

(2.2)

3 Заказ № 146

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 195 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ