Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

много решений (система неопределенна), либо она несовместна. Это утверждение принимаем без доказательства. Отметим лишь, что в случае совместности системы, она эквивалентна некоторой системе из меньшего числа ее уравнений.

1.9. ИССЛЕДОВАНИЕ И Р Е Ш Е Н И Е СИСТЕМЫ Л И Н Е Й Н Ы Х ОДНОРОДНЫХ УРА В Н Е Н И Й

Рассмотрим один частный, но весьма важный случай системы линейных уравнений, когда свободные члены уравнений системы равны нулю. Такие уравнения называются о д н о р о д н ы м и . * Проведем исследование и решение системы трех линейных однород ных уравнений с тремя неизвестными:

& \ \ х \	~Ь &\2Х2	~Ь ^ІЗ-^З =	О,
&21Х1	&22х2	"Т~ О23-^3 =	-0\|	(1.52)
&31Х1 ~Ь &32Х2 ~Ь &33Х3 ~ О-

Прежде всего отметим, что такая система всегда совместна, так

как имеет очевидное решение: хх	= 0, х 2 = 0, х3	= 0. Это решение
принято называть н у л е в ы м	р е ш е н и е м .	В связи с этим

в отношении системы линейных однородных уравнений ставится задача об установлении условий единственности нулевого решения

и, в	случае	неединственности,		об указании способа		нахождения
всех	ненулевых решений.**
Эта задача, так же, как и в общем случае системы линейных
уравнений,		решается путем	рассмотрения определителя системы
		D =	а 2 1	"12	а 1 3	(1.53)
		D =	а 2 1	а22	а23	(1.53)
			а3і	а32	азз

1.Определитель системы D ф 0. В этом случае по теореме Кра мера система имеет только одно решение, которым, очевидно, яв ляется нулевое решение. Отсюда следует: если система однород ных уравнений имеет ненулевые решения, то ее определитель равен нулю.

2.Определитель системы D = 0. Покажем, что в этом случае система (1.52) действительно имеет ненулевые решения, причем система эквивалентна либо системе из двух ее уравнений, либо одному уравнению. Для этого рассмотрим миноры всех .элементов матрицы системы (1.52). Возможны два случая: либо по крайней мере один из указанных миноров отличен от нуля, либо все миноры равны нулю.

*Если свободный член линейного уравнения отличен от нуля, то урав нение называется неоднородным.

**Решение системы называется ненулевым, если среди чисел, состав ляющих решение, имеется по крайней мере одно, отличное от нуля .

1) Пусть не равен нулю один из миноров определителя (1.53), например

42 = £ 0 .	(1.54)
31 а3 2

Покажем, что в этом случае система (1.52) эквивалентна системе , состоящей из первого и третьего ее уравнений:

й ц ^ І	~Ь Ч\2Х2 ~~Ь Аіз-*"3 = 0,				(1.55)
азіхі	~т~азгх2	~Ьаззхз	~	0

(системе двух линейных	уравнений с тремя			неизвестными). То, что
любое решение системы	(1.52)	является	решением системы (1.55),

очевидно. Покажем обратное, что любое решение системы (1.55) является решением системы (1.52). Для этого достаточно убедиться в том, что любое решение системы (1.55) является решением второго

уравнения системы			(1.52).
Найдем все решения системы (1.55). Будем рассматривать ее как
систему двух уравнений				с двумя		неизвестными — хх и х2:
			а11Х1	"Ь С112Х2 =			&13ХЗі
			аЗ\Х\	~Ь û3 2 ^2 ~			&33Х3-
Так как определителем этой системы является £>2 3 , и он не ра
вен нулю, то по теореме Крамера						при каждом произвольно				взятом
значении неизвестного х3,				она имеет единственное решение, которое,
учитывая, что
		a13xs	flu	—	x3D2u.	иц		агзХ3 —	X3^22 >
		АзЗ-^З	«32			Û2 1		Ct33X3
может быть		записано в виде
			Хі-		Х3		Ö2			(1.56)
			Хі-	D 23	Х3					(1.56)
				D 23
Таким образом, три числа: произвольно взятое значение неиз
вестного	х3	и вычисленные			по формулам			(1.56) соответствующие
значения	неизвестных хг			и х2 составляют				решение	системы	(1.55).

Различным значениям неизвестного х3 соответствуют различные решения системы (1.55).

Так как х3 можно придавать бесконечно много различных зна чений, то система (1.55) имеет бесконечно много решений. Решениям системы (1.55) можно придать более удобный вид, если перейти от

миноров к соответствующим алгебраическим			дополнениям
D	21	— Л,,; D 22 — ^22'^ D23 =	— Л.
	21

и вместо произвольного х3 ввести произвольное t по формуле

Л 23

Тогда будем иметь решения системы (1.55) в параметрической форме:

хх = A2Xt\ х2 = A22t\ х3 = A23t.

(1.57)

Каждому значению параметра t соответствует определенное ре шение системы (1.55), причем формулы (1.57) содержат все решения

этой системы.
Подставляя теперь выражения для хх,				х2	и х3 по формулам (1.57)
в левую	часть	второго	уравнения системы		(1.52) и учитывая, что
D = 0, будем иметь при любом значении				параметра t
а21Х1	Ф а22Х2 Ф а23Х3		= « 2 1 ^ 2 1 ^ Ф « 2 2 - ^ 2 2 ^ Ф « 2 3 ^ 2 3 ^ =
	=	(а21А21 ф а22А22 ф агзА23)		t = Dt = 0.

Таким образом, действительно, в рассматриваемом случае си стема уравнений (1.52) эквивалентна системе (1.55); все решения системы (1.52) определяются формулами (1.57). При t = 0 имеем, очевидно, нулевое решение. Придавая параметру t ненулевые зна

чения, будем получать		ненулевые решения системы	(1.52): так как
Л 23 ф 0, то при t	Ф 0	х3Ф 0.	одновременно
З а м е ч а н и е .	В	приведенных рассуждениях	одновременно

показан способ решения системы двух линейных уравнений с тремя неизвестными.

2) Пусть все миноры элементов матрицы системы (1.52) равны нулю. Покажем, что в этом случае система (1.52) эквивалентна од

ному из ее уравнений,	например,	первому
а11х1	+ а12х2 +	а13х3 = 0,	(1.58)

т. е. одному уравнению с тремя неизвестными. Для этого, очевидно, достаточно убедиться в том, что любое решение уравнения (1.58) является также решением второго и третьего уравнений системы (1.52).

Найдем все решения уравнения (1.58). Допустим, что а1г ф 0 (все коэффициенты при неизвестных не могут быть равны нулю). Тогда, рассматривая уравнение (1.58) как уравнение с одним не известным хх, находим, что при произвольно взятых значениях неизвестных х2 и х3 оно имеет единственное решение

		* і = —аі2~			—аізтг-			О - 5 9 )
			" i l			" i l
Таким образом, три числа: произвольно							взятые значения		неиз
вестных х2	и х3 и вычисленное по формуле						(1.59)	соответствующее
значение	неизвестного хх		составляют			решение		уравнения	(1.58).
Различным значениям неизвестных х2						и х3	соответствуют различ
ные решения уравнения (1.58).
Так как х2		и х3 можно придавать бесконечно много различных
значений,	то	уравнение	(1.58)	имеет		бесконечно много решений.

Решениям	уравнения (1.58)			можно		придать более удобный вид,
если вместо произвольных			х2	и х3	ввести другие произвольные ве
личины: и	и ѵ по формулам
			« 1 1			а і і
Тогда будем иметь решение уравнения (1.58) в параметрической
форме
	хг	--	—а12а		—	а13ѵ.
						(1.60)
	х2	=		а1гѵ

с двумя параметрами — и и ѵ. Каждой паре значений и и ѵ соот ветствует определенное решение уравнения (1.58), причем формулы (1.60) содержат все решения уравнения (1.58).

Подставляя выражения для хх, х2 и х3 по формулам (1.60) в ле вые части второго и третьего уравнений системы (1.52) и учитывая, что все миноры элементов матрицы системы (1.52) равны нулю,

будем иметь

при

любых

значениях

параметров

ѵ:

а21Хг

022*2

"Ь 023*3

Û21

( ~

a 1 2 U

а13Ѵ)

4 2

2 a l l U +

+ a23axlv

(а1га22

— а21а12)

и +

(а11а23

— а21а13)

ѵ = D33u

D 3 2 u =

а31хг

а32х2

+ а 3 3 х 3

а31

(— аХ2и

— ахзѵ)

a^a^u

+ а33ал1ѵ = ( а 1 а а 3 2

— а 3 1 а 1 2 ) и + ( а ц О з з — а 3 1 о і з ) ѵ =

= D 2 3 u + D22v = 0.

Таким образом, действительно, в рассматриваемом случае си стема уравнений (1.52) эквивалентна уравнению (1.58); все решения системы (1.52) определяются формулами (1.60). При и = ѵ = О имеем, очевидно, нулевое решение. Придавая параметрам и и ѵ ненулевые значения, будем получать ненулевые решения системы (1.52): так как а1Х ф 0, то при и ф 0 и ѵ ф 0. хг Ф 0, х3 ф 0.

З а м е ч а н и е . В приведенных рассуждениях одновременно показан способ решения одного линейного уравнения с тремя не известными.

Исследование системы линейных однородных уравнений про ведено для случая трех уравнений с тремя неизвестными. Анало гичные результаты имеют место и для общего случая системы п линейных однородных уравнений с п неизвестными. Не рассматри вая его, ограничимся лишь формулировкой соответствующих тео рем.

Теорема	1.	Для того чтобы система п		линейных	однородных
уравнений	с п	неизвестными имела	ненулевые	решения,	необходимо
и достаточно,		чтобы определитель	системы	был равен	нулю. При

этом	система	эквивалентна системе из		меньшего	числа ее	уравне
ний	и имеет	бесконечно много	решений.
В	полных	курсах высшей	алгебры	приводятся	также	способы

определения системы эквивалентной данной. При этом исходят из

понятия о

ранге матрицы.

Определение. Рангом

квадратной

матрицы

п-го

порядка

назы

вается

число

г такое,

что

среди

определителей

матриц

порядка

г,

получаемых

из данной

матрицы

вычеркиванием

п—г строк и п—г

столбцов,

имеется по

крайней

мере

один,

отличный

от нуля,

а все

определители

матриц

г +

1 порядка,

получаемых

аналогичным

об

разом

(следовательно

определители

матриц

более

высокого

по

рядка),

равны

нулю.

Имеет

место теорема.

Теорема 2.

Система

линейных

однородных

уравнений

не

известными

эквивалентна

системе

из

г ее уравнений,

где г — ранг

матрицы

системы.

Пример

Исследовать

решить систему

линейных

однородных

урав

нений

*і

—

* 2

2х 3

О,

2хг

— З х 2

+ х3

= О,

—• Xi -f- х2 — х3 = 0.

Вычисляем

определитель

системы

— 1

— 3

— 1

Так как D ф- 0, то система

имеет только одно решение — нулевое: хг

= 0 ,

ѵс2 = 0,

уравне

Пример 2. Исследовать и решить систему линейных однородных

ний

Зх1

+ 2 х 2 — х3

= 0,

* і —

х2 + 3 * з = 0,

х1 ~Ь х2 —• х3 ~ 0-

Вычисляем

определитель

системы

2 —

= 0.

Так как D = 0, то система имеет бесконечно много решений. Определяем ранг матрицы системы. Имеем

- 1	3\|
1	1 = — 2.

Так как D l x Ф 0, то ранг матрицы системы равен двум и, следовательно, система эквивалентна системе из двух ее уравнений.

Решаем систему, состоящую из второго и третьего уравнений, относи

тельно неизвестных х2	и х3
	— х2 - f Зх3		= — х и		\
	х2	х3	=	хх.	I
Определитель этой	системы Dlt	ф 0.		Значит, при произвольном хх си

стема имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера

	31		— 1	— Ху
- * і —	= - 2xlt	х3	1	— хх
	= - 2xlt	х3	— 2
			— 2

Придавая хг произвольные значения, по последним формулам находим соответствующие значения для х2 и х3. Если вместо произвольного хх ввести произвольное t по формуле

*= ^ - ,

—2

то получим решение системы в параметрической форме

%і = — 2t, хг = M, х3 = 2t,

или

хх — — t, х2 — 2і\ х3 — t.

1.10. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ С МАТРИЦАМИ.

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ

В начале главы было введено понятие о матрице как совокуп ности чисел, упорядоченной в виде прямоугольной таблицы, со стоящей из п строк и m столбцов. Далее была изучена числовая характеристика квадратной матрицы, называемая определителем матрицы.

Обратимся теперь к элементам матричного исчисления. В этом параграфе рассматриваются линейные операции с матрицами, к которым относятся сложение матриц и умножение матрицы на

число. Предварительно дадим определение равенства матриц.

Определение 1.

Две

матрицы

называются

равными,

если

они

имеют

одинаковое

число

строк,

одинаковое

число столбцов

если

равны

соответствующие

элементы

матриц.

Таким образом, равенство двух матриц А

|| aik || и

Jik i

состоящих из п строк и m столбцов, эквивалентно п-т

числовым

равенствам

aik =

bik

(1-61)

при і — 1, 2, . . . , п; k =

1, 2,

. . . , т. Например, равенство

двух

матриц

размера

3 x 2

Û11

^12

Ь1г

Ьгг

а 2 2

—

Ьгг

Ь%ч

« 3 1

û 3 2

Ь3г

Ьзг

эквивалентно шести

числовым

равенствам

а1Х

— Ьу

а , ,

1 21

Ь2 1 , а22

'22>

а31

— ^ЗІі а

3 2 —

Ь3

Сложение матриц

Действие сложения матриц определяется только Для матриц одного и того же размера, т. е. для матриц, имеющих одинаковое

число строк и одинаковое число столбцов.

Определение

Суммой А

В матриц

и В,

имеющих

одина

ковое число строк и одинаковое

число столбцов,

называется

матрица

С, каждый элемент ^которой равен сумме соответствующих

элемен

тов матриц

и В.

Таким образом,

если

" i l

bim

А =

Ctо л City

В =

bai

b%tn

*nl

"7l2

J n l

'/12

T O

feil

« 1 2

fel2

« I m

;

'Im

C = A + B

l21

fe,1

« 2 2

fe22

fe2

(1.62)

г п 1

fem

аn2

Jn1

fe„

Пример.

—

3 0

+ — 1

— 2

Очевидно,

что

сложение

матриц

обладает следующими свой

ствами: переместительным свойством

А+В

= В+А,

(1.63)

сочетательным

свойством

(А + В) + С=А

+ (В + С).

(1.64)

Справедливость свойств следует из того, что ими обладает действие сложения чисел.

Определение 3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом 0.

Очевидно, что сумма любой матрицы А с нулевой матрицей та кого же размера равна матрице А:

А + 0 = А.

(1.65)

Таким образом, нулевая матрица в алгебре матриц играет роль нуля в алгебре чисел.

Умножение матриц на число

Определение 4. Произведением АХ или КА матрицы А на число X называется матрица В, каждый элемент которой равен произве дению этого числа на соответствующий элемент матрицы А.

Таким	образом,			если
				41	012	Чт
				А =	а 2 2
					а 2 2
то					а,Л2	. . . а„
то				^а1г		Яа 2 2
				^а1г		Яа 2 2	I m
		В = Ы		= Л Х = \| І Х	а 2 і	ь 2 2	(1.66)
Пример	1.	Найти	произведение матрицы
				А =
на число X =		— 3.
В соответствии с			определением, имеем
				1	— 1	— 3	3
		В = %А = — 3 2			3 = — 6 -- 9
				0	4	0	-- 12

Умножение матриц на числа обладает следующими очевидными свойствами:

1. Распределительным свойством относительно числового и мат ричного множителей

(% +	ц) А = Ы	+	д.Л,	(1.67)
Я (Л	+ В) = Ы	+	IB.	(1.68)

2. Сочетательным свойством относительно числового множителя

К (цА)	=	А.	(1.69)
В равенствах (1.67) — (1.69)	А	и В означают матрицы,	а 'к и
и. — числа.

Транспонирование матриц

В матричном исчислении применяется операция, называемая транспонированием и состоящая в перестановке строк и столбцов. Матрица, полученная транспонированием матрицы Л, обозначается символом Л' . Таким образом, если

Л =	а 1 2	.	U l m
Л =	û 2 2		•
	û 2 2		•
1пХ	аЛ 2

то
	41	а 2 1	. . . а,ni
А'	»12	û 2 2	•	• ' G-n
Очевидно, что	а.	а2m		. . а„
Очевидно, что	(А')'	=	А.	(1.70)
	(А')'	=	А.	(1.70)

Пример 2. Транспонировать матрицу

1 — 1		3	0
2	1	4	5
0	— 1	—2	3

Имеем

А'

1.11. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Операция умножения матрицы А на матрицу В определяется

только для тех случаев, когда число столбцов матрицы

равно

числу строк

матрицы

В.

Определение

Произведением

AB матрицы

А размера п

X m

на

матрицу

размера

X р

называется

матрица С

размера

X р, каждый

элемент которой

cik

равен сумме

произведений

эле

ментов і-й строки

ап,

аі2,

. . . , аіт

матрицы

на соответствую

щие элементы

k-го

столбца

blk,

b2k,

. . . , bmk

матрицы

В,

т. е.

а!тЬ

(1.71)

Пример 1.

Умножить

матрицу

tmumk-

А =

на

матрицу

— 2

0 — 1

Так как матрица А имеет 3 столбца, а матрица В — три строки, то умноже ние матрицы А на матрицу В возможно; при этом произведением AB будет матрица С, состоящая из двух строк и четырех столбцов.

Вычисляем элементы матрицы С.

с ц = 2.1 + (

1) 0 + 0-2

с„ = 2 ( - 2) + ( - 1) 3 + 0 . ( - D = - 7 с , = 2 1 + ( - 1) ( - 1) + 0 - 0 = 3 с 1 4 = 2-1 + (— 1) 2 + 0 (— 1) = 0

		сц = (— 1) 1 + 1-0 + 3-2 = 5
		с м	=	(— 1) (— 2) +				1 - 3 +		3 (— 1) =			2
		с2а	= ( - 1) 1 + 1 ( - 1) + 3-0 = - 2
		с м	= (— 1) I + 1 - 2 + 3 ( - 1) = — 2.
Таким образом,					2	—7
			АВ		2	—7
			АВ		=		2
					5		2
	Заметим, что в данном примере						может идти речь только о произведении
AB	матрицы А на матрицу В; произведение матрицы В на матрицу А не имеет
смысла, так как число столбцов матрицы В не равно											числу строк матрицы А.
	Пример 2. Вычислить				произведения AB				и В А,		если
		А	=		1 — 1		и	В =	0	— 2
		А	=		2	1	и	В =	1		1
					2	1			1		1
		AB =		1	— 1		0	2		— 1		—3
		AB =		2	1		1	1		1		—3
				2	1		1	1		1		—3
		В А		0	—2		1	— 1		— 4		— 2
		В А		1	1		2	1			3		0
				1	1		2	1			3		0
	В данном	примере оба произведения AB							я В А имеют смысл, но
						AB	Ф	ВА.
	Из приведенных		примеров				заключаем,			что		умножение		матриц
не	обладает	переместительным					свойством. В				тех		случаях,	когда
AB	= ВА,	матрицы		А	и	В	называются				п е р е с т а н о в о ч
н ы м и . Например,				матрицы
		А			1	—2		и	В	2
		А			-2		1	и	В	1
					-2		1			1
перестановочны, так				как
					= ВА =			0	- — 3
					= ВА =			— 3		0
								— 3		0
	В связи	с тем, что умножение						матриц		не обладает перемести

тельным свойством, принято говорить об умножении данной мат рицы А на матрицу В слева и справа. Произведение А В называется

произведением матрицы А на				матрицу		В	справа, а произведение
ВА	— произведением		матрицы	А на матрицу В слева.
	З а м е ч а н и е .		Приведем	соображения,					лежащие	в	основе
правила умножения			матриц.
	Пусть, например, две переменные * ух						и у2		выражаются		через
другие, скажем, три переменные х1г					х2	и х3	с помощью формул
		Уі	ЬцХі	Ь\2х2			Ьлях л	3>
							13				(1.72)
		У*	ЪгхХу	Ь 2	2^-2	4~	^гз-^з-

	*	Мы исходим из интуитивного		представления о					переменной	величине,
как	о	величине, принимающей различные числовые							значения.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ