Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Представим определитель исходной матрицы разложенным по элементам второй строки. Тогда правая часть равенства (1.34) мо жет быть записана в виде

k (ü2XA2X	~Ь « 2 2 - ^ 2 2		«гзЛ2 з) = (ka2X) А21 + (ka22) А22 +
+ (ka23)	Л 2 3 .
Последнее		выражение по свойству 2 (теореме замещения) равно

определителю матрицы, получающейся из данной заменой элемен


тов второй строки на числа соответственно ka21,						ka22,	ka23,	т. е.
определителю, стоящему в левой части равенства						(1.34).		общий
З а м е ч а н и е .		Свойство 6 иногда			формулируют		так:
множитель всех элементов одной строки				(столбца)		можно выносить
за знак	определителя.
7. Определитель		матрицы,	у которой		все элементы		какой-либо
строки	(столбца) равны нулю,		равен	нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть, например, все элементы вто

рой строки матрицы третьего порядка равны нулю. Разлагая оп

ределитель матрицы				по элементам			этой	строки, получим
	« и	«12		«12	0А21		+ 0 Л 2 2		+ 0 Л 2 3 = 0
	О О О				0А21		+ 0 Л 2 2		+ 0 Л 2 3 = 0
	^31	^я	9.	^ :
		*32		"-33
З а м е ч а н и е .				Свойство 7 можно рассматривать как частный
случай свойства 6 при k =					0.
8.	Определитель		матрицы,			у	которой		соответствующие		эле
менты	двух строк	(столбцов)				пропорциональны,				равен нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о .						Пусть, например, в матрице третьего
порядка пропорциональны					элементы первой и третьей строк,						т. е.
	*31			киц,	а32	— kaX2,		а33	—	kaX3,
	*31

тогда, используя свойство 6, а затем свойство 5, будем иметь

а1Х	Ö12	«із	«11
«21 û2 2		«23 =	a2X
«зі	а32	«зз	kaxx

«12	«13	axx	«12	«13
«22	«23	= k «21	«22	«23 = 0
kaX2	kaxs	« n	«12	«13

9. Определитель			матрицы,	y	которой все элементы				какой-либо
строки	(столбца)	представляют			собой сумму		двух слагаемых, равен
сумме двух определителей матриц,						получаемых		из данной	матрицы
заменой	элементов	рассматриваемой				строки	(столбца) соответст
венно на первые и на вторые				слагаемые.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Пусть, например,				в матрице	третьего
порядка
	ап = ап-		аІ9	= а[2		+ а		13
	ап = ап-					"12'		13

Разлагая определитель этой матрицы по элементам первой строки

и используя свойство 2 (теорему замещения), будем иметь

12 *12

"13 I

"43

І 2 1

и22

fail

+ a n

R n

а ; 2

) л ! 2 +

а3і

г32

а зз

а'13Л 13

а'п Л

а 1 2 Л 1 2 +

аи

а ; 2

а і з

+ «21

а 2 2

а і з

+ а і з А з —

«21

а 2 2

а 2 3

û 2 3

ÛS1

а 3 2

а 33

ÛS1

а 3 2

а з з

10. Определитель

матрицы,

получающейся

из данной

прибавле

нием к элементам

какой-либо

строки

(столбца)

соответствующих

элементов другой

строки

(столбца),

умноженных

на

любой

общий

множитель,

равен

определителю

исходной

матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прибавим,

например,

элементам

первого столбца матрицы третьего порядка элементы третьего

столбца,	умноженные на число k. Тогда, используя свойство 9,
а затем	свойство 8, будем иметь

о п т	ka13	Û12	Oj.3
« 2 1 + ka23		û 2 2	° 2 3	=
a 3 i + ka33		û 3 2	а з з
+	ka13	a 1 2	« 1 3
	ka23	û 3 3	a 2 3	=
	ka33	a 3 2	ß 3 3

	a 1 2	Ois
	a 2 2	û 2 3	+
	û 3 2	a 3 3
a n	Û12	a i 3
^21	a 2 2	û 2 3
Û81	a 3 2	û 3 3

11. Сумма		произведений	элементов какой-либо строки	(столбца)
матрицы	на	алгебраические	дополнения элементов другой	строки
(столбца)	равна нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Рассмотрим, например, сумму про

изведений элементов первой строки матрицы третьего порядка на

алгебраические дополнения элементов	третьей строки:
a l l ^ 3 1 + a l2^32 ~Т~	#13^33-

По свойству 2 (теорема замещения) эта сумма равна определи телю матрицы, получающейся из данной заменой третьей строки

строкой из чисел а1Ъ а12,		а13,		т. е.		определителю
		ß n		a	i 2	а і з
		<221 Û22 ^23
		a	l	l	a l 2	ß13
Но этот	определитель,		имеющий две одинаковые строки, по
свойству 5	равен нулю.	Таким			образом,

a ll - ^31 ~Ь ^12^32 ~Ьa31^33 = 0.

1.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

В основе метода вычисления определителей высших порядков лежит свойство 1, по которому каждый определитель может быть представлен в виде суммы произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Благодаря этому свойству вычисление определителя я-го порядка сводится к вычис лению п определителей п—1 порядка. Объем вычислений может быть значительно сокращен при удачном выборе строки или столбца,

по элементам которых производится	разложение	определителя.
Так, если некоторые элементы строки	или столбца	равны нулю,

то, очевидно, что при вычислении определителя путем разложения его по элементам такой строки или такого столбца отпадает необ ходимость в вычислении соответствующих алгебраических допол нений. Имея это в виду, обычно, путем использования свойства 10, добиваются того, чтобы в одной из строк или в одном из столбцов оказалось как можно больше элементов, равных нулю. Вообще же при помощи свойства 10 можно в любой строке или в любом столбце получить все элементы, кроме одного, равными нулю, так что вы числение определителя я-го порядка можно свести к вычислению одного определителя п—1 порядка.

Пример 1. Вычислить	определитель	третьего порядка
		2	— 1
D	=	2	3
		•6	3

Прежде всего заметим, что элементы второго столбца имеют общий мно житель 2, а элементы третьей .строки — общий множитель 3. Поэтому, ис

пользуя свойство	6,	вынесем эти множители		за знак	определителя. Получим
				3	1
D =	2	1	= 2-3	— 5
				2	1

Прибавляя теперь третью строку к первой, будем иметь 0

D = 6

Ясно, что данный определитель целесообразно вычислять разложением по элементам первой строки, где всего один элемент отличен от нуля . Итак,

D = 6-5	1	3
D = 6-5	-	= 30-4 = 1 2 0 .
	— 1	1

Пример 2. Вычислить определитель пятого порядка

D =

Будем вычислять определитель разложением по элементам третьего столбца, в котором два элемента равны нулю. Можно в этом столбце полу чить еще два нулевых элемента, если ко второй и четвертой строкам приба вить пятую строку, умноженную соответственно на 3 и на — 4. Тогда полу чим, что

— 2	О	6	— 2
1	Ö	5	— 9
D = 3	О	5	3
2	О	— 6	18
О	— 1		— 4
Таким образом, будем иметь
	— 2		6	—2
D = ( — 1).(— 1 ) 5 + 3	1		5	—9
	3		5	3
	2		— 6	18

Д л я вычисления полученного определителя 4-го порядка прибавим к пер

вой, третьей и четвертой строкам		вторую строку,		умноженную соответственно
на 2, — 3, — 2. Получим
	0	23	16	— 20
D	1	8	5	— 9
D	0	— 20	— 10	30
	0	— 20	— 10	30
	0	— 23	— 16	36

Разлагая теперь определитель по элементам первого столбца, получим (вынося предварительно за знак определителя общий множитель — 10 у элементов третьей строки), что

;	23	16	—20
D = — 101	2	1 — 3
	23	— 16	36

Прибавляя к первой строке 3-ю строку, будем иметь

		0	0	16
D — —10 '		2		• 3
	— 23		16	36
	— 23
— 10-16-( — I) 1+3	2	-	=	— 160 ( — 32 + 23) = 1450.
	-23	-	16

1.7. ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ТРЕХ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

В § 2 с помощью определителей второго порядка была изучена система двух уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

011*1	+ 012*2	а13*3	=
^21*1	02 2*2	û23*3	=	(1.35)
а з і * і ~Ь #32*2		а зз*з	:	b3,

матрица которой

«ii	« 1 2	« 1 3	(1.36)
А = « 2 1	« 2 2	« 2 3	(1.36)
« 3 1	« 3 2	« 3 3

представляет собой квадратную матрицу 3-го порядка. Для исклю чения неизвестных х 2 и х3 умножим обе части первого, второго и третьего уравнений системы (1.35) соответственно на алгебраиче ские дополнения А1Х, Л2 1 , А31 элементов ахх,а2Х,азх матрицы (1.36), а затем произведем почленное сложение левых и правых частей по

лученных		равенств. В		результате	будем		иметь
( « 1 1 ^ 1 1	"Г	« 2 1 ^ 2 1	"Г" « 3 1 ^ 3l) %1 ~Р		( « 1 2 ^ 1 1		~t~	« 2 2 ^ 2 1	~\~ « 3 2 ^ Зі) -*"2 ~Ь
+ ( « і з ^ и		-г « 2 з ^ 2 і +		« з з ^ з і ) х3	=	М п	+	M a i	+ Ь3А31.	(1.37)
В равенстве			(1.37)	коэффициент		при	неизвестном хх,			равный
сумме	произведений			элементов	первого		столбца		матрицы	(1.36)

на их алгебраические дополнения, по свойству 1 определителей (теорема разложения) равен определителю этой матрицы (опреде лителю системы)

D	« 1 1	« 1 2	«13
D	а,21	« 2 2	« 2 3	(1.38)
	« 3 1	« 3 2	«33
			4
Коэффициенты же при неизвестных х 2 и х3,				равные суммам про

изведений соответственно элементов второго и третьего столбцов матрицы (1.36) на алгебраические дополнения элементов первого столбца, по свойству 11, равны нулю; наконец, свободный член, равный сумме произведений свободных членов системы Ьх, Ь2 и Ъ3 на алгебраические дополнения элементов первого столбца матрицы (1.36), по свойству 2 (теорема замещения) равен определителю мат рицы, получающейся из матрицы системы заменой первого столбца,

состоящего

из

коэффициентов

при

неизвестном

хх>

столбцом

из

свободных

членов.

Обозначая

этот

определитель

через

аХ2

û i 3

Ь2

« 2 2 « 2 3

(1.39)

получим

Dx,

Dx.

Аналогично,

действуя

с множителями Ах2,

А22,

А32

Ахз,

А з з , получим уравнения, содержащие по одному из остальных

неизвестных х2

и х3.

В результате будем иметь

систему

D-xx

Dx,

D-x2

D2,

(1.40)

D-x3

D3,

где D2 и D3— определители матриц, получающихся из матрицы (1.36) заменой соответственно второго и третьего столбцов на стол бец из свободных членов:

" и	Ь і	ахз	(1.41)
а 2 і	b2	a23	(1.41)
#•>,	èo	a
a n	ai		(1.42)
			(1.42)
*31	4 32

Так же, как и в случае системы двух уравнений с двумя неизвест ными, системы уравнений (1.35) и полученная из нее (1.40) вообще говоря, не эквивалентны. Однако имеет место лемма, доказательство которой дословно повторяет рассуждения, приведенные при до казательстве аналогичной леммы в случае системы двух уравнений.

Лемма. Всякое решение системы	уравнений (1.35)	является
также решением системы уравнений	(1.40).

Таким образом, все решения системы (1.35) находятся среди ре шений системы (1.40). В частности, если система (1.40) имеет только одно решение, то оно может быть лишь единственным решением системы (1.35), и если система (1.40) не имеет решений, то и система (1.35) тоже не имеет решений.

Приступая теперь к	исследованию	системы	уравнений (1.35),
так же, как и в случае	системы двух уравнений		с двумя неизвест
ными, рассмотрим два возможных случая: либо определитель D
системы отличен от нуля, либо он равен нулю.
1. D Ф 0. В этом случае система уравнений (1.40) имеет единст
венное решение
D	D	D	(1.43)

Следовательно, по лемме, система (1.35) либо имеет только одно решение, именно (1.43), либо не имеет решений. Непосредственной подстановкой значений неизвестных по формулам (1.43) в систему (1.35) убеждаемся, что они являются решением этой системы. На пример, подставляя в первое уравнение системы (1.35), получим

D	A L	- ^ - = — ( Я ц £ > і + a 1 2 D 2	+	a13D3)
D	D
D [ f l u ( М п + M 2 1 + b3A31) + a 1 2 ( M 1 2 + M 2 s
b3A32)	+ a 1 3 ( M i s + M a s + M e s ) ] = —		làt	(axxAlx

- f a12A12 +	fliHij)	+Ь2(ацАг1-\-а1гАю	+ а1яАю) +
+ b3 (аиАя1	+ a12A32	+ a13A33)] = -j-b1D = bx.

Таким образом, при D Ф 0 система (1.35) совместна и имеет единственное решение (система определенна). Это решение при помощи определителей может быть записано в виде

	«12	«13			Ьі	«13
ь3	«22	«23		«21	ь2	«23
ь3		« з з	V	«31	Ьз	Û33
а и		>	Л 2	«11	«12	«13
а и	« 1 2	«13		«11	«12	«13
« 2 1	«22	«23		«21	«22	а 2 з
«31	«32	«33		«31	«32	«33
		« и	«12	Ьі
		«21	.«22	h
		«31	«32	h		(1.44)
		«11	«12	«13		(1.44)
		«11	«12	«13
		«21	«22	«23
		Ö31	«32	Ö33

Полученный результат, как и для системы двух уравнений, является частным случаем теоремы Крамера применительно к си стеме трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

2.	D — 0. Обращаемся к определителям Dx,	D2, D3.
1)	Хотя бы один из определителей Dx, D2,	D3 отличен от нуля.

В этом случае система (1.40) несовместна, так как одно из уравне ний (именно то, у которого правая часть не равна нулю) не может быть удовлетворено никаким значением неизвестного. Следова тельно, по лемме и система (1.35) несовместна.

2) Все определители Dx, D2 и D3 равны нулю. В этом случае система уравнений (1.35) либо совместна, но имеет бесконечно много решений (система неопределенна), либо она несовместна. Это ут верждение принимаем без доказательства. Отметим лишь, что в случае совместности системы, она эквивалентна либо двум либо даже одному из ее уравнений.

З а м е ч а н и е .	Из	изложенного следует, что системы урав
нений (1.35) и (1.40)	эквивалентны только в том случае, когда оп
ределитель системы (1.35) отличен от нуля.
Пример 1. Исследовать		и решить	систему уравнений
	хх	+ 2*2 —	х3	=	1,
		х2 -f-	3*3	=	— 7,
	— Хх	~f~ 3*2 —	-^З = =		— 2.

Вычисляем

определитель

системы

1 2 — 1

17.

• 1

Определитель системы отличен от нуля . Следовательно, система сов

местна и имеет единственное решение,

определяемое

формулами

Крамера

(1.44). Вычисляем

определители

D 1 (

— 1

- 1 7 ;

D 2

— 7

3 =

17;

— 2

— 1

34.

Таким образом,

• 1

—

— 17

l ;

= — 2.

— 17

Пример 2.

Исследовать

систему

уравнений

2д^£ ——|

х2

— Зхз

Хі

— Х 2

— 2хд — 4,

З х 2

~Ь -^з

— 7.

Вычисляем

определитель

системы

—3

—2 =

Определ итель системы

равен нулю. Обращаемся

определителям

D x

D 2 и D 3

—31

— 1

50.

-7

Определители

D2 и D 3

можно уже

не вычислять, так

как из того, что

D j

отличен от нуля,

следует,

что

система

несовместна.

1.8.СИСТЕМА п Л И Н Е Й Н Ы Х УРАВНЕНИЙ С п НЕИЗВЕСТНЫМИ .

ТЕОРЕМА КРАМЕРА

Рассуждения, приведенные при исследовании системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, полностью применимы и к общему случаю системы п линейных уравнений с п неизвест ными:

Я ц ^ І	~Г ^12^2
	Û 2 %Х 2	Ь	(1.45)
			(1.45)
a à l X l	"Т" ап2Х2	Н~

матрица которой

а11	а12	. . аIn
^21 ^"22		l2n	(1.46)
			(1.46)
а„,	а„
*ЛІ "n2 •

Из системы (1.45) методом исключения выводится система урав

нений,	каждое	из которых содержит только	одно из неизвестных
хх, х2,	. . . -, хп.	Для получения уравнения,	содержащего только

одно неизвестное xk (k = 1, 2, . . . , п), следует обе части первого, второго, . . . , я-го уравнения системы (1.45) умножить соответст венно на алгебраические дополнения Axk, А2к, . . . , Ank элемен тов k-ro столбца матрицы (1.46) и произвести почленное сложение левых и правых частей полученных равенств. Таким образом по

лучается	система уравнений
		Dxx	=	Dlt
		Dx2	= D2,			(1.47)
						(1.47)
		Dxn = Dn,
где D	определитель	системы уравнений (1.45)
		la,,	a,,	. . .	a.
		11 "12			l2n
	D	^21 ^22			l2n	(1.48)
	D	^21 ^22				(1.48)
		anl	an2	• • •	unn

a Dx, D2, . . . , Dn —определители матриц, получающихся из матрицы (1.46) заменой соответственно первого, второго, . . . , п-го столбца на столбец из свободных членов системы уравнений (1.45)

	Ьх	аХ2	Чп		а 11	Ь2	а13 • •		• а1п
Dx	Ьх	а22	12п	D,	і2Х	Ь2	а	23	4
Dx				D,				23	2п
		*п2	'ПП		а„і	Ьп	ап3
		*п2	'ПП
			a i i
			а		"2п—\				(1.49)
			- 21		"2п—\
			- 21
			ni	п2	апп-1		Ьп
В отношении данной системы уравнений (1.45) и полученной из
нее системы (1.47) справедлива следующая лемма:
Лемма.	Всякое		решение	системы уравнений					(1.45) является
также решением системы (1.47).
Далее	следует		рассмотреть	два	случая:

1. Определитель D системы (1.45) отличен от нуля. В этом слу чае система уравнений (1.47) имеет единственное решение

хл =	£і_	у _ A L	у =	£п	(1.50)
хл =	D '	D ' ' '	П	D

и, следовательно, по лемме система (1.45) либо имеет только одно решение, именно (1.50), либо совсем не имеет решений. Непосредст венной подстановкой значений неизвестных по формулам (1.50) в систему (1.45) убеждаемся, что они являются решением этой си стемы. Таким образом, при D Ф 0 система (1.45) совместна и имеет единственное решение (система определенна). Это решение при по мощи определителей может быть записано в виде

a12

. • aln

Ь,

«13

« m

0-22

• • а2П

a 2 i

«гз

Хі-

&П2

• •

ann

an3

a u

• aln

« 1 2

•

« 1 2

« 1 Л

° 2 1

a 2 2

•

a2tl

аП2 • • • ann

22X

• • a2n-\

ann-\

n2 • '

(1.51)

° 1 1

« 1 2

« i r a

« 2 1

« 2 2

« 2 Я

a„

Полученный результат представляет собой теорему

Крамера

для системы п линейных уравнений с п неизвестными.

Теорема Крамера. Если

определитель

системы

п линейных

урав

нений

с п неизвестными

отличен

от нуля,

то система

совместна

имеет

единственное

решение

(система

определенна).

этом

реше

нии каждое неизвестное

1, 2,

. . . , п)

равно дроби,

знаме

нателем

которой

является

определитель

системы,

а числителем

—

определитель

матрицы,

получающейся

из

матрицы

системы

заме

ной k-го столбца

на

столбец

из свободных

членов.

Определитель

системы

D = 0.

этом

случае

обращаемся

к определителям Dlt

D2.

. . . , Dn.

1) Если хотя бы один из определителей Dlt

D2,

. . . , Dn

отли

чен от нуля, то система уравнений (1.45) несовместна,

так как при

этом одно из уравнений

системы (1.47) (именно то, у которого пра

вая часть не равна нулю) не может быть удовлетворено

никаким

значением неизвестного.

2) Если все определители Dlf

D2,

. . . ,

D „

равны

нулю,

то

система

уравнений

(1.45)

либо

совместна,

но

имеет

бесконечно

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ