Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

т. е. одному уравнению с двумя неизвестными. То, что любое ре шение системы (1.9) является решением уравнения (1.19), очевидно (уравнение (1.19) является одним из уравнений системы (1.9)). По кажем обратное: любое решение уравнения (1.19) является реше нием системы (1.9). Для этого достаточно убедиться в том, что лю бое решение этого уравнения является решением второго уравне ния системы (1.9). Найдем все решения уравнения (1.19). Допустим, что а1Х Ф 0 (оба коэффициента при неизвестных не могут быть равны нулю, так как в этом случае нет уравнения). Тогда, рассмат

ривая уравнение (1.19) как уравнение с одним	неизвестным	хх,
находим, что при произвольно взятом значении	неизвестного	х2
оно имеет единственное решение
*х = ^ - а 1 2 - ^ .	(1.20)

Таким образом, два числа: произвольно взятое значение неиз вестного х 2 и вычисленное по формуле (1.20) соответствующее зна чение неизвестного хх, составляют решение уравнения (1.19). Раз личным значениям неизвестного х2 соответствуют различные реше ния уравнения (1.19).

Так как х2 можно придавать бесконечно много различных зна чений, то уравнение (1.19) имеет бесконечно много решений. Ре шениям уравнения (1.19) можно придать более удобный вид, если

вместо произвольного х2 ввести произвольное		t по формуле
/ =
Тогда получим решения в так называемой		п а р а м е т р и ч е
с к о й ф о р м е
* і = ^ -	а і 2 * .	(1-21)
" i l

Х2 — Q-Xxt,

где величина t называется параметром. Каждому значению t со ответствует определенное решение уравнения (1.19), причем фор мулы (1.21) содержат все решения этого уравнения.

Подставляя	теперь	выражения	для хх и х2 по формулам (1.21)
в левую часть	второго	уравнения	системы (1.9) и учитывая, что,

по условию, определители (1.14) равны нулю, будем иметь при лю бом значении параметра t

^21^1	Г ^22^-2 — ^21 \~Z	^12H	I ^11^12'
+	(^11022 —021012) t=	~ P ä +	a i l b 2 + Dt= Ъ2.

Таким образом, в рассматриваемом случае система уравнений (1.9) совместна, но неопределенна; она имеет бесконечно много ре шений. Решения системы при аХ1 =f= 0 определяются формулой (1.20) при произвольных значениях х 2 или формулами (1.21) при произвольных значениях параметра t.

З а м е ч а н и е 1. В приведенных рассуждениях одновре менно показан способ решения одного линейного уравнения с двумя неизвестными.

З а м е ч а н и е

Из изложенного

следует,

что системы (1.9)

и (1.15) эквивалентны только в том случае,

когда определитель

системы (1.9) отличен от нуля.

Пример 1.

Исследовать

систему

3*! +

Х2

)

хг

2 х 2

и в случае ее совместности

найти

все решения

системы.

Вычисляем

определители

D, Dx

и D2

D =

14;

= 35.

—2

Так как определитель системы D отличен

от нуля,

то система

совместна

определенна

(имеет единственное

решение).

Решение

системы находим по

правилу Крамера

_ - 1 4

_ о .

3 5

- 7

Пример 2.

Исследовать

систему

2хі — 3*2 =

— 1, Ч

— 6*! +

9 х 2 =

в случае совместности

найти все ее

решения.

Вычисляем

определители

Dïy

D ,

— 3

D =

0; D j

= 0; D 2

— 6

Все определители равны нулю. Следовательно, система совместна, но неопределенна (имеет бесконечно много решений). В этом случае система эквивалентна одному уравнению, например, первому

— З х 2 — — 1 •

Задавая, например, неизвестному х2 произвольное значение, из указан ного уравнения находим соответствующие значения для неизвестного хх:

Зх2 — 1

		Z		•
Например,	при хг = 0, х1	при		хг	Хі= — 2; при х% = •—
І ! = 0 H 7.	Д.
Пример	3. Исследовать	систему
		+ 5Х2	= 3 ,		I
		2хг + 10*2	=	— 1.	J

Вычисляем определители D , Dlt			D2
1	5	3	5	1	3
D =	=	0; Dx =	=	35; D9	= —7.
2	10	— 1	10	2	— 1
Так как определитель системы D			0, а определители		D j и D 2 отличны
от нуля, то	система	несовместна.
	1.3.	ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ	ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка
		а1х	«12	«13
		А =	«22	«23	(1.22)
		а3і	а32	«зз

Если в этой матрице вычеркнуть любую строку и любой столбец, то оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу второго порядка. Очевидно, что из квадратной матрицы третьего порядка указанным способом могут быть получены девять квадратных мат

риц второго

порядка.

Определение

\. Минором

элемента

аік

матрицы

третьего

по

рока

называется

определитель

матрицы

второго порядка,

полу

чающейся

из данной

матрицы

вычеркиванием

і-й

строки

k-го,

столбца,

т.

е. строки

и столбца,

на

пересечении

которых

нахо

дится

этот

элемент.

Минор

элемента

aik

обозначается

символом

Dik.

Например,

минором

элемента

а12

матрицы

(1.22)

является

определитель

« 2 і

«23

«31

«33

а минором

элемента

а23

— определитель

«11

а12

a31

a32

Определение

Алгебраическим

дополнением

элемента

aik

мат

рицы

третьего

порядка

называется

число,

равное произведению

ми

нора

этого

элемента

на (—

\ ) l + k .

Алгебраическое

дополнение элемента обозначается

так же, как

и сам элемент,

но с заменой

строчной

буквы на заглавную. Таким

образом,

по определению,

алгебраическое

дополнение элемента aik

Aik

(~\)i+kDik.

(1.23)

Пример 1. Вычислить

алгебраические

дополнения

элементов

матрицы

3 — 1

А —

• 3 — 1

Имеем
A i = ( - 1 ) 2		2 1		Л 1 2 = ( - 1 ) 3				О	1	— 3:
A i = ( - 1 ) 2	-	1 О		Л 1 2 = ( - 1 ) 3			— 3		О	— 3:
	-	1 О					— 3		О
л м = ( - і ) 4	О	2	6;	Л 2 1	= ( - 1 ) 3			3 — I i		= 1;
— 3 — 1							— 1		о
Л И = ( - 1 ) *		— 1	= — 3 ;	Л 2	з = ( - 1 ) 5			1	3
		О						— 3	— 1
А31 = (-!)<			= 5;	Ап	=	(-1)	1	— 1
А31 = (-!)<			= 5;	Ап	=	(-1)	О		1
							О		1
			= ( - 1 ) е	1	3	= 2.
			= ( - 1 ) е	О	2	= 2.
З а м е ч а н и е .	Можно говорить также о минорах и соответст

венно алгебраических дополнениях элементов матрицы второго порядка, если под определителем матрицы, состоящей из одного элемента (матрицы первого порядка), понимать число, равное этому

элементу.
Определение 3. Определителем	матрицы третьего порядка
"11	"12	"13
А ~ ^21	^22	^23
а 3 1	а 3 2	а 3 3

(определителем третьего порядка) называется число, равное сумме произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраи ческие дополнения и обозначаемое символом

				а11	а12	а13
				&21	^22	^23
				а31	а32	а33
Таким образом,		по определению,
а,,	а"1	9	а
11		2	"13	а і И і і		+al2A12	+alsAls	(1.24)
^21			^23	а і И і і		+al2A12	+alsAls	(1.24)
^31	*32 &"33

Если в формулу (1.24) подставить выражения алгебраических дополнений через элементы матрицы, то получим

Ч і	"12	*13
		Z 23 - # ц о 2 2 а з з ! a 2 i û 3 2 a i 3 I ^ з і ^ і г ^ г з	° з і а 2 2 а і з
*31	4 32	"33
		û lla 32a 23 а21%2а33-	(1.25)

В курсах высшей алгебры формула (1.25) принимается в ка честве определения определителя третьего порядка. В этой формуле шесть слагаемых, причем каждое из них является произведением

трех элементов матрицы: по одному из каждой строки и из каждого столбца; три слагаемых входят со знаком «+» и три со знаком «—».

Для облегчения запоминания формулы (1.25) рекомендуется пользоваться следующим правилом: одно слагаемое, входящее со знаком «+», представляет собой произведение элементов главной диагонали, другие два слагаемых — произведения элементов, рас положенных в вершинах треугольников с основаниями, параллель ными этой диагонали. Аналогично для слагаемых, входящих со знаком «—»: одно из них представляет собой произведение элемен тов побочной диагонали, а другие два — произведения элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, парал лельными этой диагонали.

Схематически это правило, называемое правилом треугольни ков, может быть изображено следующим образом:

Пример 2. Вычислить определитель

1— 1 2

11 •2 3

Пользуясь		правилом треугольников,			будем иметь
1 — 1 2
- 3	1	1 =	і - і - 3 - 4 - ( — 1)( —	1 > І - Ь 2 <		— 3)( — 2) — ( —	1)1 - 2 -
— 1	—2	3
-	1 ( - 2 ) .		3-( — 3) - ( — 1) =	3 +	1 +	12 + 2 + 2 — 9 =	11.

1.4.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Определители высших порядков, т. е. четвертого, пятого и т. д., будем определять с помощью определителей меньшего порядка,, точно так, как был определен определитель третьего порядка с по-

мощью определителей второго порядка. Так, рассматривая мат рицу 4-го порядка

		а21	«12	Û18	Ö14
		а21	«2 2		ß 2 4				(1.26)
		а3і а32		а з з а 3 4					(1.26)
		а3і а32		а з з а 3 4
		а 4 1	а 4 2	«4 3	а 44
вводим понятия минора и алгебраического						дополнения	произволь
ного элемента aik		этой матрицы,	как, соответственно, определителя
Dik	матрицы 3-го порядка, получающейся					вычеркиванием		строки
и столбца, на пересечении которых находится этот элемент,								и числа
Aik,	равного произведению минора			Dik	на	(— \ ) 1 + к .	Тогда		опре
делителем D (А)		матрицы (1.26) 4-го порядка, (определителем							4-го

порядка) будем называть число, равное сумме произведений эле

ментов первой	строки матрицы на их алгебраические дополнения,
т. е.		fln^n + а12А12
D (А) =		fln^n + а12А12	+ а13А13	+	а и А и .
Аналогично,	с	помощью определителей		4-го	порядка опреде

ляется определитель 5-го порядка, с помощью определителей 5-го

порядка — определитель	6-го	порядка		и т. д.
В общем случае, предполагая известным определитель п—1 по
рядка, вводим понятия минора Dik			и алгебраического		дополнения
Dik элемента аік матрицы	/г-го порядка
	ах1	аХ2		"In
	û o i	ö 2	2	а2п	(1.27)
	"ni	ап

Определение

Минором

элемента аік

матрицы

п~го

порядка

называется

определитель матрицы

п—1 порядка,

получающейся

из данной

матрицы

вычеркиванием

1-й строки

и k-го столбца,

т. е.

строки и столбца,

на пересечении

которых

находится

этот

элемент.

Определение 2.

Алгебраическим

дополнением элемента aik

мат

рицы

п-го

порядка

называется

число, равное

произведению

минора

этого

элемента

на

т.

е.

Aik

(-\)i+kDik.

(1.28)

Определение

Определителем

матрицы

п-го

порядка

а и

ахг

Чп

Û21

^22

12п

(определителем п-го порядка) называется число, равное сумме произ ведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения и обозначаемое символом

						42
							. . .	а 2п
						ап1 ап2	• • •	ап
Таким		образом, по определению,
а11	а12	•	•	•	а1п
а21	а22	•	•	•	а2п	І і И п +	Cl12Alt		+	+ а1пА1п.	(1.29)
						І і И п +	Cl12Alt		+	+ а1пА1п.	(1.29)

а„Л а„ . . . а„

Как видно, определитель матрицы я-го порядка определяется через п определителей п—1 порядка, каждый из них определяется через я—1 определитель я—2 порядка и т. д. Доводя это разложе ние до определителей 2-го порядка и вычисляя их, получим, что определитель я-го порядка представляет собой алгебраическую сумму я (я—1) . . . 2-1 = я! слагаемых. Каждое слагаемое, взя тое с определенным знаком, является произведением я элементов матрицы по одному элементу из каждой строки и каждого столбца.

В курсах высшей алгебры это представление определителя я-го порядка обычно и принимается за его определение.

1.5.ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Вычисление определителей высших порядков, исходя непосредст венно из определения, представляет весьма трудоемкую работу. Так, при вычислении, например, определители 5-го порядка тре

буется	вычислить 5! =	120 произведений из пяти чисел и	сложить
их, а	при вычислении	определителя 10-го порядка 10! =	3 628 800
произведений из 10 чисел и тоже найти их сумму.
В связи с этим, при вычислении определителей высших			порядков

широко используются их свойства. Оказывается, что определители всех порядков обладают рядом общих свойств.

Так как для доказательства этих свойств в общем случае опре делителей я-го порядка требуются некоторые дополнительные све дения, не входящие в программу курса высшей математики для втуза, мы ограничимся доказательством их для определителей 3-го порядка.*

* Желающие могут ознакомиться с полной теорией определителей по любому курсу высшей алгебры, например, по книге. А. Г. Куроша «Курс высшей алгебры».

1. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на их алгебраические дополнения.

Так, для определителя 3-го порядка

	D	а11	а 12 аіз
	D	ß-21 ^22 ^23
		tZq,	Clot)	ûoo
имеют место 6 равенств
D	=--•	û 12^4 12		f-	а13А1Я,
D =- û 21^21		û 2 2-"4 2 2 ~О-гз^ 23і
D	= û 31^31 H a 3 2^3 2 "T а33А33,					(1.30)
D	=	а 2 іЛ 21			а31А31,
D = a 12^ 12		а22^4 22		Г	Û32^32>
D = а 13^ 13		a23A 23			а з з ^ з з -
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Первое из			указанных	равенств до

казывать не надо, так как оно представляет собой определение оп ределителя 3-го порядка. Справедливость остальных пяти равенств легко устанавливается единообразно, если воспользоваться фор мулой (1.25).

Докажем, например, третье равенство. Группируя в формуле (1.25) члены, содержащие элементы а31, а32, а33, получим

D = а31 ( а 1 2 а 2 3 — а22а13) + а 3 2 (а2і<2із — а23а1х) + а 3 3 (а1га22 —

Но

а 12^23	Ö 2 2 a l 3	=
u 2 1 ß 1 3	ß 2 3 ß l l	=
ö l l ä 2 8	ß 2 1 a l 2	=

^31>

^ 3 2 '

^33>

следовательно,

D = а з і ^ з і ~г

a32A32

^33^3 3

З а м е ч а н и е .

Свойство

1 иногда называют

теоремой

разло

жения,

а равенства

вида

(1.30) — формулами

разложения

опреде

лителя

по элементам

соответствующей строки

или столбца.

2. Сумма

произведений

алгебраических

дополнений

элементов

какой-либо строки или

какого-либо столбца

матрицы

на

любые

числа соответственно

qlt

q2, q3

. . . равна

определителю

матрицы,

получающейся

из данной

заменой рассматриваемых

элементов

со

ответственно

на числа

q2,

q3 . . .

Г ее . публичная

научно - тэх;-4и і« х.гя -

2 Заказ № 146

библиотека

С Ш с Р

Э К З Е М П Л Я Р

ЧИТАЛЬНОГО З А Л А і

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим,

например,

алгебраи

ческие дополнения Л 2

1 , А 2 2

и Л2 3

элементов второй строки матрицы

3-го

порядка

alx

а12

і з

Û21 ^22 ^23

^31

^3 2

^33

и покажем,

что при

любых

qlt

q2,

а1Х

а 1 2

ахз

(1.31)

92-^22 ~f~

Чз^23

<7і

Чг

Чз

а 31

а 3 2

азз

Разлагая определитель, стоящий в правой части равенства (1.31)

по элементам второй

строки, получим

i l

а19

а.

~Чі (аі2азз

а 32а із)

~г Чч ( а и а з з

а з і а і з )

Чі

Чз

а31

ИЗ (а 11а 32

а 3 і а і г )

—

<71-^21 ~Ь ^2^22

9з^23-

З а м е ч а н и е .

Свойство

иногда

называют

теоремой

замещения.

Определитель

матрицы,

получающейся

из данной перестанов

кой каждой

строки

на место столбца

с тем

же номером,

равен

оп

ределителю

исходной

матрицы.

Для определителя

третьего

порядка

это свойство

означает,

что

а-і 1 ах%

"13

ll^l- i "21i ^2i"31^з

a 9

а у су

(1.32)

*22

^23

'12

"22

432

0-32 ß33

а13

°23 a33

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Разложим определители,

стоящие

в левой и правой частях равенства (1.32), например, по элементам второй строки и второго столбца соответственно.

Для левого			определителя	будем иметь
" и Ö12 а
«21 а22		а	а 21 (^іг^ЗЗ	й 32а із)	~Ь а 22 ( û li a 33	а 310 1з)
«31 а32		а
			— й2 з ( а іі а 32		й з і а і г ) )
а для	правого
I " и Û21 азі			= —а 2 1 ( а 1 2 а 3 3	— Яіза зг) + а 22 ( а и а з з — а і з а з і )
&12	^22	^32	= —а 2 1 ( а 1 2 а 3 3	— Яіза зг) + а 22 ( а и а з з — а і з а з і )
ûl3	^23	а 33	а23 (а11й32		#12а 3і)'
			а23 (а11й32		#12а 3і)'

Из сравнения правых частей двух последних равенств видно, что

определители равны.

4. Определитель

матрицы,

получающейся

из данной

перестанов

кой двух строк

(столбцов),

равен определителю

исходной

матрицы,

взятому

с противоположным

знаком.

Доказательство. Пусть, например, в матрице третьего порядка

переставлены

первая

и третья

строки. Покажем,

что

О Н

« 1 2

« 1 3

«31

«32

« 3 3

(1.33)

« 2 1

« 2 2

« 2 3

« 2 1

« 2 2

« 2 3

«31

« 3 2

« 3 3

« 1 1

Û12

« 1 3

Разлагая определитель, стоящий в левой части равенства (1.33)

по элементам

первой

строки,

получим

Й П Л п

а12А12

+ « і з ^ і з

Разлагая же определитель, стоящий в правой части равенства,

по

элементам

третьей

строки,

получим

« 3 1

« 3 2

« 3 3

« 2 1

« 2 2

« 2 3

— « 1 1

( « 3 2 « 2 3

« 2 2 « 3 з )

« 1 2

( « 3 1 « 2 3

« 2 1«3з)

« 1 1

« 1 2

«!

+ als

(а31а22

— а21а32)

аХ1

( - Л п

) — а12А12

+ а13

(— А13)

= — ( « і И і і + « 1 2 ^ 1 2 +

а13А13),

т.е. то же выражение, но с противоположным знаком.

5.Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки

(столбца), равен нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть D — определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки. Если эти строки переставить, то очевидно, что матрица не изменится, и следовательно, ее опреде»

литель будет равен D. С другой					стороны,		по свойству 4			определи
тель	полученной матрицы		должен			быть	р а в е н — D . Имеем D				=
-= — D, откуда D =		0.
6.	Определитель матрицы,			получающейся				из данной		умноже
нием	всех элементов	какой-нибудь				строки	(столбца)		на	одно и	то
же число, равен произведению				определителя исходной					матрицы		на
это	число.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Умножим,			например,		все	элементы
второй строки матрицы третьего порядка							на	число	k и	покажем,
что
	« 1 1	« 1 2	« 1 3			« i l « 1 2 « 1 3
	&«21	ka22	ka23		=	k Ö21	« 2 2	« 2 3		(1.34)
	Û31	« 3 2	« 3 3			« 3 1	« 3 2	« 3 3

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ