Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

Как мы видели, функция sin а эквивалентна бесконечно малой а; функция In (1 + z) эквивалентна бесконечно малой z. На этом ос новании вычисляются следующие пределы:

1)	\ ш ^ - =	\\т^-	= 2
			(здесь а = 2х);
2)	lim (х sin — У - l i m (я — ) - 3
	х I	х-хх>\	х

^здесь а — ~ ^ ;

о ч

о)

,•	sin 2х	,. 2х
l i m	— u r n —		=
x-rO	In (1 - f 5х)	x ->о	5х

—

(здесь а = 2х, z — bx).

Теорема 2. Для того				чтобы		функции		а (х)	и ß (х)	бь/л«	п/ш
x -> а	эквивалентными		бесконечно			малыми,		необходимо и		достаточно,
чтобы	разность	а—ß	ббгла бесконечно				малой более высокого порядка,
чем а	илм ß.
Д о к а з а т е л ь с т в о					н е о б х о д и м о с т и .					Пусть а и ß
при x	а являются		эквивалентными бесконечно малыми.								Тогда
		Hm EL=LË.= lim/'i
		х-.а	а		х - г а \		а	)
		l i m ^ = l i m ( - ? - - l ) = 0 ,
		х-> a		ß	х^	а \	ß	/
откуда	следует,	что а — ß является					бесконечно		малой	более	высо
кого порядка, чем а и р .
Д о к а з а т е л ь с т в о					д о с т а т о ч н о с т и .					Пусть	раз

ность а—ß является бесконечно малой более высокого порядка,

чем,	например,	а;	тогда l i m - — — = 0 или			lim/1	—) = 1 —
			х^а	а	х->а\		а I
— l i m — - = 0 , откуда			lim — =	1, т. е. а	и	ß — эквивалентные
х-уа	а		х-*а а			^
бесконечно малые.
С	понятием	эквивалентности		бесконечно	малых, и в частности

с последней теоремой, связан в известном смысле вопрос о прибли

женном выражении одной функции посредством			другой.	Пусть
функции а (х) и ß (х) являются		при х -> а эквивалентными		беско
нечно малыми. Положим приближенно
	a ( x ) ^ ß ( x ) .		•	(6.20)
Имеем lim (a—ß) =	lim а — lim ß — 0, откуда		следует, что
x УО.	x < д	x -у а

абсолютная погрешность | а — ß | приближенного равенства (6.20) стремится к нулю при приближении х к а. Однако «качество» при ближения оценивается, как известно, не по абсолютной, а по о т -

170

н о с и т е л ь н о й погрешности. Относительная погрешность при ближенного равенства (6.20) равна

Iс

ив силу теоремы 2 тоже стремится к пулю при х -> а. Следова тельно, для значений х, достаточно близких к а, приближенное равенство (6.20) будет осуществляться со сколь угодно большой относительной точностью. Таким образом, приходим к следую


щему выводу:		если	функции	а (х) и ß (х) при х			а являются эк
вивалентными		бесконечно малыми,			то для	значений х,		достаточно
близких	к а, любую		из этих	функций	можно	приближенно		заменить
другой	со сколь	угодно большой относительной					точностью.

Как известно, при х -*• 0 бесконечно малые sin х и In (1 + х) эквивалентны бесконечно малой х; отсюда следуют приближенные формулы

sinx^ax; In (l+x) œx,

(6-21)

которые будут тем точнее (как в смысле абсолютной, так и в смысле

относительной погрешности),				чем меньше			по модулю		х.
Вычислим еще несколько				пределов
		lim •tg X	l i m /sin X					1,
		X	х ->о			COS X
			х ->о			COS X
откуда	следует	приближенная			формула
				IgXïuX.					(6.22)
І Л		1 - 1	— COS X		1		1 - 1	— COS X
Как	мы видели, lim				= — или lim			^
		х->0		X2	2		X -о	х
откуда	следует	приближенная			формула 1 — c o s x ^ —				или
I				,	X2				(6.23)
			cos X		1	.			(6.23)
			cos X		1	.
Положив ех— 1			находим
	um		um •			=	lim	= 1,
	х-* 0		Z -*• оо				•Z-rOO	1
								z
откуда	следует,	что
или									(6.24)
				е х ~ 1 + х .					(6.24)

171

Кстати, эта формула				сразу		получается		из второй		формулы (6.21).
Если m — натуральное					число, то
					.	т.
					.	У 14- X — 1
					im - — - X
					х->0
im,			\ Im,			m,		, m,		^
: lim \V	(\	\x~\)\V{\		\| X)"1-1		+ 1/(14- х)т-2+ .			+	X 4-1
д;-»0		m,			т,-			m,	\
		X \Y	(l+x)m-l		+ V (l + x ) m - 2 + . . . + V				1+x+l)
=	lim					1
=	lim
		V	(\ + x)m-i		+ y/'(l+x)m-2+.			. . 4 - / 1	4-A: 4-1
или
					•	y 1 4-х— 1		,
					im -——		= 1.
					x^O	X
Отсюда		следует, что				m
Отсюда		следует, что
					'		m '
И Л И
					УТ+~х^1		+ -^.			(6.25)

Приближенные формулы (6.22) — (6.25), как и формулы (6.21), будут тем более точны в смысле абсолютной и относительной по грешности, чем меньше будет по модулю х. Например, используя формулу (6.25), находим:

у^0~92 = \f 1—0,08Ä 1 4- ~ ° ' 0 8 - 0,98 .

6.10. РАЗРЫВ ФУНКЦИИ. ТИПЫ РАЗРЫВОВ

Если функция / (х) непрерывна в точке х = а, то

\imf(x)=f(a). (6.26)

X ->а

Но из существования предела функции / (х) при х -> а вытекает существование и равенство друг другу двух односторонних преде лов функции / (х) в точке а (§ 5.13). Следовательно, равенство (6.26) эквивалентно равенству

/ (а -	0) = / (а) =	f (а + 0).	(6.27)
Предположим теперь,	что точка	х = а принадлежит	области

определения функции / (х), но равенство (6.26) или, что то же са мое, равенство (6.27) нарушается; в этом случае говорят, что функ

ция f (х) т е р п и т	в т о ч к е а	р а з р ы в ,	или, что точка а
является т о ч к о й	р а з р ы в а	функции.	Как мы видели, все

172

элементарные функции непрерывны в каждой точке их области оп ределения (§ 6.4), отсюда следует, что указанных точек разрыва элементарные функции иметь не могут. Поэтому для примера об ратимся к неэлементарной функции

1 - х 2	Для х<0;	(6.28)
f{x) = — 1	х = 0;	(6.28)
X	х > 0 ,

график которой представлен на рис. 83.

Непосредственно

видно,

что для

этой функции

/ ( О — 0) = 1,

/ (0) =

— 1, / (0 +

0) =

равенство

(6.27) в

точке

х =

0 нару

шается, а потому точка х = 0 яв

ляется

точкой

разрыва

функции.

числу

точек

разрыва

относят

также

всякую

точку,

которая

не

принадлежит

области

определения

функции, но является

г р а н и ч н о й

точкой

этой

области

(§ 4.3).

част

ности, если область определения функ

ции

составлена

из

промежутков,

то

точками разрыва этой

функции

бу

дут

те

концы

этих

промежутков,

которые не принадлежат -области

определения

функции.

Такие

точки

разрыва элементарные

функции

уже

Рис. 83

могут

иметь.

Для

примера рассмотрим функцию

/ (х)

-. Эта функция

Лг

определена для всех х, за исключением

точки х =

0. Точка х — 0

не принадлежит области определения функции,

но является общей

граничной точкой промежутков

(— с о , 0) и (0, +

с о ) , из

которых

эта_область составлена. Поэтому точка х = 0 будет точкой

разрыва

г /

Sill X

функции / (х) =

—^— .

Рассмотрим еще один пример: / (х) =

—^=г. Областью определе-

V X

ния этой функции будет промежуток

(0, + с о ) . Точка

х — 0 как

граничная точка этого промежутка, не принадлежащая

ему, будет

точкой разрыва данной функции.

Итак, пусть точка х = а будет точкой разрыва функции / (х). Тогда равенство (6.27) нарушается. В зависимости от характера его нарушения устанавливается классификация разрывов. Если

равенство (6.27) нарушается,	а пределы f (а — 0) и / (а +	0) ко
нечны, то x = а называется	точкой разрыва п е р в о г о	р о д а .

Во всех других случаях нарушения равенства (6.27) х = а назы вается точкой разрыва в т о р о г о р о д а .

Разрывы первого рода могут быть двух типов:

173

	1) к о н е ч н ы й			р а з р ы в. В этом случае /				(а — 0) Ф /(a-f-0).
С	этим типом разрыва мы столкнулись на примере функции (6.28).
Для		этой функции		/ (0 — 0) Ф f (0 +		0),	причем	оба эти	предела
конечны, следовательно, эта функция в точке х =								0 терпит конеч
ный		разрыв;
	2)—у с т р а н и м ы й р а з р ы в .					В	этом	случае	пределы
/	(а	— 0) и f	(а +	0) равны	друг другу,		но не	равны	значению
/	(а)	функции	/ (х) в точке а		(или точка а		не принадлежит области

определения функции, но является граничной точкой этой области).

Как

мы

видели,

функция

/ (х)

£Ш£. терпит в

точке

х =

разрыв. Имеем

lim sin X

откуда следует, что левый

и правый

X - о

пределы

функции

точке

х — 0

равны

друг

другу

равны

Следовательно, функция f(x)

=s"^*

терпит в точке х = 0 устранимый

разрыв

(рис. 84).

Разрыв

называется

устрани

мым, так как, изменив соответст

вующим

образом

значение

функ

Рис. .84

ции в точке

разрыва

(или

доопре

делив функцию в этой точке,

если

функция не была в ней определена),

можно добиться непрерывности функции, т. е. «устранить»

разрыв.

Очевидно, для этого достаточно принять

f (а)

= f

(а — 0)

или

f(a)

= I (а + 0)1.

Так, стоит в последнем примере принять / (0)

как

функция

f(x)=-

станет в точке х =

0 непрерывной.

Если x =

а является точкой

разрыва

второго

рода, то по

край

ней мере один из пределов / (а — 0) и / (а ~\- 0) бесконечен или

не

существует. Из этих разрывов отметим

б е с к о н е ч н ы й

раз

рыв,

в случае

которого хотя

бы один

из

односторонних

пределов

f (а — 0)

и f

(а

бесконечен.

Как

мы

видели,

функция

/ (х)

терпит

разрыв

точке

Ух

x = 0. Разрыв

этот бесконечен,

так как

/(0 + 0 ) - l i m - J = -

co;

х^О

у X

х>0

говорить

о пределе

/ (0 — 0)

здесь

не

имеет смысла,

так

как при

x <; 0 функция

не

определена.

функцию f

(х)

качестве

еще

одного примера рассмотрим

і_

= 2* — 1 .

Ее

область определения

состоит

из двух

промежутков:

( — с о , 1) и (1, +

с о ) ; общая граничная точка х — 1 этих

промежут-

174

ков, не принадлежащая им, будет точкой разрыва функции. Имеем

		і_	im 2~у=			lim		- 0 ;
/(1—0)	1іш2Л	-;	im 2~у=			lim		- 0 ;
	X •> 1	у	>- 4	оо				2У
	х<1
/ (1 + 0)		lim 2х '"1		=	lim 2У		-•= +	оо
		Х-г[				І-ОС
		У
				1	^	^ ^	^	^

	1
0	Г	л
	!

Рис. 85

(при

вычислении

первого

предела

сделана

замена

- = —г/,

при вычислении

второго — замена —?— == у

X — 1

Следовательно,

функция

X — 1

f (х) = •^ r - j

терпит

в точке х =

бесконечный

разрыв

(рис.

85).

6.11. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ

Определение.

Функция

/ (х) называется

непрерывной

на

некото

ром

промежутке

(конечном

или

бесконечном),

если

она

непре

рывна

в каждой

точке

этого

проме

жутка.

Если

функция

/ (х) непрерывна

на

замкнутом

интервале

[а,

Ь],

то в

гра

ничных точках этого интервала предпо

лагается

так называемая

о д н о с т о

р о н н я я

н е п р е р ы в н о с т ь —

правосторонняя в точке а и левосто

ронняя

точке

Ь.

Это

значит,

что

Рис.

точке

а существует

конечный

предел

/ (а +

0),

равный

f (а),

точке

b— конечный предел

(Ь — 0),

равный

(Ь)

(рис.

86).

Графиком функции / (х), непрерывной на некотором промежутке,

служит сплошная линия без разрывов; такую линию можно вы чертить одним движением карандаша, не отрывая его от бумаги.

175

Ниже приведены важнейшие свойства функций, непрерывных на замкнутом интервале. Геометрически эти свойства достаточно очевидны, их доказательства выходят за рамки программы.

Функция

f (х),

непрерывная

на

замкнутом

интервале

[а,

Ь],

ограничена

на

нем.

Это

значит,

что существует

такое число

s >

О,

что для всех

из

[а,

Ь]

будет

j / (x) |

< s.

Если

функция}

(х)

непрерывна

на замкнутом

интервале

[а,

61,

то

на

этом

интервале

всегда

имеются

по

крайней

мере одна

точка

хх

и одна точка

х2,

в которых

она

принимает

наименьшее

значение

и наибольшее

значение

М, так

что

для

всех х из

интервалаіа,

b],

будет

выполняться

неравенство

f (x)

1 * \

! » ;

Рис. 88

Геометрически это свойство очевидно: из ординат точек кривой, непрерывной на интервале [а, Ь], всегда можно выбрать ординату наименьшей величины m и ординату наибольшей величины М, (рис. 87).

Свойство 2 делается неверным, если не предполагать замкнуто сти интервала. Так, например, функция f (х) = х непрерывна на открытом интервале (0, 1), но среди значений этой функции на этом интервале нет ни наименьшего, ни наибольшего.


3.	Функция	f (х),	непрерывная			на замкнутом		интервале		[а; Ь]
и принимающая		на	концах	этого		интервала	значения		противопо
ложных знаков		по крайней		мере	в одной точке		х	— с,	лежащей	вну
три	интервала,	обращается		в	нуль.

Действительно, непрерывная дуга, концы которой лежат по разные стороны оси Ох, по крайней мере в одной точке с пересечет

ось	Ох, так	что	будет	/ (с) = 0	(рис.		88).
	4. Функция		f (х),	непрерывная		на	замкнутом	интервале	[а, Ь],
принимает		на	этом	интервале	все		значения,	заключенные	между
наименьшим		m	и наибольшим		M	значениями		f (х) на	интервале
[а;	Ь].

ОГЛАВЛЕНИЕ

					Раздел	1
ЛИНЕЙНАЯ		АЛГЕБРА			И АНАЛИТИЧЕСКАЯ		ГЕОМЕТРИЯ
				НА	ПЛОСКОСТИ
							Стр.
Глава 1.	Матрицы	и	определители			-	3
1.1.	Начальные		сведения				—
1.2.	Определитель		второго порядка.			Система двух	линейных урав
	нений с двумя			неизвестными			6
1.3.	Определитель			третьего	порядка		12
1.4.	Определители			высших	порядков		14
1.5.	Основные	свойства определителей					16
1.6.	Вычисление		определителей				22

1.7.Исследование и решение системы трех линейных уравнений с

тремя неизвестными

1.8.Система п линейных уравнений с п неизвестными. Теорема

Крамера

1.9.Исследование и решение системы линейных однородных урав

нений

1.10.Линейные операции с матрицами. Транспонирование матриц . 35

1.11.	Умножение	матриц		38
1.12.	Обратная	матрица	'.	42

1.13.Запись и решение системы линейных уравнений при помощи

	матриц				44
Глава 2.	Векторная	алгебра			46
2.1.	Основные	понятия	и	определения	—
2.2.	Линейные операции		с	векторами	49

2.3.Линейная зависимость и линейная независимость векторов . . 52

2.4.	Основы теории проекций		векторов	56
2.5.	Скалярное	произведение	векторов	59
2.6.	Векторное	произведение	векторов	61
2.7.	Смешанное	произведение	трех векторов	64
2.8.	Прямоугольная декартова		система координат	67

2.9.Действия с векторами, заданными прямоугольными координа

	тами				73
2.10.	Простейшие задачи			аналитической геометрии	80
Глава 3.	Аналитическая		геометрия на плоскости		82
3.1.	Линия на	плоскости		и ее аналитическое представление . . . .	—
3.2.	Полярная	система координат			86
3.3.	Уравнение первой степени и линии первого порядка				87
3.4.	Основные	задачи	на	прямую	93

177

3.5.Уравнение второй степени. Преобразование координат . . . .

3.6.Основные линии второго порядка

3.7.Приведение общего уравнения линии второго порядка к канони ческому виду

Раздел I I

		ВВЕДЕНИЕ	В АНАЛИЗ
Г лава	4.
4.	1.
4.	2.
4.	3.
4.	4.
4.	5.
4.	6.
4.	7.	Геометрическое изображение	функции. Способы задания функ-
4.	8.	Геометрическое изображение	функции. Способы задания функ-
4.	9.
4.	10.
4.	11.
4.	12.

4.13.

4.14.

Глава 5.

5.1.

5.2.

5.3.

5. 4. Свойства последовательностей, стремящихся к конечному пре-

5.	5.	Два признака существования	предела последовательности . .
5.	6.	Предел последовательности	{ап} — 1(1 -\|- 1/я)"}
5.	7.	Предел последовательности	{ап} — 1(1 -\|- 1/я)"}

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

Глава	6.
6.	1.
6.	2. Приращение аргумента и функции. Второе определение непре-

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8. Сравнение бесконечно малых друг с другом

6. 9.

6.110. Разрыв функции. Типы разрывов 6.11.

178

Редактор О. Александрова

Техн. редактор А. Урицкая

Корректор А. Дулькина

Сдано	в набор 19/1 1973 г.		Подписано к печати		28/VI-1973 г. М-36695
Бумага	60х 907ів	Объем	11,25.	Уч.-изд.	л. 12,8. Зак . № 146
		Тир . 8000 Цена		60 коп.

Ленинградская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР

по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 196126, Ленинград, ул. Социалистическая, 14

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ